人教版 切线的判定和性质【九大题型】（解答版）

PAGE1专题24.6切线的判定和性质【九大题型】【人教版】【题型1有关切线的说法辨析】 1【题型2判断或补全使直线为切线的条件】 4【题型3证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】 9【题型4证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】 16【题型5利用切线的性质求线段长度】 20【题型6利用切线的性质求角度大小】 29【题型7利用切线的性质证明】 33【题型8切线的判定与性质的综合运用】 38【题型9过圆外一点作圆的切线】 47【知识点切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1有关切线的说法辨析】【例1】（2023春·山东日照·九年级统考期中）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点【答案】D【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．【详解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB＝12∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线【答案】D【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；

B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；

D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【变式1-2】（2023春·西藏拉萨·九年级校考期末）下列四个选项中的表述，一定正确的是（

）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【答案】C【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C．【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2011秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为BC的中点，DE垂直于AC的延长线于E，连接BC，若DE=6cm，CEA．DE是⊙O的切线 B．直径AB长为20cmC．弦AC长为16cm D．C为AD的中点【答案】D【分析】AB是圆的直径，则∠ACB=90°，根据DE垂直于AC的延长线于E，可以证得ED∥BC，则DE⊥OD，即可证得DE是圆的切线，根据切割线定理即可求得AC的长，连接OD，交BC与点F，则四边形DECF是矩形，根据垂径定理即可求得半径．【详解】解：连接OD，OC．∵D是弧BC的中点，则OD⊥BC，∴DE是圆的切线．故A正确；∴DE2=CE?AE即：36=2AE∴AE=18，则AC=AE-CE=18-2=16cm．故C正确；∵AB是圆的直径．∴∠ACB=90°，∵DE垂直于AC的延长线于E．D是弧BC的中点，则OD⊥BC，∴四边形CFDE是矩形．∴CF=DE=6cm．BC=2CF=12cm．在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB=AC在直角△ABC中，AC=16，AB=20，则∠ABC≠30°，而D是弧BC的中点．∴弧AC≠弧CD．故D错误．故选D．【题型2判断或补全使直线为切线的条件】【例2】（2023春·北京·九年级统考期末）在下图中，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圆O的直径，∴AT是圆O的切线，故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．【变式2-1】（2023春·山东德州·九年级统考期中）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=1∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．故答案为：60．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】（2023春·河南信阳·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）M为BC的中点．【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．试题解析：（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切，故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．考点：切线的判定．【变式2-3】（2023春·江西上饶·九年级统考期末）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．

（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①或②；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．【答案】（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．【分析】(1)添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2)作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，∴EF是⊙O切线，②∵AB是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，

即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．（3）∵OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，∴∠BAC=∠B，∴点C在AB的垂直平分线上，∴OC垂直平分AB，∴OC⊥AB．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．【题型3证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】【例3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)的半径为5．【分析】（1）连接，可得，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得，根据“内错角相等，两直线平行”可得，根据平行线的性质，可得，再根据切线的判定方法，即可判定；（2）过点O作，交于点G，根据垂径定理可得，故，根据矩形的判定和性质，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，则，

，是的平分线，，，，，为的半径，点D在上，∴是的切线；（2）解：过点O作，交于点G，如图，

，，，，，，，，四边形是矩形，，的半径为5．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，中，，以为直径的交于点，点在上，，的延长线交于点F．

(1)求证：与相切；(2)若的半径为3，，求的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接、，则，所以，由，得，所以，即可证明与相切；（2）由切线的性质得，，，得，则，即可根据勾股定理列方程，求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接、，

则，，，，，，经过的半径的外端，且，与相切．（2）解：由（1）知与相切，∴∵，，，，∵∴，∵，，，，的长为6．【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．【变式3-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，为的直径，C为上一点，P为延长线上的一点，使得．

(1)求证：是的切线．(2)F为上一点，且经过的中点E．①求证：；②若，，求的半径长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②的半径为5．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，进而得出，即，即可得出结论；（2）①先根据直径所对的圆周角是直角得出，进而得出，根据题意可得出，推出，即可得出结论；②设,则，由①知，得出和都是直角三角形，在中，根据勾股定理得出，求出，，在中，根据勾股定理得出，即可得出答案【详解】（1）证明：∵为的直径，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴是的切线；（2）①证明：∵为的直径，∴，∵，∴，∴，∵经过的中点E，∴，∴，∴；②解：设,则，由①知，∴和都是直角三角形，在中，，∴，解得：（负值舍去），即，，在中，，∴，解得：，即的半径为5．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知半径为的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分，．

