连续的量子力学本征值问题的malab实现

连续的量子力学本征值问题的malab实现

有限差分法是一种简单有效的数值解算方法。文献~文献介绍了将薛定谔方程用有限差分法转化成久期方程进行数值求解的方法。文献求解了一维无限深势阱和含位势的一维无限深势阱。文献对普通的径向薛定谔方程和含时薛定谔方程进行了有限差分法的分析,给出了2种薛定谔方程的有限差分法的离散方程,并以线性谐振子为例进行了计算机编程推算。文献求解了抛物线势阱中的束缚能级和波函数。文献求解了磁场下量子环中一个电子在谐振子势下的薛定谔方程,并与B样条技术的计算结果进行了对比。文献求解了一维、二维、三维各向同性谐振子的薛定谔方程。文献讨论了薛定谔方程的差分矩阵化和紧束缚模型矩阵化之间的关系,以及由矩阵规模的扩大所引发的计算上的实际困难的解决方法。但是,目前在国内关于用有限差分法求解薛定谔方程来研究量子围栏问题还未见报道。量子围栏是指贵金属(如铜、银、金等)在晶面指标为(111)的表面电子态形成的二维电子气受杂质原子(如铁原子)散射作用而形成的电子驻波的扫描电镜图像。文献~文献介绍了量子围栏现象,并对这种现象进行了理论分析和计算机模拟。文献用无限高圆形对称散射势的近似方法模拟和分析了这种情况下受禁锢的表面态电子波的驻波,并介绍了通过实验观察电子驻波图像的方法。文献~文献利用柱坐标系中的薛定谔方程解出电子在无限高圆环势阱中的波函数及能量,并对量子围栏的图像进行简要的理论解释。文献基于Matlab运用有限元法模拟了处于圆形“量子围栏”内金属表面态电子的波函数及概率密度分布。文献用有限元法模拟了圆形、矩形、跑道形的围栏内金属表面电子的分布。文献分别根据二维无限高势垒模型、二维有限高势垒模型及多体散射理论对量子围栏中金属表面电子的局域态密度在空间上的变化进行了模拟。但是,这些模型和模拟大多没有考虑铁原子分布的不连续性。1维定态刑事法中的问题文献~文献都对一维问题进行了具体的推导。限于篇幅,以下仅对二维情况进行说明:二维定态薛定谔方程在Matlab编程环境下,按照物理模型生成格点,计算哈密顿矩阵的元素,利用Matlab内部函数eig计算本征向量和本征值。2能量对势垒的排斥作用将势阱宽1000等分,计算得到能量最低的3个态密度分布,如图1所示。计算结果与理论结果一致,可见当能量较低时,波函数变化缓慢,用有限差分法计算的结果精度较高。为了观察量子围栏效应,将势阱宽1000等分,取U=1×10-3(能量约化单位),在势阱中布置2个势垒,计算得到能量最低的3个态密度分布,如图2所示,其中插图为势垒分布图。由此可见,能量较低时,势垒对物质波有阻隔作用,物质波有一定的渗透深度。图3是在势阱中布置2个势垒时4号态~9号态的态密度分布。由图3(a)可见,5号态和6号态的2个态密度分布,势垒中的态密度高于势阱中部的态密度,这说明在一定的能量条件下,势垒对微观粒子有吸引作用,这是一种能量共振效应。由图3(b)可见,随着粒子能量的增加,势垒对物质波的排斥作用也在增加。总之,在势阱中有2个势垒时,可以观察到量子围栏效应。3mtatba结构模拟清洁铜表面上48个铁原子构成的圆形量子围栏电子态密度,取80×80的等宽网格。在半径为34个约化长度单位的圆周上等间距布置48个势垒,势垒高度为0.5个约化能量单位。图4是6号态的态密度分布,插图为清洁铜表面48个铁原子构成的圆形量子围栏模型,由图4可见,圆形量子围栏与一维量子围栏具有类似的性质,即能量较低时,势垒对物质波有阻隔作用,物质波有一定的渗透深度。1号态~20号态的能级以约化单位列于表1。