8二维随机变量及其联合分布

二维随机变量及其联合分布...

二维随机变量的联合分布函数有些随机现象需要用两个随机变量才能描述，如：掷两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。（正、正），（正、反），（反、正），（反、反）令数字“1”表示出现正面，数字“0”表示出现反面。并令X表示第一次出现的情形，Y表示第二次出现的情形。则样本空间可用随机变量X与Y联合表示为：称（X，Y）为二维随机变量。

二维随机变量的联合分布函数有些随机现象需要用两个随机变量才能描述，又如：向一球门射球，观察射入点的位置。令X表示射中点的横坐标，则样本空间可用随机变量X与Y联合表示为：称（X，Y）为二维随机变量。设球门占平面区域D，Y表示射中点的纵坐标。二维随机变量的联合分布函数——其中为任意实数。如上图，表示落在区域D内的概率。的性质：分别对单调非降。分别关于左连续。

二维离散型随机变量如果二维随机变量（X，Y）的所有取值是有限或无限可数的，则称之为二维离散型随机变量。

对于二维离散型随机变量，除分布函数之外，还可以把随机变量的每一对取值相应的概率用下表罗列出来：此表称作（X，Y）之（联合）概率分布或（联合）分布密度或（联合）分布列

二维离散型随机变量对于二维离散型随机变量（X，Y）的（联合）概率分布：有性质：例1

口袋子中装有4

个标号为“1”，2个标号为“2”

个的球。现依次从中任取两球，以X表示第一次取出的球的号数，以Y表示第二次取出的球的号数，试写出（X，Y）的联合概率分布及联合分布函数。解：（X，Y）的联合概率分布：解：（X，Y）的联合概率分布：当或时，解：（X，Y）的联合概率分布：当且时，解：（X，Y）的联合概率分布：当且时，解：（X，Y）的联合概率分布：当且时，解：（X，Y）的联合概率分布：当且时，或且且且且综上所述，（X，Y）的联合分布函数：

二维连续型随机变量定义——若存在一非负函数，使随机变量则称为二维连续型随机变量，称为的（联合）概率密度或（联合）分布密度。的联合分布函数

二维连续型随机变量二维连续型随机变量的概率密度的性质——若在点连续，则有分别关于是连续的。

二维连续型随机变量常见的二维连续型随机变量的分布（1）均匀分布若某一质点等可能地落在平面区域D上，（X，Y）表示质点落入点的坐标，则（X，Y）的分布密度为：其中表示的面积。这时称（X，Y）在D上服从二维均匀分布。均匀分布对应的是几何概型。

二维连续型随机变量常见的二维连续型随机变量的分布（2）正态分布若（X，Y）的分布密度为：则称（X，Y）服从参数为的二维正态分布。其中均为参数，且例2设随机变量（X，Y）的概率密度为：其它地方其中求：解：例2设随机变量（X，Y）的概率密度为：其它地方其中求：解：例2设随机变量（X，Y）的概率密度为：其它地方其中求：解：例3若二维随机变量的密度函数为：其它其中是常数,求的分布函数解：其它其中例4设二维随机变量服从区域D上的均匀分布，求的分布函数其中由及围成。解：例4设二维随机变量服从区域D上的均匀分布，求的分布函数其中由及围成。解：当或时，例4设二维随机变量服从区域D上的均匀分布，求的分布函数其中由及围成。解：当且时，例4设二维随机变量服从区域D上的均匀分布，求的分布函数其中由及围成。解：当且时，例4设二维随机变量服从区域D上的均匀分布，求的分布函数其中由及围成。解：当且时，例4设二维随机变量服从区域D上的均匀分布，求的分布函数其中由及围成。解：当且时，例4设二维随机变量服从区域D上的均匀分布，求的