数值方法 课件 刘智永 第7-9章 有限差分方法、有限元方法、无网格方法

数值方法“新工科建设”教学探索成果有限差分方法第七章偏微分方程

及其分类01一、偏微分方程及其分类一、偏微分方程及其分类一、偏微分方程及其分类表7-1列出了一些常见的线性方程与非线性方程.一、偏微分方程及其分类表7-1列出了一些常见的线性方程与非线性方程.一、偏微分方程及其分类表7-2列出了一些常见的线性方程组与非线性方程组.抛物型方程有限差分方法02二、抛物型方程有限差分方法1-D抛物型方程离散01二、抛物型方程有限差分方法1-D抛物型方程离散01二、抛物型方程有限差分方法1-D抛物型方程离散01二、抛物型方程有限差分方法1-D抛物型方程离散01二、抛物型方程有限差分方法1-D抛物型方程离散01二、抛物型方程有限差分方法1-D抛物型方程离散01二、抛物型方程有限差分方法稳定性、相容性和收敛性02二、抛物型方程有限差分方法稳定性、相容性和收敛性02二、抛物型方程有限差分方法稳定性、相容性和收敛性02二、抛物型方程有限差分方法2-D抛物型方程离散03这样，我们可以得到二维扩散方程的离散格式.二、抛物型方程有限差分方法2-D抛物型方程离散03图7-1显示了二维区域上的网格划分.二、抛物型方程有限差分方法2-D抛物型方程离散03二、抛物型方程有限差分方法2-D抛物型方程离散02二、抛物型方程有限差分方法2-D抛物型方程离散03二、抛物型方程有限差分方法ADI格式04二、抛物型方程有限差分方法ADI格式04二、抛物型方程有限差分方法ADI格式04二、抛物型方程有限差分方法ADI格式04双曲型方程有限差分方法03三、双曲型方程有限差分方法基本差分方法01三、双曲型方程有限差分方法基本差分方法01三、双曲型方程有限差分方法基本差分方法01三、双曲型方程有限差分方法基本差分方法01三、双曲型方程有限差分方法基本差分方法01三、双曲型方程有限差分方法守恒律02三、双曲型方程有限差分方法守恒律02三、双曲型方程有限差分方法二阶双曲型方程03三、双曲型方程有限差分方法二阶双曲型方程03三、双曲型方程有限差分方法二阶双曲型方程03三、双曲型方程有限差分方法二阶双曲型方程03三、双曲型方程有限差分方法二阶双曲型方程03三、双曲型方程有限差分方法二阶双曲型方程03三、双曲型方程有限差分方法二阶双曲型方程03椭圆型方程有限差分方法04四、椭圆型方程有限差分方法基本差分方法01四、椭圆型方程有限差分方法基本差分方法01四、椭圆型方程有限差分方法基本差分方法01四、椭圆型方程有限差分方法基本差分方法01四、椭圆型方程有限差分方法基本差分方法01四、椭圆型方程有限差分方法其他应用02四、椭圆型方程有限差分方法其他应用02四、椭圆型方程有限差分方法其他应用02四、椭圆型方程有限差分方法其他应用02四、椭圆型方程有限差分方法其他应用02数值方法“新工科建设”教学探索成果有限元方法第八章一维椭圆型方程离散01一、一维椭圆型方程离散一、一维椭圆型方程离散一、一维椭圆型方程离散一、一维椭圆型方程离散一、一维椭圆型方程离散一、一维椭圆型方程离散一、一维椭圆型方程离散二维椭圆型方程离散02二、二维椭圆型方程离散二、二维椭圆型方程离散二、二维椭圆型方程离散二、二维椭圆型方程离散二、二维椭圆型方程离散二、二维椭圆型方程离散有限元收敛理论03三、有限元收敛理论变分问题解的存在性01三、有限元收敛理论变分问题解的存在性01三、有限元收敛理论Sobolev空间02三、有限元收敛理论Sobolev空间02三、有限元收敛理论Sobolev空间02三、有限元收敛理论有限元插值理论03三、有限元收敛理论有限元插值理论03三、有限元收敛理论有限元插值理论03三、有限元收敛理论误差估