人教B版数学选修1-1讲义第2章2.12.1.1椭圆及其标准方程Word版含答案

2.1椭圆2.学习目标核心素养1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.通过对椭圆定义的理解及在直角坐标系下探究椭圆的标准方程，培养学生的直观想象、数学抽象素养.2.以椭圆定义、方程的应用为载体，提升学生的逻辑推理和数学运算素养.1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．(2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a＞|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a＜|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)a，b，c的关系a2＝b2＋c2思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？[提示]a，b的值及焦点所在的位置．1．已知点M到两个定点A(－1,0)和B(1,0)的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是()A一个椭圆B．线段ABC．线段AB的垂直平分线D．直线ABB[定值2等于|AB|，故点M只能在线段AB上．]2．以下方程表示椭圆的是()A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,25)＝1 B．2x2－3y2＝2C．－2x2－3y2＝－1 D．eq\f(x2,n2)＋eq\f(y2,n2＋2)＝0C[A中方程为圆的方程，B，D中方程不是椭圆方程．]3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是()A．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C[若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1；若焦点在y轴上，则a＝2，c＝1，则b2＝3，此时椭圆方程是eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1.]求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(eq\r(3)，－2)和点B(－2eq\r(3)，1)．[思路探究]求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算．[解](1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵2a＝eq\r(5＋42)＋eq\r(5－42)＝10，∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))故所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1.(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)2,a2)＋\f(－22,b2)＝1，,\f(－2\r(3)2,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝15，,b2＝5.))故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－22,a2)＋\f(\r(3)2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(－2\r(3)2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝15.))因为a>b>0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m＋4n＝1，,12m＋n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,15)，,n＝\f(1,5).))所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3eq\r(2))；(2)经过两点(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2))).[解](1)法一：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义知2a＝eq\r(4－02＋3\r(2)＋22)＋eq\r(4－02＋3\r(2)－22)＝12，所以a＝6.又c＝2，所以b＝eq\r(a2－c2)＝4eq\r(2).所以椭圆的标准方程为eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1.法二：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设其标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(18,a2)＋\f(16,b2)＝1，,a2＝b2＋4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝36，,b2＝32.))所以椭圆的标准方程为eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1.(2)法一：若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,8)，,\f(1,b2)＝\f(1,4).))所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在．综上，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．将两点(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.与椭圆有关的轨迹问题【例2】如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．[解]由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|.∴|CM|＋|MA|＝5.∴M点的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝eq\f(5,2)，c＝1，∴b2＝a2－c2＝eq\f(25,4)－1＝eq\f(21,4).∴所求轨迹方程为：eq\f(x2,\f(25,4))＋eq\f(y2,\f(21,4))＝1.在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．[解]如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意动圆M内切于圆C1，∴|MC1|＝13－r.圆M外切于圆C2，∴|MC2|＝3＋r.∴|MC1|＋|MC2|＝16＞|C1C2|＝8，∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.椭圆的定义及其应用[探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？[提示]P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a＞|F1F2|}．2．如何判断椭圆的焦点位置？[提示]判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．椭圆标准方程中，a，b，c三个量的关系是什么？[提示]椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2(如图所示)．【例3】如图所示，已知椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，若点P为椭圆上的点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．[思路探究]由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解．[解]由已知a＝2，b＝eq\r(3)，得c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(4－3)＝1，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|. ②②代入①解得|PF1|＝eq\f(6,5).所以Seq\s\do5(△PF1F2)＝eq\f(1,2)|PF1|·|F1F2|·sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),5)，即△PF1F2的面积是eq\f(3\r(3),5).(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点P的坐标．[解]设P点坐标为(x0，y0)．由本例解答可知Seq\s\do5(△PF1F2)＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y0|＝eq\f(3\r(3),5)，解得|y0|＝eq\f(3\r(3),5)，即y0＝±eq\f(3\r(3),5)，将y0＝±eq\f(3\r(3),5)代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1得x＝±eq\f(8,5)，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(8,5)，±\f(3\r(3),5))).椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝eq\f(1,2)absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量.1．思考辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ()(2)椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的焦点坐标是(±3,0)． ()(3)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆． ()[提示](1)×2a＞|F1F2|.(2)×(0，±3)．(3)×a＞b＞0时表示焦点在y轴上的椭圆．2．已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为()A．1 B．5C．2 D．7D[由|PF1|＋|PF2|＝10可知到另一焦点的距离为7.]3．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.eq\f