(1)判断与轴的位置关系，并说明理由；(2)求的长．【答案】(1)相切，理由见解析(2)【分析】（1）连接，由平分可得，又，所以，进而可得，所以，可得轴，进而可得结论；（2）过点作轴于点，则，且四边形是矩形，设可分别表达和，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论；【详解】（1）解：与轴相切，理由如下：如图，连接，平分，，又，，，，轴，轴，是半径，与轴相切（2）如图，过点作轴于点，

，，四边形是矩形，，，设则，，在中，，，解得或舍去，，．【点睛】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法求函数表达式，题目比较简单，关键是掌握相关定理．【题型4证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】【例4】（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）【分析】(1)过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可证明CD与圆B相切；(2)先证明△BCD是等边三角形，根据三线合得到∠ABD=30°，求出AD，再利用阴影部分的面积=S△ABD－S扇形ABE求出阴影部分面积．【详解】解：(1)过点B作BF⊥CD，垂足为F，∴∠BFD=90°，∵ADBC，∠ABC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠BFD，∵ADBC，∴∠ADB=∠CBD，∴CB=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB，在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD(AAS)，∴BF=BA，则点F在圆B上，∴CD与⊙B相切；(2)∵∠BCD=60°，CB=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD=60°，∵BF⊥CD，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=6，∴AD=DF°=2，∴阴影部分的面积=S△ABD－S扇形ABE==．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线．【变式4-1】（2023·江西南昌·九年级期末）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点.（1）求证：与相切.（2）若正方形的边长为1，求半径的长.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据正方形的性质可知，AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明即可；（2）根据正方形的边长求出AC的长，再根据等腰直角三角形的性质得出即可求出.【详解】解：（1）如图，连接，过点作于点，∵与相切，∴∵四边形是正方形，∴平分，∴，∴与相切.（2）∵四边形为正方形，∴，∴，∴，∴.又，∴，解得.【点睛】本题主要考查了正方形的性质和圆的切线的性质和判定，还运用了数量关系来证明圆的切线的方法.【变式4-2】（2023•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；∵AB为⊙D的切线，∴∠B＝90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF∴AC与⊙D相切；（2）在△BDE和△DCF中；∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【变式4-3】（2023•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【知识点2切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型5利用切线的性质求线段长度】【例5】（2023春·河南·九年级校联考期末）如图，AB为⊙O的直径，C，E是⊙O上不同于A，B的两点，过点C的切线垂直于AE交AE的延长线于点D，连接AC．

(1)求证：EC=(2)若AC=43，CE=33，则【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）连接CO，可证AD∥OC，从而可证（2）过C作CF⊥AB交AB于F，可求BC=33，AB=AC【详解】（1）证明：如图，连接CO，

∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠CAB，∴EC（2）解：过C作CF⊥AB交AB于F，

由（1）得：∠DAC=∠CAB，∴CE=BC=33∵CD⊥AE，∴CD=CF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，AB==4∵1∴43解得：CF=12∴CD=12故答案：125【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，切线的性质，角平分线的性质定理，勾股定理等，作出适当的辅助线，掌握相关的性质是解题的关键．【变式5-1】（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l于点D．

(1)求证：BC平分∠ABD；(2)连接OD，若∠ABD=60°，CD=3，求OD【答案】(1)证明见解析(2)7【分析】（1）连接OC，求得OC∥BD，得到∠OBC=∠CBD，即可求得BC平分∠ABD．（2）连接AC，求得∠ACB=90°，在Rt△BDC中，求得BC=23；在Rt△ACB中，AB=2AC，OC=2；在Rt【详解】（1）证明：如图，连接OC．

∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l于点C．∴∠OCD=90°．∵BD⊥l于点D，∴∠BDC=90∴∠OCD+∠BDC=180°．∴OC∥BD．∴∠OCB=∠CBD．∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB．∴∠OBC=∠CBD．∴BC平分∠ABD．（2）解：连接AC．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠ABD=60°，∴∠OBC=∠CBD=1在Rt△BDC∵∠CBD=30°，CD=3∴BC=2CD=23在Rt△ACB∵∠ABC=30°，∴AB=2AC．∵AC2∴AB=4．∴OC=1在Rt△OCD∵OC∴OD=7【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键【变式5-2】（2023春·广东韶关·九年级校考期末）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是弧BF的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．(1)求证：AE⊥DE；(2)若∠D=30°，AE=3，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）连接OC，根据DE切⊙O于C，故OC⊥DE，根据点C是BF的中点，故∠BAC=∠EAC，根据等边对等角可得∠BAC=∠OCA，即可推得OC∥AE（2）连接BF交OC于G，根据AB是⊙O直径，故∠BFA=90°，结合（1）中结论可得四边形CEFG是矩形，根据含30度角的直角三角形特征可得AD=2AE=6，DO=2CO=2BO，即可推得AD=3CO=6，求得CO=2，DO=4，根据勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：连接OC，如图∵DE切⊙O于C，∴OC⊥DE∵点C是BF的中点，∴∠BAC=∠EAC∵OC=OA∴∠BAC=∠OCA∴∠EAC=∠OCA∴OC∴AE⊥DE（2）连接BF交OC于G，如图，∵AB是⊙O直径，∴∠BFA=90°由（1）可得OC⊥DE，AE⊥DE∴四边形CEFG是矩形，∴CO⊥BF，CF=GF，∠D=∠ABF=30°∴BG=GF在Rt△ADE中，∠D=30°，∴AD=2AE=6在Rt△CDO中，∴DO=2CO=2BO∴AD=3CO=6∴CO=2，DO=4∴DC=【点睛】本题考查了平行线的判定，直径所对的圆周角是90度，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形特征，勾股定理等，熟练掌握以上性质是解题的关键．【变式5-3】（2023春·广东汕头·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，G是△ACB的内心，连接CG并延长，交⊙O于E，交AB于点F，连接BE．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)连接BG，判断△EBG的形状，并说明理由；(3)若BC=22，AC=42，求线段【答案】(1)见解析(2)等腰三角形，见解析(3)6【分析】（1）由切线的性质可得出OC⊥PD，结合题意可证OC∥AD，即得出∠ACO=∠DAC．再根据同圆半径相等和等腰三角形的性质，即得出∠ACO=∠CAO，从而易证AC平分∠DAB；（2）由直径所对圆周角为直角可知∠ACB=90°．再根据三角形内心的性质可知∠ACE=∠BCE=12∠ACB=45°，∠CBG=∠FBG．由同弧或等弧所对圆周角相等可知∠ACE=∠ABE=45°，从而结合三角形外角性质得：∠BCE+∠CBG=∠ABE+∠FBG，即∠BGE=∠EBG（3）连接OE，作BM⊥CE交CE于点M，由圆周角定理可知∠BOE=2∠BCE=90°．根据勾股定理可得出AB=BC2+AC2=210，即得出OE=OB=12AB=【详解】（1）∵PD是⊙O切线∴OC⊥PD．∵AD⊥PD，∴OC∥AD．∴∠ACO=∠DAC．又∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠CAO=∠DAC，即AC平分∠DAB；（2）△EBG为等腰三角形，理由如下，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵G是△ACB的内心，∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB=45°∵AE=∴∠ACE=∠ABE=45°，∴∠BCE+∠CBG=∠ABE+∠FBG，∴∠BGE=∠EBG，∴△EBG为等腰三角形；（3）连接OE，作BM⊥CE交CE于点M，如图所示：由圆周角定理可知∠BOE=2∠BCE=90°．∵BC=22，AC=42，∴AB=B∴OB=1∵OE=OB，∴BE=2∵BM⊥CE，∴△BMC为等腰直角三角形，∴BM=MC=2∴EM=B∴CE=MC+EM=2+4=6．【点睛】本题为圆的综合题，考查切线的性质，圆周角定理及其推论，三角形内心的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆的相关知识是解题关键．在解（3）时正确作出辅助线也是关键．【题型6利用切线的性质求角度大小】【例6】（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，AC是⊙O的直径，AB，BC是⊙O的弦，CD是⊙O的切线，C为切点，OD与⊙O交于点E．若点C为BE的中点，∠D=32°，则∠ACB的度数为（

）

A．56° B．58° C．61° D．68°【答案】C【分析】如图：连接OB，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据直角三角形的性质求出∠COD，由点C为BE的中点可得∠BOC=∠DOC,最后等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可解答．【详解】解：如图：连接OB，

∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠D=32°，∴∠COD=90°−32°=58°，∵点C为BE的中点，∴∠BOC=∠DOC=58°，∵OB=OC，∴∠ACB=1故选：C．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．【变式6-1】（2023春·河南信阳·九年级校联考期末）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于（）A．27° B．32° C．36° D．54°【答案】A【分析】先利用切线的性质求出∠AOP=54°，再利用等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°−∠P=54°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=1故选：A．【点睛】此题考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉切线的性质和等腰三角形的性质．【变式6-2】（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图：P是⊙O的直径CD的延长线上一点，PA是⊙O的切线，A为切点，∠P=40°，则∠ACP=．【答案】25°【分析】如图，连接OA，由PA是⊙O的切线，可得∠OAP=90°，则∠AOP=50°，由圆周角定理得，∠ACP=1【详解】解：如图，连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∵∠P=40°，∴∠AOP=50°，由圆周角定理得，∠ACP=1故答案为：25°．【点睛】本题考查了切线的性质及圆周角定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式6-3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期末）如图，点A，B在圆O上，且∠AOB＝30°，点P是射线OB上一动点（不与点O重合），连接AP，将△APO沿AP折叠得到△APO'，当△APO'的边所在的直线与圆【答案】105°或60°或15°【分析】根据折叠的性质和圆的性质，分三种情况讨论：当O'A所在直线与圆O相切于点A时，当AP所在直线与圆O相切于点A时，当PO【详解】解：由折叠的性质得∠OAP=∠O①

当O'A所在直线与圆O相切于点a、若点O'在OA

由折叠性质可得：∠OAP=1∴∠OPA=180°−∠O−∠OAP=105°；b.

若点O'在OA

易得∠OAP=1∴∠OPA=180°−∠O−∠OAP=15°；②当AP所在直线与圆O相切于点A时，如图（3），

∵∠AOB＝∴∠OPA=180°−∠O=60°；③当PO'所在直线与圆O相切时，设切点为

易知此时点P的位置与图（3）中相同，故∠OPA=60°；综上，∠OPA的度数为105°，60°或15°；【点睛】本题主要考查了圆的性质，掌握好圆的相关知识是解题的关键.【题型7利用切线的性质证明】【例7】（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD的延长线于点C，AB=AC．求证：△ACO≌△ABD．

