4水文统计课件

第四章水文统计研究对象：频率计算，相关分析研究内容：频率计算：随机变量及其概率分布水文频率曲线水文频率计算适线法、相关分析：两变量直线相关11/6/20231重庆交通大学工程水文学研究目的研究河川径流的统计变化规律，预估径流未来的变化趋势，以满足水利水电工程规划、设计、施工和运行管理的需要。第四章水文统计11/6/20232重庆交通大学工程水文学第一节概述内容提要：水文现象的两重性概率论与数理统计（水文统计）水文统计的任务学习要求：了解水文现象的基本特点掌握水文统计的任务11/6/20233重庆交通大学工程水文学一水文现象的特性水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面，也具有偶然性的一面。1、必然现象是指事物在发展、变化中必然会出现的现象；水文学中称水文现象的这种必然性为确定性。2、偶然现象是指事物在发展、变化中可能出现也可能不出现的现象，偶然现象也称随机现象；偶然现象短期观测结果不稳定，甚至杂乱无章，无一定规律，但经过长期观测后可呈现出一定的规律性。一般将从随机现象长期观测资料中统计出来的规律称为统计规律。将从水文随机现象长期观测资料中统计出来的规律称为水文统计规律。

11/6/20234重庆交通大学工程水文学二水文统计定义及其研究对象定义利用概率论与数理统计的理论和方法，研究和分析水文随机现象的统计变化规律的科学称为水文统计。研究对象水文统计主要研究对象为各种水文特征值，如年洪峰流量、年径流量、各种雨量、泥沙、水位等。工程水文计算中运用数理统计方法来解决一些实际工程问题。例如，在某流域上设计一个水库，为了保障水库的防洪安全，就必须了解水库运营期间可能发生的最大洪水。水库运营期一般在100年以上，要预测这么长时间内可能发生的最大洪水，又由于影响洪水大小的因素众多，难以基于必然现象的规律，应用成因方法对径流做出这样长期的时序定量预报，因而只能基于统计规律，运用数理统计方法对径流做出概率预估，估计出在水库运营期内可能出现的洪水（概率意义上预测），作为水库防洪安全设计的重要依据。11/6/20235重庆交通大学工程水文学二水文统计的任务任务

利用概率论与数理统计的理论和方法，研究和分析水文随机现象的统计变化特性，并以此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出概率意义下的定量预估，为工程的规划、设计、施工以及运营管理提供水文依据。11/6/20236重庆交通大学工程水文学具体方法和内容根据已有的资料（样本），进行频率计算，推求指定频率的水文特征值；研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长、插补水文特征值和作水文预报；根据误差理论，估计水文计算中的随机误差范围。二水文统计所解决的主要问题11/6/20237重庆交通大学工程水文学第二节随机变量及其分布参数内容提要

概率中基本概念、随机变量的概率分布与统计参数学习要求：

1.了解概率中的基本概念；

2.掌握水文随机变量的概率分布与统计参数

11/6/20238重庆交通大学工程水文学一、概率中的几个基本概念随机试验：在概率论中，对随机现象的观测叫做随机试验。事件：随机试验的结果分类：

必然事件：在一定的条件组合下，必然会发生的事件；（降雨-产流-水位上升）

不可能事件：在一定的条件组合下，一定不可能发生的事件；（洪水-断流）

随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不发生的事件。（洪峰流量）随机试验及事件11/6/20239重庆交通大学工程水文学一、概率中的几个基本概念在同等可能的条件下，随机事件在试验的结果中可能出现也可能不出现，但其出现或不出现的可能性大小则不相同，例如，年降雨量出现在均值附近的可能性要不出现极大值或极小值的可能性要大得多。为了比较随机事件出现的可能性大小，引入概率的概念。概率：随机事件在随机试验中出现的可能结果数与随机试验中所有可能出现的结果数的比值，反映了随机事件出现的可能性。P(A)=k/n显然，必然事件的概率等于1，不可能事件概率等于0，随机事件概率介于0与1之间。频率：指在具体的重复试验中，随机事件A出现的次数m与试验总次数n的比值。W(A)=m/n概率及频率11/6/202310重庆交通大学工程水文学一、概率中的几个基本概念概率与频率的区别与联系区别：概率为理论值，频率为经验值

