2021年研究生入学考试数学二真题及答案

2021年研究生入学考试数学二真题及答案一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1、当x→0时,是x7的______

A．低阶无穷小

B．等价无穷小

C．高阶无穷小

D．同阶但非等价无穷小

2、函数在x=0处______

A．连续且取得极大值

B．连续且取得极小值

C．可导且导数为0

D．可导且导数不为0

3、有一圆柱体,底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s,-3cm/s,当底面半径为10cm,高为5cm时,圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为______

A．125πcm3/s,40πcm2/s

B．125πcm3/s,-40πcm2/s

C．-100πcm3/s,40πcm2/s

D．-100πcm3/s,-40πcm2/s

4、设函数f(x)=ax-blnx(a＞0)有两个零点,则的取值范围是______

A．(e,+∞)

B．(0,e)

C．(0,)

D．

5、设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2,则______

A．a=1,b=

B．a=1,b=

C．a=0,b=

D．a=0,b=

6、设函数f(x,y)可微,且f(x+1,ex)=x(x+1)2,f(x,x2)=2x2lnx,则df(1,1)=______

A．dx+dy

B．dx-dy

C．dy

D．-dy

7、设函数f(x)在区间[0,1]上连续,则f(x)dx=______

A．

B．

C．

D．

8、二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为______

A．2,0

B．1,1

C．2,1

D．1,2

9、设3阶矩阵A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3).若向量组α1,α2,α3可以由向量组β1,β2线性表出,则______

A．Ax=0的解均为Bx=0的解

B．ATx=0的解均为BTx=0的解

C．Bx=0的解均为Ax=0的解

D．BTx=0的解均为ATx=0的解

10、已知矩阵,若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q,使得PAQ为对角矩阵,则P,Q可以分别取

A．

B．

C．

D．

二、填空题11、=______．

12、设函数y=y(x)由参数方程确定,则=______.

13、设函数z=z(x,y)由方程(x+1)z+ylnz-arctan(2xy)=1确定,则=______.

14、已知函数f(t)=,则=______.

15、微分方程y'''-y=0的通解为y=______.

16、多项式中x3项的系数为______.

三、解答题(本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17、求极限.

18、已知函数,求曲线y=f(x)的凹凸区间及渐近线.

19、设函数f(x)满足,L为曲线y=f(x)(4≤x≤9),记L的弧长为S,L绕x轴旋转一周所成旋转曲面面积为A,求S和A.

20、设y=y(x)(x＞0)是微分方程xy'-6y=-6满足条件y()=10的解.

(1)求y(x);

(2)设P为曲线y=y(x)上的一点,记曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为,IP,当IP最小时,求点P的坐标.

21、设平面区域D由曲线(x2+y2)2=x2-y2(x≥0,y≥0)与x轴围成,计算二重积分.

22、设矩阵仅有两个不同的特征值,若A相似于对角矩阵,求a,b的值,并求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

答案:

一、选择题

1、C[考点]

本题考查无穷小的比较及求函数极限.

[解析]

因为,所以是x7的高阶无穷小,故答案为C.2、D[考点]

本题考查连续与可导的定义及函数极限.

[解析]

因为,所以f(x)在x=0处连续.因为),即f(x)在x=0处可导且f'(0)=.故答案为D.3、C[考点]

本题考查利用导数的意义求变化率及多元复合函数微分法.

[解析]

设圆柱体底面半径为r,高为h,由题意知,,圆柱体体积V=πr2h,表面积S=2πrh+2πr2,则体积随时间的变化率=(2π×5+4π×10)×2-2π×10×3=40π.故答案为C.4、A[考点]

本题考查利用函数的单调性讨论零点.

[解析]f(x)=ax-blnx(a＞0),则x＞0,f'(x)=,若b≤0,则f'(x)＞0,f(x)单调递增,不可能有两个零点,所以b＞0,且=+∞,(ax-blnx)=+∞.令f'(x)==0,得x=,当0＜x＜时,f'(x)＜0,f(x)单调递减,当x＞时,f'(x)＞0,f(x)单调递增.要使f(x)有两个零点,则f()＜0,即1＞e,故答案为A.5、D[考点]

本题考查泰勒展开式.

[解析]f(0)=1,f'(0)=(secx)'|x=0=secx·tanx|x=0=0,f"(0)=(secx·tanx)'|x=0=(secx·tanx·tanx+secx·sec2x)|x=0=1.所以f(x)=secx在x=0处的二次泰勒展开式为f(x)=f(0)+f'(0)x+x2+o(x2)=1+x2+o(x2),故a=0,b=,答案为D.6、C[考点]

本题考查多元复合函数微分法.

[解析]

两边对x同时求导,得f'1(x+1,ex)+f'2(x+1,ex)·ex=(x+1)2+2x(x+1),(1);f'1(x,x2)+f'2(x,x2)·2x=4xlnx+2x,(2);将x=0代入(1)式,得f'1(1,1)+f'2(1,1)=1,(3);将x=1代入(2)式,得f'1(1,1)+2f'2(1,1)=2,(4);联立(3)(4),解得,f'1(1,1)=0,f'2(1,1)=1,所以df(1,1)=f'1(1,1)dx+f'2(1,1)dy=dy.故答案为C.7、B[考点]

本题考查定积分的定义.