【答案】证明见解析【分析】根据BD是⊙O的直径，得∠BAD=90°，AC是⊙O的切线，得出∠OAC=90°，由AB=AC得∠B=∠C，根据ASA即可证：△ACO≌∠ABD．【详解】证明：∵BD是⊙O的直径，∴∠DAB=90°．∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°．∴∠CAO=∠BAD∵AB=AC，∴∠B=∠C．在△ACO和△ABD中，∠C=∠B，∴△ACO≌△ABDASA【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，全等三角形的判定与性质，熟练掌握直径所对的圆周角是直角和切线的性质是解题的关键．【变式7-1】（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）如图所示，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB.试证明：(1)CB是∠ECP的角平分线；(2)CF=CE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）欲证明CF=CE，只要证明△ACF≌△ACE即可．【详解】（1）∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∴BC平分∠PCE．（2）连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACEAAS∴CF=CE．解法二：连接AC．∵OA=OC∴∠BAC=∠ACO，∵CD平行AF，∴∠FAC=∠ACD，∴∠FAC=∠CAO，∵CF⊥AF，CE⊥AB，∴CF=CE．【点睛】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．【变式7-2】（2023春·广东江门·九年级统考期末）如图，点A、B、C在⊙O上，直线l与⊙O相切于点A．(1)试问：∠1与∠ACB有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)如果我们把形如∠1这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论．【答案】(1)∠1=∠ACB，理由见详解；(2)弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角．【分析】（1）连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，由圆周角定理利出∠BAD+∠D=90°，由切线的性质得出∠BAD+∠1=90°，得出∠1（2）由弦切角和对应的圆周角的关系，直=直接写出结论即可．【详解】（1）解：∠1=∠ACB，理由如下：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，即：∠BAD+∠D=90°∵直线l与⊙O相切于点A．∴AD⊥l，即：∠BAD+∠1=90°，∴∠1∵∠ACD=∠D，∴∠1=∠ACD；（2）解：由题意得：弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角．【点睛】本题考查了切线的性质，弦切角的定义，圆周角定理，理解弦切角的概念和圆周角定理的推论是解题的关键．【变式7-3】（2023·安徽·九年级统考期中）已知：如图，点P是⊙O外一点，过点P分别作⊙O的切线PA、PB，切点为点A、B，连接OA，过点O作OD∥PA交PB于点D，过点D作DC⊥PA于C.（1）求证：四边形OACD是矩形；（2）若∠P=45°，⊙O的半径为r，试证明四边形OACD的周长等于【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）由PA是⊙O的切线可得∠OAP=90°，结合OD∥AP可得∠O=90°，再结合DC⊥AP即可得到四边形OACD矩形了；（2）如图，连接OB，由四边形AOCD是矩形结合⊙O的半径为r可得DC=OA=OB=r，由OD∥AP可得∠BDO=∠P=45°，由PB是⊙O的切线可得∠OBD=90°，由此可得BD=OB=r，则OD=2r=AC，这样即可由OA+AC+DC+OD求得四边形OACD的周长为2(试题解析：（1）∵PA是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥PA，∵OD∥PA，∴OA⊥OD，又∵DC⊥PA，∴四边形OACD是矩形；（2）如图，连接OB，由（1）得，四边形OACD是矩形，∴OA=CD=r,OD=AC，∵OD∥PA，∴∠ODB=∠P=45°，∵PB是⊙O的切线，∴∠OBD=90°，∴∠BOD=∠ODB=45°，∴OB=BD=r,在RtΔOBD中，由勾股定理得：OD=2∴四边形OACD的周长=2(OA+OD)=2(r+2【题型8切线的判定与性质的综合运用】【例8】（2023春·湖北·九年级期末）AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，BC∥OP交⊙O于C，PO交⊙O于D，（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半径．【答案】（1）见详解；（2）10．【分析】（1）连OC，由BC∥OP，得到∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，则∠AOP=∠POC，可得△POA≌△POC，得到∠PAO=∠PC0，而PA为⊙O的切线，得∠OAP=90°，所以∠PC0=90°，根据切线的判定即可得到PC为⊙O的切线；（2）连AD，由AB为⊙O的直径，得∠ADB=90°，而DE⊥AB，则∠ADE=∠ABD，所以∠ADE=∠ABD，从而易得到∠DAG=∠ADF，有AF=DF=FG=5，AC=5+5+6=16，得到AH=12AC=8．易证Rt△AOH≌Rt△DOE，得DE=AH=8，则EF=DE-DF=8-5=3，在Rt△AEF中，利用勾股定理可求得AE=4，在Rt△DOE中，利用勾股定理即可得到⊙O【详解】证明：（1）连OC，如图，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，而OB=OC，即∠OCB=∠OBC，∴∠AOP=∠POC，又∵OA=OC，OP公共，∴△POA≌△POC，∴∠PAO=∠PCO，而PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠PCO=90°，∴PC为⊙O的切线；（2）连AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，而DE⊥AB，∴∠ADE=∠ABD，由（1）得∠AOP=∠COP，∴∠ABD=∠DAF，∴∠DAG=∠ADF，∴AF=DF=FG=5，∴AC=5+5+6=16．∴AH=12AC又∵OA=OD，∴Rt△AOH≌Rt△DOE，∴DE=AH=8．∴EF=DE−DF=8−5=3，在Rt△AEF中，AE=AF设⊙O半径为r，在Rt△DOE中，有r2=82+（r−4）2∴r=10．所以⊙O的半径为10．【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了切线的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．【变式8-1】（2023春·湖北随州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的长．【答案】（1）详见解析；（2）BE＝43【分析】（1）根据三角形中位线定理得到OD∥BE，根据平行线的性质、切线的判定定理证明；（2）连接EF、ED，根据等腰三角形的性质求出BF，根据勾股定理求出EF，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝DB，又CO＝OE，∴OD∥BE，∴∠CEB＝∠DOC＝90°，∴CE⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接EF、ED，∵BD＝CD＝6，∴BF＝BD﹣DF＝4，∵CO＝OE，∠DOC＝90°，∴DE＝DC＝6，∵CE为⊙O的直径，∴∠EFC＝90°，∴EF＝DE2−D∴BE＝BF2+E【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，解题关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理、三角形中位线定理、勾股定理．【变式8-2】（2023春·河南周口·九年级淮阳第一高级中学校考期末）如图，∠PBC=30∘，点O是线段PB的一个三等分点，以点O为圆心，OB为半径的圆交PB于点A，交BC于点E

