高三大一轮复习讲义数学（文）课时作业37：综合法、分析法、反证法（北师大版）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课时作业（三十七）归纳与类比A级1．已知△ABC中，∠A＝30°,∠B＝60°，求证:a＜b。证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B。∴a＜b,其中,画线部分是演绎推理的(）A．大前提 B．小前提C．结论 D．三段论2．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足｜PA|＋｜PB｜＝2a＞|AB|，则PB．由a1＝1，an＝3n－1,求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2,猜想出椭圆eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2，b2)＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇3．设⊕是R的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a,b∈A,有a⊕b∈A,则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（)A．自然数集 B．整数集C．有理数集 D．无理数集4．给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集,R为实数集，C为复数集）：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b"类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)⇒a＝c，b＝d"；③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．其中类比结论正确的个数是（）A．0 B．1C．2 D．35．(2012·陕西师大附中模拟)若数列｛an}是等差数列,则数列{bn｝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（bn＝\f（a1＋a2＋…＋an,n）))也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn｝是等比数列,且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为()A．dn＝eq\f（c1＋c2＋…＋cn，n） B．dn＝eq\f（c1·c2·…·cn,n）C．dn＝eq\r（n，\f（c\o\al(n，1）＋c\o\al(n,2）＋…c\o\al（n,n），n）) D．dn＝eq\r（n，c1·c2·…·cn）6．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下：输入12345…输出eq\f(1，2）eq\f(2,5）eq\f(3,10）eq\f(4,17）eq\f(5,26)…那么，当输入数据是8时，输出的数据是________．7．下列推理过程是演绎推理的有________(填上所有正确的序号)．（1）两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°(2）某校高三(1）班有55人，(2)班有54人,(3)班有52人，由此得高三所有班级人数超过50人(3)由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质（4）在数列｛an｝中，a1＝1，an＝eq\f（1,2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（an－1＋\f(1，an－1）))(n≥2,n∈N＋）,由此归纳出｛an}的通项公式8．给出下列不等式:1＋eq\f（1，2）＋eq\f（1,3)＞1，1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1,3）＋…＋eq\f(1,7)＞eq\f(3，2),1＋eq\f(1,2)＋eq\f（1，3)＋…＋eq\f(1,15)＞2，…，则按此规律可猜想第n个不等式为________．9．（2012·杭州模拟）在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形,按图所标边长，由勾股定理有:c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN,如果用S1，S2,S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；（2）三角形的面积S＝eq\f(1，2）×底×高;(3）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的eq\f(1,2)；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．11．已知等差数列｛an}的公差d＝2，首项a1＝5.(1）求数列{an｝的前n项和Sn；（2)设Tn＝n（2an－5)，求S1,S2,S3，S4,S5;T1，T2,T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律．B级1．(2012·长春市调研)类比“两角和与差的正弦公式"的形式，对于给定的两个函数：S（x)＝ax－a－x,C(x)＝ax＋a－x,其中a＞0,且a≠1，下面正确的运算公式是(）①S(x＋y)＝S（x）C(y）＋C（x）S(y）；②S(x－y）＝S（x)C(y）－C（x)S(y）；③2S（x＋y）＝S（x)C（y）＋C（x）S（y）;④2S（x－y）＝S(x）C(y)－C（x）S（y)．A．①② B．③④C．①④ D．②③2．如图甲,在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足,则AB2＝BD·BC,该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足,且O在△BCD内，类比射影定理，探究S△ABC、S△BCO、S△BCD这三者之间满足的关系式是________．3．（2012·福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°;②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°;③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2（－25°)＋cos255°－sin(－25°）cos55°。(1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数;(2)根据(1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