联系：当n趋于无穷大时，频率稳定并趋于概率，水文上用频率代替概率。

对于水文现象，只能采用有限的多年实测水文资料组成样本系列，推求频率作为概率的近似值。11/6/202311重庆交通大学工程水文学随机变量：随试验结果不同而发生变化的变量。通俗地讲，指在随机试验中测量到的数量。水文统计研究的是水文随机变量。对于水文现象而言，指某种水文特征值，如某地区流域出口的年径流量和洪峰流量等。通常随机变量用大写字母X表示，它的种种可能取值用相应的小写字母x表示。若取n个，则X＝x1，X=x2，……，X＝xn。一般将x1，x2，……，xn称为系列。而可能取值出现的概率用P表示。离散型随机变量：若随机变量仅能取得一个有限区间内的某些间断的离散数值，则称为离散型随机变量。例如，掷一颗骰子出现的点数。连续性随机变量：若某随机变量可取得一个有限或无限区间内的任何数值，则称此随机变量为连续型随机变量。水文变量大多数属于连续型随机变量，如年降水量、洪峰流量等可取0和极限值之间的任何数值。一、概率中的几个基本概念随机变量11/6/202312重庆交通大学工程水文学总体：随机变量所有可能取值的全体，分有限总体和无限总体。成因相同、相互独立的同一水文变量的集合。有限总体：检验某厂生产的1万个产品的质量，不必全部检验，而抽取一种一部分检验就可以了。样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。样本容量：样本中所含随机变量的项数。水文现象属无限总体，因为其个体沿时程变化的数量应包括过去、现在和将来的所有情况。不可能完全找到总体，只能将已观测到的水文资料作为总体的一个随机样本，如果样本容量足够大的话，利用数理统计方法分析得到的随机样本的统计规律性才能比较准确的反映总体的近似情况，区域年径流量的总体属于无限总体，其总体是自古至今乃至将来极其长远岁月的每一年的径流总量。水文中概率分析的目的就是要由样本的统计规律来估计总体的规律。一、概率中的几个基本概念总体、样本、样本容量11/6/202313重庆交通大学工程水文学定义：某一随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次，又称多少年一遇，T，年重现期与频率的关系：根据研究对象不同，重现期T与频率P（%）之间分别存在如下两种关系：研究洪水：P<50%，T=1/P；研究枯水：P>50%，T=1/(1-P)必须指出的是，由于水文现象一般无固定周期性，所谓百年一遇洪水是指大于或等于该频率的洪水在长时期内平均100年发生一次，而不能理解为恰好每隔100年遇上一次。对于具体的100年来说，超过或等于这样的洪水可能有几次，也可能一次也不会出现。长江98大洪水以及99大洪水就是实例。一、概率中的几个基本概念重现期11/6/202314重庆交通大学工程水文学随机变量可以取所有可能值中的任何一个值，但是取某一可能值的机会是不同的，有的机会大，有的机会小。一般将随机变量的取值与取值概率之间存在的相互对应关系称为概率分布。二随机变量的概率分布11/6/202315重庆交通大学工程水文学二随机变量的概率分布（1）离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布一般用分布列表示概率满足下列两个条件：①

pn≥0②∑pn=1Xx1x2……xi……P(X=xi)p1p2……pi……11/6/202316重庆交通大学工程水文学（2）连续型随机变量的概率分布对连续性随机变量而言，由于其可能取值为无限，而取个别值的概率趋于零，因而无法研究个别值的概率，只能研究某个区间的概率：X≥x，X≤x或a<X<b一般研究随机变量X的取值大于或等于某一个取值x的概率，即研究X≥x的概率，表示为P（X≥x）；