由表1可见,2号态和3号态、4号态和5号态、7号态和8号态、9号态和10号态等分别具有相同的能量,能级是简并的。由于采用有限差分法模拟圆形区域时边界的近似,随着能级的增高,简并态发生分裂,如,11号态和12号态、15号态和16号态等。图5(a)、图5(b)、图5(c)分别为7号态、8号态、19号态的态密度分布。由此可见,7号态和8号态不具有任意角度的旋转对称性,而19号态相反,它具有任意角度的旋转对称性。这是由于在Matlab中用内部函数eig计算本征向量是实的。7号态和8号态是简并态,由7号态和8号态叠加成的复数态其态密度分布具有任意角度的旋转对称性,如图5(d)所示。图6(a)为75号态的态密度分布。由此可见,上述模型能够模拟出圆形量子围栏的波纹图像,但方形势阱的反射波纹也叠加在其中。为了改善模拟结果,图6(b)是将模拟铁原子的势垒高度调整为0.8个约化能量单位,在其内部设置深为1.25个约化能量单位的势阱(相对于势垒顶)时的69号态的态密度分布。比较显见,方形势阱的反射波纹有所减弱,且看到了原子所在位置的小峰,这与文献中图1所示的STM图像更为接近。综上所述,在边长为80个约化长度单位的方形无限深势阱中,半径为34个约化长度单位的圆周上等间距布置48个带势阱的势垒,较好地模拟了圆形量子围栏的态密度分布。用铁原子内部的势阱模拟了铁原子对电子的吸引作用。在Matlab中用有限差分法求解二维定态薛定谔方程,方法简单易懂,效果较好。4圆形量子围栏的模拟本文简要介绍了有限差分法求解定态薛定谔方程的方法,成功实现了在Matlab环境下用有限差分法求解定态薛定谔方程。用一维无限深势阱模型检测这种方法的精度,并研究了一维量子围栏效应,较好地实现了圆形量子围栏的模拟。与文献相比,本研究将一维无限深势阱中的1个势垒变化为2个势垒,分析较高能级的态密度分布,从而得到比文献更为丰富的物理图像。用一维图像说明量子围栏现象,有助于对基本概念的认识和理解。与文献相比,本研究在Matlab环境下用有限差分法求解定态薛定谔方程,用铁原子内部的势阱模拟了铁原子对电子的吸引作用,从而得到比文献更为接近圆形量子围栏的STM图像。参照文献表面态电子的有效质量为电子静止质量的0.38倍,圆形量子围栏半径为7.13nm,本研究模拟圆形量子围栏的能量约化能量单位为2.4217eV。图6(a)对应的能级为0.4667eV,图6(b)对应的能级为0.4560eV,模拟铁原子的势垒变化对能级有一定的影响,但影响较小。这些结果都在文献中用多体散射理论模拟研究的2种情形之内,因此是可以接受的。多体散射理论抽象,对其理解可以与波动光学中的光栅衍射类比。光栅是一种具有空间周期性的透光或反光器件。在圆形量子围栏的模拟中,48个铁原子的量子围栏就变成了一个类似于圆形光栅的电子波的衍射栅,模拟得到的态密度分布图就是电子波的衍射图样。本文旨在用有限差分法解定态薛定谔方程,用离散布置势垒或势阱的方法,模拟清洁铜表面48个铁原子构成的圆形量子围栏,通过Matlab软件编程求解并可视地描述电子态密度,从而更为接近实际地模拟量子围栏。其中:m为微观粒子的质量为约化普朗克常量为势函数;Ψ(x,y)为波函数。记格点波函数为Ψm,n=Ψ(xm,yn),格点势函数为Um,n=U(xm,yn),取Δx=xm-xm-1=xm+1-xm=Δy=yn-yn-1=yn+1-yn,则有:将式(2)代入式(1)得:将格点波函数Ψm,n重排成向量(用向量元素Φi表示),而Ψm+1,n、Ψm-1,n、Ψm,n+1和Ψm,n-1为格