(1)求证:PE是⊙O的切线；(2)点D为⊙O上的一动点，连接OD.①当∠AOD=时，四边形BEPD是菱形;②当∠AOD=时，四边形ADBE是矩形.【答案】(1)见解析；(2)①60°，②120°.【分析】（1）连接OE,AE，由∠PBE=30°，得到ΔAOE为等边三角形，得到PA=OA=OB=AE，即可得到∠OEP=90°，则结论成立；（2）①连接BD，由圆周角定理，得到∠ABD=30°，则∠DBE=60°，又有∠BEP=120°，根据同旁内角互补得到PE//DB，然后证明PE=EB=BD，即可得到答案；②由圆周角定理，得∠ABD=60°，得到∠EBD=90°，然后由直径所对的圆周角为90°，得到∠AEB=∠ADB=90°，即可得到答案.【详解】证明：连接OE,AE，

∵OB=OE,∠PBE=30°，∴∠POE=2∠PBE=60°.∵OA=OE，∴△AOE为等边三角形，∴AE=OA.∵点O是BP的三等分点，∵PA=OA=OB=AE，∴∠OPE=∠AEP=1∴∠OEP=∠OEA+∠AEP=60°+30°=90°，即OE⊥PE，∴PE是⊙O的切线.（2）①当∠AOD=60°时，四边形BEPD是菱形；如图，连接BD，

∵∠AOD=60°，∴∠ABD=30°，∴∠EBD=30°+30°=60°，∵AB为直径，则∠AEB=90°，由（1）知∠AEP=30°，∴∠BEP=30°+90°=120°，∴∠EBD+∠BEP=60°+120°=180°，∴PE//DB，∵∠APE=∠PBE=30°，∠BOE=∠BOD=180°−60°=120°，∴PE=EB=BD，∴四边形BEPD是菱形；故答案为：60°.②当∠AOD=120°时，四边形ADBE是矩形.如图，连接AE、AD、DB，

∵∠AOD=120°，∴∠ABD=1∴∠EBD=30°+60°=90°，∵AB是直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，∴四边形ADBE是矩形.故答案为：120°.【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定和矩形的判定，解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行解题.【变式8-3】（2023春·湖北·九年级期末）已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．（1）如图（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的长；（3）如图（2）过点B作⊙O的切线，交AD延长线于F，若ED＝DF，求EDAD【答案】（1）见解析；（2）4；（3）5【分析】（1）连接OD，则利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可以推出∠ADO=∠EAD，从而证明OD∥AE，则∠E+∠ODE=180°，再由DE⊥AC，得到∠E=90°，则∠ODE=90°，由此即可证明；（2）连接OD，BC交于F，先利用勾股定理求出BC=AB2−AC2=102−6（3）连接BD，先证明△AED≌△BDF，得到AD=BF，再由勾股定理得到BD2=AB2−AD2=B设DEAD=x，则【详解】解：（1）如图所示，连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA,∵DA平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD，∴∠ADO=∠EAD，∴OD∥AE，∴∠E+∠ODE=180°，∵DE⊥AC，∴∠E=90°，∴∠ODE=90°，又∵OD是圆O的半径，∴DE是圆O的切线（2）如图所示，连接OD，BC交于F，∵AB是直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∴BC=A又∵∠E=∠FDE=90°，∴四边形ECFD是矩形，∴DE=CF，∠CFD=90°，∴CF=BF=1∴DE=CF=4；（3）如图所示，连接BD，∵AB是直径，∴∠BDA=∠BDF=90°，∴∠F+∠FBD=90°∵DA平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD，∵BF是圆O的切线，∴∠ABF=90°，∴∠F+∠FAB=90°，∴∠EAD=∠BAD=∠FBD，∵∠E=∠BDF=90°，ED=FD，∴△AED≌△BDF（AAS），∴AD=BF，∵BD2=A∴AF∴AD+DF2∴DF2∴DEAD设DEAD∴x2解得x=5−12∴DEAD【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，垂径定理，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【题型9过圆外一点作圆的切线】【例9】（2023·北京海淀·九年级期末）已知：点A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°．求作：直线l，使其过点C，并与⊙O相切．作法：①连接OC；②分别以点B，点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于⊙O外一点D；③作直线CD．直线CD就是所求作直线l．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接OB，BD，∵OB=OC=BD=CD，∴四边形OBDC是菱形，∵点A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°，∴∠BOC=______°（_________________）（填推理的依据）．∴四边形OBDC是正方形