答案课时作业(三十七)A级1．B由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提．2．B从S1,S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理,故应选B.3．CA错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭；C对:因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数,故有理数集对加、减、乘、除法（除数不等于零）四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．4．C①②正确,③错误，因为复数不能比较大小，如a＝5＋6i,b＝4＋6i，虽然满足a－b＝1＞0,但复数a与b不能比较大小．5．D若{an｝是等差数列,则a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1，2)d,∴bn＝a1＋eq\f(n－1，2）d＝eq\f（d,2)n＋a1－eq\f(d，2)，即{bn}为等差数列；若｛cn｝是等比数列，则c1·c2·…·cn＝ceq\o\al（n，1)·q1＋2＋…＋（n－1)＝ceq\o\al（n,1）·qeq\f(nn－1，2)，∴dn＝eq\r（n，c1·c2·…·cn)＝c1·qeq\f(n－1，2)，即{dn}为等比数列，故选D.6．解析：观察猜想可得:an＝eq\f(n，n2＋1),所以当输入数据8时，输出数据为eq\f(8，82＋1）＝eq\f(8,65）。答案：eq\f（8，65)7．解析：(1)是，使用了“三段论”．（2)不是，使用了归纳推理不是演绎推理．（3)不是，使用了类比推理．（4)不是，使用了归纳推理．答案：（1）8．解析：观察不等式左边最后一项的分母3,7，15，…，通项为2n＋1－1，不等式右边为首项为1，公差为eq\f(1，2）的等差数列，故猜想第n个不等式为1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3）＋eq\f（1，4）＋…＋eq\f(1,2n＋1－1)＞eq\f（n＋1，2）。答案：1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1,3）＋eq\f(1,4）＋…＋eq\f(1,2n＋1－1）＞eq\f（n＋1,2)9．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边，可得Seq\o\al(2，1)＋Seq\o\al(2，2）＋Seq\o\al（2,3)＝Seq\o\al(2,4）.答案：Seq\o\al(2,1）＋Seq\o\al(2，2)＋Seq\o\al(2,3)＝Seq\o\al（2,4）10．解析：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：（1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；（2)四面体的体积V＝eq\f（1,3）×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的eq\f（1，4).11．解析：（1)Sn＝5n＋eq\f（nn－1，2）×2＝n(n＋4）．(2)Tn＝n(2an－5)＝n[2（2n＋3）－5］，∴Tn＝4n2＋n.∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39,T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.S1＝5，S2＝2×（2＋4)＝12，S3＝3×（3＋4）＝21，S4＝4×（4＋4)＝32,S5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S1＝T1，当n≥2时，Sn＜Tn。归纳猜想:当n≥2,n∈N时，Sn＜Tn.B级1．B经验证易知①②错误．依题意,注意到2S（x＋y)＝2（ax＋y－a－x－y），又S(x）C(y)＋C(x）S(y)＝2(ax＋y－a－x－y），因此有2S(x＋y)＝S(x)C（y）＋C(x)S(y)；同理有2S（x－y）＝S（x）C（y)－C(x）S（y）．综上所述,选B.2．解析：连接DO并延长交BC于点E.连接AE，则BC⊥DE,BC⊥AE.∴S△ABC＝eq\f(1，2)BC·AE，S△BCO＝eq\f(1，2)BC·EO，S△BCD＝eq\f(1，2）BC·DE,又AE2＝EO·ED，∴Seq\o\al（2，△ABC)＝S△BCO·S△BCD.答案：Seq\o\al（2，△ABC）＝S△BCO·S△BCD3．解析：方法一：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f（1,2)sin30°＝1－eq\f(1，4）＝eq\f(3,4）。(2)三角恒等式为sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）＝eq\f（3,4)。证明如下:sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα）2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα）＝sin2α＋eq\f(3，4)cos2α＋eq\f(\r(3）,2)sinαcosα＋eq\f（1，4）sin2α－eq\f（\r（3)，2）sinαcosα－eq\f（1，2）sin2α＝eq\f(3,4）sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3，4).方法二：(1）同方法一．(2）三角恒等式为sin2α＋cos2（30°－α)－sinαcos（30°－α)＝eq\f(3，4）.证明如下：sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos(30°－α）＝eq\f(1－cos2α，2)＋eq\f(1＋cos60°－2α，2）－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝eq\f（1,2）－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f（1,2)＋