P（X<x）=1-P（X≥x）

P(x+△x>X≥x)=P（X≥x）

-P（X≥x+△x）

水文统计中通常研究X≥x的概率及其分布。二随机变量的概率分布11/6/202317重庆交通大学工程水文学（2）连续型随机变量的概率分布随机变量概率分布函数:随机变量X的取值大于或等于某数值x的概率即P（X≥x）为x的函数，水文上称P（X≥x）为随机变量X的概率分布函数，即为F(x)，它代表X的取值大于等于某一取值x的概率。随机变量概率分布函数值F（x）与变量x之间的变化关系曲线称为随机变量的累积频率曲线，水文上简称频率曲线。概率密度函数f(x)：指随机变量概率分布函数导数的负值，或简称密度函数。密度函数的几何曲线称密度曲线。二随机变量的概率分布11/6/202318重庆交通大学工程水文学二随机变量的概率分布概率分布函数与概率密度函数的关系对于连续性随机变量而言，密度函数和分布函数从不同的角度完善的描述了随机变量的概率分布规律，因此密度函数和分布函数构成了随机变量的基本特征。11/6/202319重庆交通大学工程水文学从统计学的观点来看，任何一个随机变量系列的统计规律都可以用密度曲线或分布曲线完整的刻画，但对于水文随机变量总体未知，无法求出F(x)和f(x)的明确解析函数表达式。对一些具体问题而言，有时不一定需要用完整的形式说明随机变量，而只要知道能够说明随机变量主要特性的某些特征数值就可以了。例如，某地年降水量是一个随机变量，各年不同，有一定概率分布曲线。若只要了解该地年降水量的概括情况，其多年平均年降水量就是反映该地年降水量多寡的一个重要的数量指标。统计参数：用于反映随机变量的统计规律或分布规律的某些特征数字。统计参数分为总体统计参数和样本统计参数两类。水文现象的总体通常是无限的，它是指自古迄今以至未来长远岁月所有的水文系列。显然，水文随机变量的总体是不知道的，这就需要在总体不知道的情况下，靠有限的样本观测资料去估计总体统计参数或总体的分布规律。常用统计参数类型：主要有均值、均方差、变差系数、偏态系数此处只介绍样本统计参数。二随机变量的统计参数11/6/202320重庆交通大学工程水文学1均值含义：反映随机变量系列平均水平的高低。

设某水文变量的观测系列（样本）为x1，x2，……,xn

则其均值计算公式为

:

11/6/202321重庆交通大学工程水文学2均方差σ含义：反映随机变量系列在均值两侧的绝对离散程度。用于样本系列的均方差计算公式：

均方差对密度曲线的影响均方差越大，系列越离散；反之，则越集中。σ2＞

σ1σ1σ211/6/202322重庆交通大学工程水文学3变差系数Cv含义：反映随机变量系列在均值两侧的相对离散程度。计算公式：变差系数越大，系列越离散；反之，则越集中11/6/202323重庆交通大学工程水文学4偏态系数CS含义：反映随机变量系列在均值两侧分布不对称程度。计算公式：

Cs=0——对称分布；随机变量大于均值与小于均值出现机会相等

Cs>0——正偏分布；随机变量大于均值比小于均值出现的机会小

Cs<0——负偏分布；随机变量大于均值比小于均值出现的机会大11/6/202324重庆交通大学工程水文学第三节水文频率曲线线型水利水电工程的规划设计，常常需要知道大于或等于某一特征值的频率是多少，也就是要提供一定频率的水文数值，这就需要绘制频率曲线。水文计算中习惯上把由实测资料（样本）所绘制的频率曲线称为经验频率曲线，而把由数学方程式所表示的频率曲线称为理论频率曲线。理论频率曲线有很多种，选择哪一种频率曲线作为水文频率分布线型的理论频率曲线，主要取决于其与大多数水文资料的经验频率点据的配合情况。11/6/202325重庆交通大学工程水文学经验频率定义：将实测水文变量资料按递减次序排列，并以自然数顺序编序号，然后依次利用一定的公式计算系列中各项的频率，称为经验频率。经验频率计算公式