计04三、有限元收敛理论误差估计04三、有限元收敛理论误差估计04一些常见有限元04四、一些常见有限元P1,P2有限元01四、一些常见有限元P1,P2有限元01四、一些常见有限元P1,P2有限元01四、一些常见有限元P1,P2有限元01四、一些常见有限元Q1,Q2有限元02四、一些常见有限元Q1,Q2有限元02四、一些常见有限元Q1,Q2有限元02四、一些常见有限元Q1,Q2有限元02四、一些常见有限元Q1,Q2有限元02四、一些常见有限元其他有限元03四、一些常见有限元其他有限元03四、一些常见有限元其他有限元03四、一些常见有限元其他有限元03四、一些常见有限元其他有限元03数值方法“新工科建设”教学探索成果无网格方法第九章Kansa方法01一、Kansa方法一、Kansa方法一、Kansa方法不同于有限差分方法与有限元方法，以上这种离散偏微分方程的方法更加，接近于插值与逼近的思想.这个方法更加简洁一些，不仅避免了在求解区域中生，成网格，而且更加容易构造试探空间(只需要一个严格正定的径向函数和求解区域中的两组散乱数据).一、Kansa方法在实际计算中，可以选取检验数据y与中心数据x为同一组数据，但此时X须包含边界数据.由于系数矩阵A是不对称的，即使在检验数据与中心数据相同的情况下，由于微分算子L的作用，矩阵依然不对称，因而这种离散方法通常被称为不对称配点方法(也称为Kansa方法).图9-1显示了求解区域内部与边界上散乱数据的分布.对称配点方法02二、对称配点方法二、对称配点方法显然，当x=y时，A为对称矩阵.因而，上述离散方法经常被称为对称配点方法(由于对内点处的径向基函数使用了微分算子作用，有时候也称为Hermite型配点法).二、对称配点方法当散乱数据任意分布时，不对称配点方法的离散矩阵的可逆性不能得到保证，因而在实际应用中经常选取y中的数据多于x中的数据，然后求解一个超定的代数方程组.而对称配点方法的离散矩阵是可逆的，这就保证了当检验数据等于中心数据时方程组的解是唯一的.然而，由于使用了带有微分算子作用的径向基函数，对称方法应用于求解高阶问题与非线性问题时受到了限制.Galerkin配点方法03三、Galerkin配点方法三、Galerkin配点方法与有限元基函数的构造相比较，Galerkin配点方法的试探函数空间的构造显得更加容易些，但是径向基函数的数值积分计算比有限元方法困难些.多尺度配点方法04四、多尺度配点方法使用径向基函数无网格方法(诸如不对称配点方法、对称配点方法、Galerkin配点方法等)离散偏微分方程时，数值解往往具有高精度.但是无网格方法的离散代数方程组系数矩阵具有很大的条件数，甚至当散乱数据增多时会出现严重病态.因此，数值离散的高精度和代数问题求解困难两者之间存在着矛盾.解决.这一矛盾的传统方法是引入形状参数ε，将数据x上的试探函数空间写为事实证明，ε越小，逼近效果越好，但矩阵条件数增大；ε越大，矩阵条件数变好，但逼近精度下降.Schaback建议使用多尺度的思想解决上述矛盾，形成了散乱数据结构上的第一个多尺度算法.四、多尺度配点方法该算法需要一个具有紧支集的径向函数和一个逐次加密的散乱数据集

首先从一个粗水平开始，利用较大的支集在粗水平上求解微分方程；然后计算残量，将残量延拓到下一个细水平，并在其上求解残量方程(细水平上选择同样的紧支集径向函数，但是用一个较小的支集)；最后校正一次原来的初始解.这个过程重复下去，直到在最细的水平(第l水平)上完成计算.因此，最终的数值解由不同水平上径向基函数的线性组合构成形状参数ε的变化会影响紧支集径向基函数的支集大小为了使得基函数支集随着散乱数据的增多而变小，可选择一组单调递增的参数四、多尺度配点方法这样，求解式(9-1