[解析]f(x)在区间[0,1]上连续,故f(x)在区间[0,1]上可积．将区间[0,1]进行n等分,则每个小区间的长度为,取第k个小区间中点处的函数值,即,k=1,2,…,n.由定积分的定义,得.故答案为B.8、B[考点]

本题考查求矩阵的特征值及二次型的正负惯性指数．

[解析]

二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2=+2x1x2+2x2x3+2x3x1,对应的二次型矩阵(λ+1)λ(λ-3)．所以A的特征值为-1,0,3,正惯性指数与负惯性指数依次为1,1．故答案为B．9、D[考点]

本题考查向量组的线性表出问题．

[解析]

因为向量组α1,α2,α3可以由向量组β1,β2线性表出,即其可以由向量组β1,β2,β3线性表出,则存在矩阵C,使得(α1,α2,α3)=(β1,β2,β3)C,即A=BCAT=CTBT．若BTx0=0,则CTBTx0=0,即ATx0=0,也即是BTx=0的解均为ATx=0的解，故答案为D．10、C[考点]

本题考查矩阵的运算．

[解析]

将A、B、C、D四个选项分别代入验证：

A项,PAQ=

B项,PAQ=

C项,PAQ=

D项,PAQ=

故答案为C．二、填空题

11、[考点]

本题考查利用奇偶性计算定积分及反常种分．

[解析]

12、[考点]

本题考查参数方程求二阶导数．

[解析]

13、[考点]

本题考查隐函数求偏导数．

[解析](方法一)把x=0,y=2代入原方程,得z=1,令F(x,y,z)=(x+1)z+ylnz-

(方法二)把x=0,y=2代入原方程,得z=1,方程两边对x同时求导,得z+(x+1)+y·=0,把x=0,y=2,z=1代入上式,得=1．14、

[解析]

积分区域如下图,交换积分次序,得f(t)=,

15、(C1,C2,C3为任意常数)[考点]

本题考查高阶常系数齐次线性微分方程的求解．

[解析]

特征方程为λ3-1=0(λ-1)(λ2+λ+1)=0,解得特征根为λ1=1,λ2,3=,所以通解为(C1,C2,C3为任意常数)．16、-5[考点]

本题考查行列式的计算．

[解析](方法一)f(x)=

=

=

所以x3系数为-5．

(方法二)f(x)=

等式右边第一部分不含x3,第二部分中x3的系数为-1,第三部分中不含x3,第四部分中x3的系数为-4,所以f(x)中含x3项的系数为-5．三、解答题17、解：(方法一)

(方法二)

18、解：f(x)的定义域为x≠-1．

当x＞0时,f(x)=

所以y=f(x)在(0,+∞)上是凹的;

当x＜0且x≠-1时,

当-1＜x＜0时,f"(x)＜0,所以y=f(x)在(-1,0)上是凸的,

当x＜-1时,f"(x)＞0,所以y=f(x)在(-∞,-1)上是凹的;

综上可知f(x)的凹区间为(-∞,-1),(0,+∞),凸区间为(-1,0)．

因为,所以x=-1为曲线y=f(x)的垂直渐近线;,所以曲线y=f(x)无水平渐近线;

所以y=x-1为曲线y=f(x)的斜渐近线;

所以y=-x+1为曲线y=f(x)的斜渐近线;

综上可知,曲线y=f(x)有一条垂直渐近线x=-1,两条斜渐近线y=x-1与y=-x+1．

19、解：由,两边同时对x求导得

则

所以

20、解：(1)原方程整理,得,则

P(x)=-,Q(x)=-,

所以,通解y=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dx+C]

=1+Cx6,

又因为y()=10,得10=1+C()6,

解得C=,

所以y(x)=1+x6(x＞0);

(2)P为曲线y=y(x)上一点,设P点坐标为(x,1+)．

又因为)y'=(1+)'=2x5,则P点处的法线方程为

令X=0,得法线在Y轴上的截距,

令,得驻点x=1,

当0＜x＜1时,＜0,当x＞1时,＞0,

则x=1为极小值点,也是最小值点,此时P点坐标为(1,)．

21、解：(x2+y2)2=x2-y2是伯努利双纽线,积分区域是伯努利双纽线在第一象限的部分,如下图．

在极坐标系下计算二重积分．

令x≥0,y≥0,则0≤θ≤,

代入曲线方程,得r2=cos2θ-sin2θ=cos2θ≥0,则0≤θ≤,故积分区域在极坐标系下的表达式为

所以

22、解：,

因为A有两个不同的特征值,则b=1或b=3,

(1)当b=1时,即λ1=λ2=1,λ3=3,

因为A相似于对角阵,所以二重特征值λ1=λ2=1一定对