一经验频率曲线与水文现象为无限总体的实际情况不符合与水文现象为无限总体的实际情况符合11/6/202326重庆交通大学工程水文学经验频率曲线的绘制（1）将样本值从大到小排队（2）计算各样本值的经验频率（3）点绘经验点（pi，xi）（4）目估绘制一条光滑的曲线通过点群中心画一条线一经验频率曲线11/6/202327重庆交通大学工程水文学例1：已知某站24年的最大洪峰流量实测资料，绘制其经验频率曲线，并求10年一遇的设计洪水。

年份最大洪峰流量Qm（m3/s）序号由大到小排列的Qm（m3/s）经验频率(%)（1）（2）（3）（4）（5）197019711972197319741975197619771978197919801981198219831984198519861987198819891990199119921993717042603550922043205650462095303840319036207030191073505240266035502150726049603170465040009110123456789101112131415161718192021222324953092209110735072607170703056505240496046504620432042604000384036203550355031903170266021501910481216202428323640444852566064687276808488929611/6/202328重庆交通大学工程水文学11/6/202329重庆交通大学工程水文学经验频率曲线存在的问题优点：计算工作量小，绘制简单，查用方便；缺点：受资料限制，外延难定方向，影响设计成果精度；水文要素的统计规律具有一定的地区性，利用这种地区性规律可解决无实测资料时小流域的水文计算问题，但这种地区性规律很难直接用经验频率曲线综合出来。解决方法：理论频率曲线具有特定的数学表达式，外延方便一经验频率曲线11/6/202330重庆交通大学工程水文学水文随机变量究竟服从何种分布，目前还没有充足的论证，而只能以某种理论线型近似代替

理论频率曲线定义：能用数学方程式表示、符合经验点据分布规律的曲线称为理论频率曲线。理论频率曲线含义：水文计算中所说的“理论频率曲线”仅是有别于经验频率曲线的称谓，并没有物理成因根据，千万不要误认为水文现象的总体概率分布已从物理意义上严格被证明的累积频率曲线，它只是水文现象总体情况的一种假设模型，或者说是根据经验资料从数学的已知频率函数中选出来的。国内外采用的理论线型已有10余种正态曲线和皮尔逊Ш型曲线比较常用二理论频率曲线11/6/202331重庆交通大学工程水文学理论频率曲线一：正态分布曲线概率密度函数特点（1）单峰（2）关于均值对称，即Cs＝0（3）曲线两端以x轴为渐近线11/6/202332重庆交通大学工程水文学正态分布在水文上的应用频率格纸的横坐标理论频率曲线一：正态分布曲线横坐标：两端稀疏，中间密集纵坐标：普通分格11/6/202333重庆交通大学工程水文学理论频率曲线二：P-III型曲线皮尔逊-III型曲线由英国生物学家皮尔逊提出。因该曲线和水文实测资料的经验分布配合良好，在水文中得到广泛应用。1概率密度函数2特点：一条一端有限一端无限的单峰不对称正偏曲线形状参数尺度参数未知参数11/6/202334重庆交通大学工程水文学3P-III型曲线的绘制

水文计算中，一般需要求出随机变量X大于等于某一数值的概率指定频率P（x>xp），也就是通过对密度曲线进行积分，求出等于及大于xp的累积频率曲线。根据概率分布函数和密度函数之间的关系可知，理论频率曲线二：P-III型曲线解决问题：已知P，求xP直接积分较困难，引入中间变量φ已知P，Cs，查附表1得φP，计算出xP已知P，Cv，Cs，查附表2得KP，计算出xP11/6/202335重庆交通大学工程水文学例2：已知某地多年平均降雨量1000mm、Cv=0.5、Cs=1.0若降雨量的分布符合P-III型，试求概率P=1％的年降雨量为多少？解：

