高中数学导数练习题含答案

高中数学导数练习题含答案一、解答题1．已知函数(1)若时，恒成立，求a的取值范围；(2)当，时，方程有两个不相等的实数根，求证：2．函数，.(1)讨论函数的极值点个数；(2)已知函数的定义域为，且满足.若，满足不等式，且是函数的极值点，求的取值范围.3．已知函数，.(1)若恒成立，求实数a的取值范围；(2)若，且，试比较与的大小，并说明理由.4．已知函数，.(1)当时，求函数在区间的最大值和最小值；(2)当在有解，求实数k的取值范围；(3)当函数有两个极值点，，且时，是否存在实数m，总有成立，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.5．已知函数为常数，且函数的图象在处的切线斜率小于(1)求实数a的取值范围;(2)试判断与的大小，并说明理由.6．已知函数，是其导函数，其中．(1)若在上单调递减，求a的取值范围；(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围．7．设函数，其中且，e是自然对数的底数.(1)设是函数的导函数，若在上存在零点，求a的取值范围；(2)若，证明：.8．已知函数.(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)若函数在处取得极大值，求的取值范围；(3)若函数存在最小值，直接写出的取值范围.9．已知函数．(1)若在处取得极值，求的单调区间；(2)若函数有1个零点，求a的取值范围．10．已知函数在处取得极值．(1)求的单调区间；(2)求在上的最小值和最大值．【参考答案】一、解答题1．(1)(2)证明见解析【解析】【分析】，，设，求导得，分与两类讨论，即可求得a的取值范围；当时，方程有两个不相等的实数根，，不妨设，则，要证，只需证，而，只需证明，再构造函数，设，通过求导分析即可证得结论成立．(1)，，即，设，，当时，，在上单调递增，，满足条件；当时，令，得，当时，；当时，，在区间上单调递减，在区间上单调递增，，，与已知矛盾．综上所述，a的取值范围是(2)证明：当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，由方程有两个不相等的实数根，不妨设，则，要证，只需证，在区间上单调递增，只需证又，只需证明，设，则，在区间上单调递增，，，即成立，原不等式成立，即成立．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．2．(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求出，由知，分离参数得，引入函数，由的导数确定单调性与极值，可作出函数的大致图象，结合图象分类讨论得出零点个数，根据极值定义得极值点个数；（2）令，求导后得是增函数，不等式，整理得，即，由单调性得的范围，从而得出的范围，结合极值点的要求得，然后由（1）的函数的性质得的范围．(1)，则，函数的极值点为导函数的变号零点，显然不是的解，当时，令，则，故的单调性如表格所示：单调递增单调递减极小值单调递增则极小值为，可得函数的大致图象如图，故当时，有两个解()，在两侧的符号相等，在两侧，不变号，有1个极值点；当时，有三个解，在这三个解两侧均变号，有3个极值点.(2)令，则，因为满足，故，则，故函数是一个在定义域上单调递增的函数；又，满足不等式，整理得，即，结合定义域有故的取值范围是，又是函数的极值点，即函数的变号零点，∴，由（1）知，函数在区间上单调递减，故.【点睛】本题考查用导数确定函数的极值点，研究不等式恒成立问题，解题关系是问题的转化，极值点的个数问题转化为方程的根的个数，再转化为函数图象交点个数．不等式问题通过引入函数，利用函数单调性化简得出参数范围，本题属于困难题，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高．3．(1)(2)，理由见解析【解析】【分析】（1）分离参变量，得到恒成立，构造函数，将问题转化为求函数的最值问题；（2）由（1）可得，从而判断的单调性，确定，再通过构造函数，利用导数判断其单调性，最终推出；再次构造函数，判断其单调性，由此推出，可得结论.(1)恒成立，即恒成立，令，，当时，，函数递减；当时，，函数递增，故，所以.(2)，由（1）知，所以在上，所以在上单调递增，且.所以，设，，设，则，，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，令，，令，，，，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以，，而在上单调递增，所以，；设，，所以单调递减，且，，，所以，即，即，所以，所以，即.所以.【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立时求参数范围问题以及利用导数比较函数值大小问题，综合性较强，难度较大，解答的关键是要合理地构造函数，利用导数判断函数单调性以及确定极值或最值，其中要注意解答问题的思路要清晰明确.4．(1)最大值为，最小值为；(2)；(3).【解析】【分析】（1）求得，利用导数研究函数在区间上的单调性，再利用单调性求其最值即可；（2）分离参数并构造函数，求其在区间上的值域即可求得参数的范围；（3）根据是的极值点，求得的等量关系以及取值范围，等价转化目标不等式，且构造函数，对参数进行分类讨论，利用导数研究其值域，即可求得参数范围.