积分变换第6讲

积分变换

第6讲

2021/5/91拉氏变换的性质本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的.为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为c.在证明性质时不再重述这些条件2021/5/921.线性性质若a,b是常数

L[f1(t)]=F1(s),L[f2(t)]=F2(s),则有

L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)

L-1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.2021/5/93微分性质若L[f(t)]=F(s),

则有 L[f'(t)=sF(s)-f(0) (2.3)

证根据分部积分公式和拉氏变换公式2021/5/94推论若L[f(t)]=F(s),则

L[f''(t)]=sL[f'(t)]-f'(0)

=s{sL[f(t)]-f(0)}-f'(0)

=s2L[f(t)]-sf(0)-f'(0)

...

L[f(n)(t)]=sL[f(n-1)(t)]-f(n-1)(0)

=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f'(0)-...-f(n-1)(0)(2.4)2021/5/95特别,当初值f(0)=f‘(0)=...=f(n-1)(0)=0时,有

L[f’(t)]=sF(s),L[f‘’(t)]=s2F(s),...,

L[f(n)(t)]=snF(s) (2.5)

此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化

为F(s)的代数方程.2021/5/96例1利用微分性质求函数f(t)=coskt的拉氏变换.

由于f(0)=1,f'(0)=0,f''(t)=-k2coskt,则

L[-k2coskt]=L[f''(t)]=s2L[f(t)]-sf(0)-f'(0).

即

-k2L[coskt]=s2L[coskt]-s

移项化简得2021/5/97例2利用微分性质,求函数f(t)=tm的拉氏变换,其中m是正整数.

由于f(0)=f'(0)=...=f(m-1)(0)=0,而f(m)(t)=m!

所以L[m!]=L[f(m)(t)]=smL[f(t)]-sm-1f0)-

sm-2f'(0)-...-f(m-1)(0)

即

L[m!]=smL[tm]2021/5/98此外,由拉氏变换存在定理,还可以得到象函数的微分性质:

若L[f(t)]=F(s),则

F'(s)=L[-tf(t)],Re(s)>c. (2.6)

和 F(n)(s)=L[(-t)nf(t)],Re(s)>c. (2.7)

这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序2021/5/99例3求函数f(t)=tsinkt的拉氏变换.2021/5/9103.积分性质若L[f(t)]=F(s)2021/5/911重复应用(2.8)式,就可得到:2021/5/912由拉氏变换存在定理,还可得象函数积分性质:

若L[f(t)]=F(s),则2021/5/913例4求函数的拉氏变换.2021/5/914其中F(s)=L[f(t)].此公式常用来计算某些积分.例如,

2021/5/9154.位移性质若L[f(t)]=F(s),则有

L[eatf(t)]=F(s-a) (Re(s-a)>c).(2.12)

证根据拉氏变换式,有上式右方只是在F(s)中将s换为s-a,因此

L[eatf(t)]=F(s-a) (Re(s-a)>c)2021/5/916例5求L[eattm].例6

求L[e-atsinkt]2021/5/9175.延迟性质若L[f(t)]=F(s),又t<0时f(t)=0,则对于任一非负数t0,有

L[f(t-t)]=e-stF(s) (2.13)

证根据(2.1)式,有2021/5/918函数f(t-t)与f(t)相比,f(t)从t=0开始有非零数值.而f(t-t)是从t=t开始才有非零数值.即延迟了一个时间t.从它的图象讲,f(t-t)是由f(t)沿t轴向右平移t而得,其拉氏变换也多一个因子e-st.Ottf(t)f(t-t)2021/5/919例7求函数的拉氏变换.1u(t-t)ttO2021/5/920例8求如图所示的阶梯函数f(t)的拉氏变换.

利用单位阶跃函数u(t)可将f(t)表示为f(t)4A3A2A1AOtt2t3t2021/5/921利用拉氏变换的线性性质及延迟性质,可得当Re(s)>0时,有|e-st|<1,所以,上式右端圆括号中为一公比的模小于1的等比级数,从而2021/5/922一般地,若L[f(t)]=F(s),则对于任何t>0,有2021/5/923例9求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变换OT2tEf(t)T2T2OOEETTtf1(t)f2(t)t2021/5/924由前图可知,f(t)=f1(t)+f2(t),所以2021/5/925例10求如下图所示的半波正弦函数fT(t)的拉氏变换T23T25T2tT2TOEfT(t)2021/5/926由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的拉氏变换为从而2021/5/927这是一个求周期函数拉氏变换的简单方法,即设fT(t)(t>0)是周期为T的周期函数,如果且L[f(t)]=F(s),则2021/5/928初值定理与终值定理2021/5/929证根据拉氏变换的微分性质,有

L[f'(t)]=L[f(t)]-f(0)=sF(s)-f(0)

两边同时将s趋向于实的正无穷大,并因为2021/5/930(2)终值定理若L[f(t)]=F(s),且sF(s)在Re(s)0的区域解析,则2021/5/931证根据定理给出的条件和微分性质

L[f'(t)]=sF(s)-f(0),

两边取s0的极限,并由2021/5/932这个性质表明f(t)在t

时的数值(稳定值),可以通过f(t)的拉氏变换乘以s取s0时的极限值而得到,它建立了函数f(t)在无限远的值与函数sF(s)在原点的值之间的关系.

在拉氏变换的应用中,往往先