由Cs=1.0，P=1％查得由Φp=3.02理论频率曲线二：P-III型曲线

P%CS0.010.1110501.01.11.25.966.186.414.534.674.813.023.093.151.341.341.34-0.15-0.16-0.1811/6/202336重庆交通大学工程水文学P-III型曲线P-III型曲线的绘制步骤（1）假设一组指定设计频率Pi；（2）根据已知参数Cv和Cs查附表，求出KP或ΦP（3）利用公式计算xP（4）在频率格纸上点绘（pi，xi）（5）目估绘制一条光滑的曲线通过点群中心概率P(%)Kpxp0.115102050759095992.72.151.741.541.310.950.710.530.450.313727109318846782966604830361026952288152511/6/202337重庆交通大学工程水文学P-III型曲线3P-III型曲线的应用已知P，Cv，Cs，均值，求xP

利用P-III型分布，查表计算。11/6/202338重庆交通大学工程水文学假设若干个P查表得KP或φP计算出xP点绘(xP,P)理论频率曲线根据已知的P，在曲线上读出xP应用基本流程概率P(%)Kpxp0.115102050759095992.72.151.741.541.310.950.710.530.450.3137271093188467829666048303610269522881525当已知P是附表中之一时，可以直接查表计算而得，不用绘制理论频率曲线11/6/202339重庆交通大学工程水文学均值对频率曲线的影响

4统计参数对理论频率曲线的影响在Cv和Cs一定时：（1）均值大的频率曲线位于均值小的频率曲线的右上方（2）均值越大，频率曲线越陡

P-III型曲线11/6/202340重庆交通大学工程水文学P-III型曲线CV对频率曲线的影响在均值和Cs一定时，Cv越大，理论频率曲线越陡。4统计参数对理论频率曲线的影响Cv=0.2Cv=0.211/6/202341重庆交通大学工程水文学P-III型曲线Cs对频率曲线的影响在均值、Cv一定的情况下，随着Cs的增大，理论频率曲线的上段变陡，中段曲率变大，下段变平缓4统计参数对理论频率曲线的影响11/6/202342重庆交通大学工程水文学定义

由有限的样本资料计算得到的样本统计参数去估计总体相应的统计参数总会出现一定的误差，这种由随机抽样而引起的误差称为抽样误差。

误差样本统计参数属于随机变量，其概率分布服从正态分布，样本统计参数与总体统计参数之间的误差为统计参数抽样误差，因总体参数未知，样本参数抽样误差无法准确求得，一般采用用样本统计参数均方差来衡量样本统计参数抽样误差大小。

统计参数的抽样误差：第五节抽样误差抽样误差的大小，随样本容量n、Cv和Cs的大小而变化11/6/202343重庆交通大学工程水文学Cs=2Cv时样本参数的均方误（相对误差%）参数

n

Cv

均值CvCs1005025101005025101005025100.10.30.50.71.0135710147101426101420391622327789101010111214141516172022232527321265141404217872828285252102828085399162130126134样本容量越大，抽样误差越小，因此，减少抽样误差最有效的途径：增大样本容量。在频率计算中，假定Cs=nCv来估计，而不用公式计算11/6/202344重庆交通大学工程水文学第六节水文频率计算----适线法适线法定义根据估计的理论频率曲线和样本经验点据分布配合最佳来优选水文统计参数的方法叫做适线法。适线法实质以经验频率点据为基础，在一定的适线准则下，求解与经验点据拟合最佳的频率曲线参数。方法目估适线法优化适线法11/6/202345重庆交通大学工程水文学1目估适线法基本步骤（1）在概率格纸上点绘经验点据（2）选定水文频率分布线型（一般选用皮尔逊Ш型）（3）初估均值、Cv，Cs=nCv（4）查附表1或附表2，利用公式Xp=Kp

计算xp值绘制理论频率曲线，与经验点据比较若配合不理想，可通过Cv和n，再比较，直到配合理想（5）配合理想的理论曲线即为采用曲线，相应的参数为总体参数估值（6）求指定频率的水文变量设计值