(1)当时，，，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增；又，且，故在上的最大值为，最小值为.(2)令，因为，则，故，令，则，故当，单调递减，当，单调递增，又，且，故的值域为，则要满足题意，只需.即的取值范围为：.(3)因为，，因为有两个极值点，故可得，也即，且.因为，，故，则，即，因为，故上式等价于，即，又当时，，当时，，令，则，当时，，故在单调递增，又，故当时，，当时，，故不满足题意；当时，令，若方程对应的时，即时，，单调递减，又，故当时，，当时，，满足题意；若，即时，又的对称轴，且开口向下，又，不妨取，故当，，单调递增，又，故此时，不满足题意，舍去；综上所述：的取值范围为.【点睛】本题考察利用导数研究函数值域，有解问题，以及利用导数处理恒成立问题；其中第三问中，合理的处理以及多变量问题，以及构造函数，是解决本题的关键，属综合困难题.5．(1)(2)答案见解析【解析】【分析】（1）求导后根据题意解不等式（2）化为相同形式，构造函数根据单调性判断(1)由，且函数在处的切线斜率小于，知，解得故a的取值范围为(2)由可知与均为正数.要比较与的大小，可转化为比较与的大小.构造函数，则，再设，则，从而在上单调递减，此时，故在上恒成立，则在上单调递减.综上可得，当时，当时，当时，6．(1)(2)【解析】【分析】（1）求出导函数，根据在上单调递减，可得在上恒成立，分类参数可得在上恒成立，令，利用导数求出函数的最大值即可得解；（2）将已知不等式转化为对恒成立，令，在对分类讨论，求出的最大值小于等于0，即可求出答案.(1)解：，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，所以a的取值范围为；(2)解：由得，即对恒成立，令，，当时，，不满足；当时，时，，时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，不符合题意；当时，时，，时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，解得，综上所述，a的取值范围.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力.7．(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由分离参数并构造函数，求解其值域作答.（2）将不等式等价转化，构造两个函数，并分别探讨它们的最大、最小值即可推理作答.(1)依题意，，由得：，令，，则，即在上单调递增，当时，，即，由在上存在零点，则方程在上有根，因此有，解得，所以a的取值范围是：.(2)函数的定义域为，当时，，令，，求导得：，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，令，，求导得：，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，因此，，，而的最大值与的最小值不同时取得，即上述不等式中不能同时取等号，于是得：，成立，即成立，所以.【点睛】思路点睛：证明不等式常需构造辅助函数，将不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性、求最值等解决.8．(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）先求导后求出切线的斜率，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.(1)解：由题意得：，故曲线在点处的切线的方程.(2)由（1）得要使得在处取得极大值，在时应该，在时应该，故①且，解得②且，解得当时，，满足题意；当时，，不满足题意；综上：的取值范围为.(3)可以分三种情况讨论：①②③若，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，无最小值；若时，当时，趋向时，趋向于0；当，要使函数取得存在最小值，解得，故处取得最小值,故的取值范围.若时，在趋向时，趋向于0，又故无最小值；综上所述函数存在最小值，的取值范围.9．(1)单调减区间为，单调增区间为(2)或【解析】【分析】（1）求导，因为函数再处取得极值，所以（1），解得，进而可得函数的解析式，再求导，分析函数的单调性．（2）分类讨论，利用导数判断函数的单调性，根据函数的零点个数，确定函数的最值情况，从而求得答案.(1)，，因为函数在处取得极值，所以，所以，所以，，故当时，所以，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数在处取得极小值，所以实数的值为2，函数的单调减区间为，单调增区间为．(2)当时，，而，此时函数无零点，不合题意；当时，，，函数单调递减，作出函数

的大致图象如图：此时在的图象在内有一个交点，即在有一个零点；当时，，当时，，函数递增，当时，，函数递减，故，作出函数的大致图象如图此时要使函数有1个零点，需使得，即，解得，综合上述，可知求a的取值范围为或.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间以及函数零点问题，解答时要明确函数的单调性以及极值和导数之间的关系，解答的关键是分类讨论，利用导数判断函数单调性，确定函数零点有一个的