11/6/202346重庆交通大学工程水文学例题4-3已知某枢纽处实测24年的年最大洪峰流量资料列于下表中第(1)、(2)栏。试根据该资料用矩法初选参数配线，并推求千年一遇的洪峰流量。解：（1）点绘经验频率曲线11/6/202347重庆交通大学工程水文学某水利枢纽处年最大洪峰流量频率计算表经验频率年份最大洪峰流量Qm（m3/s）序号由大到小排列的Qm（m3/s）模比系数KiKi-1（Ki-1）2123456781970197119721973197419751976197719781979198019811982198319841985198619871988198919901991199219937170426035509220432056504620953038403190362070301910735052402660355021507260496031704650400091101234567891011121314151617181920212223249530922091107350726071707030565052404960465046204320426040003840362035503550319031702660215019101.871.811.791.451.431.411.381.111.030.980.910.910.850.840.790.760.710.700.700.630.620.520.420.380.870.810.790.450.430.410.380.110.03-0.02-0.09-0.09-0.15-0.16-0.21-0.24-0.29-0.30-0.30-0.37-0.38-0.48-0.58-0.620.760.660.630.200.180.170.150.010.000.000.010.010.020.030.050.060.080.090.090.140.140.230.330.39481216202428323640444852566064687276808488929611/6/202348重庆交通大学工程水文学（2）计算样本系列的统计参数

11/6/202349重庆交通大学工程水文学（3）选配理论频率曲线

=5084m3/s，Cv＝0.4，假定Cs＝2Cv＝0.8，查附表3得出相应于不同频率P的KP值，列入下表第(2)栏。乘以得相应的xp值，列入下表中第(3)栏。

频率P（%）第一次配线均值＝5084，

Cv＝0.4，Cs=0.8Kpxp1230.115102050759095992.72.151.741.541.310.950.710.530.450.313727109318846782966604830361026952288152511/6/202350重庆交通大学工程水文学

绘出相应的理论频率曲线，如下图由图可知：上、下部拟合不佳，需顺时针旋转，即增大Cv11/6/202351重庆交通大学工程水文学调整参数，第二次配线再次调整参数，第三次配线频率P（%）第一次配线均值＝5084，

Cv＝0.4Cs=0.8第二次配线均值＝5084，Cv＝0.5Cs=0.8第三次配线均值＝5084，Cv＝0.5Cs=1.5KpxpKpxpKpxp12345670.115102050759095992.72.151.741.541.310.950.710.530.450.31372710931884678296660483036102695228815253.272.511.941.671.330.920.640.440.340.211662512761986384906762467732542237172910683.622.671.981.671.350.880.640.490.440.37184041357410066849068634474325424912237188111/6/202352重庆交通大学工程水文学第三次配线结果见下图，P-Ⅲ型理论曲线与经验频率点配合较好，故选取第三次配线所得结果为设计洪峰流量计算依据。

11/6/202353重庆交通大学工程水文学（4）设计洪峰流量推求

T=1000年，P=0.1%，查图或第三次配线表，得出相应洪峰流量为18404m3/s11/6/202354重庆交通大学工程水文学第七节相关分析

主要内容相关关系概念，简直线相关学习要求

1.了解变量之间存在哪几种关系，各有何特点；

2.掌握简直线相关分析的基本原理和分析方法；

3.了解相关分析的误差（回归线的误差、相关系数的误差）产生原因和表示方法

11/6/202355重庆交通大学工程水文学1相关关系的概念及意义成因联系：自然界中有许多现象之间是有一定联系的，自然界中有许多现象之间存在相互联系和相互制约的关系，而不是孤立存在的。如降雨和径流，气温和蒸发、水位和流量，上下游洪水，等等。相关关系：两个或多个随机变量之间存在的相互联系相关分析：采用数理统计法分析和研究两个或两个以上随机变量之间的相关关系的方法。目的意义：水文预报、插补和延长短系列。相关分析先决条件：变量间确实存在相关关系。一相关关系的概念

11/6/202356重庆交通大学工程水文学2相关的种类根据变量之间相互关系的密切程度，变量之间的关系有三种情况：完全相关（函数关系）、零相关（没有关系）、相关关系。一相关关系的概念

Y与x之间有明确的解析函数表达式。两变量之间毫无关系，相互独立11/6/202357重庆交通大学工程水文学一相关关系的概念

两个变量之间的关系界于完全相关和零相关之间11/6/202358重庆交通大学工程水文学相关关系的分类：根据随机变量的个数可分为：简相关与复相关根据随机变量间的线型可分为：直线相关与曲线相关组合情况：简直线相关、简曲线相关复直线相关、复曲线相关一相关关系的概念

11/6/202359重庆交通大学工程水文学3相关分析的内容三个方面：（1）判定变量间是否存在相关关系及其密切程度；（2）建立变量间的回归方程或相关线；（3）根据自变量的值，预报或延长、插补倚变量的值，并进行误差分析。一相关关系的概念

11/6/202360重庆交通大学工程水文学1图解法基本步骤：绘图，判断线型计算均值并描点过均值点与点群中心画一直线量出截距a与斜率b

写出相关方程：y=a+bx二简直线相关

xy0（）y,x11/6/202361重庆交通大学工程水文学优点：简单直观缺点：主观性较强，点距散乱时误差大二简直线相关

11/6/202362重庆交通大学工程水文学2相关分析法假设相关方程：y=a+bx已知（xi，yi），利用最小二乘法求参数a，b二简直线相关

11/6/202363重庆交通大学工程水文学参数a，b的确定：二简直线相关

11/6/202364重庆交通大学工程水文学二简直线相关

11/6/202365重庆交通大学工程水文学y倚x的回归方程：回归系数：x倚

y的回归方程：回归系数：二简直线相关

必须注意：回归线只是观测点平均关系的配合线，观测点不会完全落在此线上，而是分布在其两侧，说明回归线只是在一定标准情况下与实测点的最佳配合，是存在误差的。

11/6/202366重庆交通大学工程水文学3相关分析的误差（1）回归线误差

回归直线只是对观测点的一条最佳配合线，并不是所有点据都在直线上，而是散布在回归线的两侧。因此，按此关系由推求的和实际值之间存在着误差，误差大小一般采用均方误Sy表示如下：二简直线相关

11/6/202367重庆交通大学工程水文学（2）相关系数及其误差a.相关系数定义：用于表示两个变量之间的相关密切程度的参数，用字母r表示。b.r为正值，表示正相关；r为负值，表示负相关。c.相关系数R的取值范围为|r|≤1。

A若r2＝1，两变量间为函数关系

B若r2＝0，两变量间零相关，或非直线关系

C若0＜r2＜1，当r越接近1时，x、y间的关系愈密切

二简直线相关

11/6/202368重庆交通大学工程水文学二简直线相关

相关系数的误差——计算公式

来源于有限样本，即抽样误差11/6/202369重庆交通大学工程水文学4相关分析中应注意的问题（1）用于相关分析的两个变量之间必须存在密切的物理成因联系。（2）同期观测资料不能太少，一般要求n大于12，否则抽样误差过大。（3）|r|>0.8且Sy<15%（4）相关线的外延不宜过长，外延长度不能超过样本容量的50%。二简直线相关

xy011/6/202370重庆交通大学工程水文学【例4-4】

已知某站1954~1965年共12年的年径流观测资料和1942~1965年共24年的降雨观测资料，现用相关分析法确定1942~1953年的年径流量。解（1）计算均值

（2）计算均方差二简直线相关

11/6/202371重庆交通大学工程水文学年份年降雨量x(mm)年径流量y(mm)KxKyKx-1Ky-1（Kx-1）2（Ky-1）2(Kx-1)×(Ky-1)1954201413621.541.730.540.730.2890.5350.3931955121172