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文档简介
内蒙古赤峰市、呼和浩特市2024届数学高二上期末统考模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.圆()上点到直线的最小距离为1,则A.4 B.3C.2 D.12.设点P是双曲线,与圆在第一象限的交点,、分别是双曲线的左、右焦点,且,则此双曲线的离心率为()A. B.C. D.33.已知函数在上单调递增,则实数a的取值范围为()A. B.C. D.4.函数的导函数的图像如图所示,则()A.为的极大值点B.为的极大值点C.为的极大值点D.为的极小值点5.已知三个顶点都在抛物线上,且为抛物线的焦点,若,则()A.6 B.8C.10 D.126.已知抛物线上的点到其准线的距离为,则()A. B.C. D.7.曲线与曲线()的()A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等8.已知“”的必要不充分条件是“或”,则实数的最小值为()A. B.C. D.9.如图,在正方体中,点E是上底面的中心,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B.C. D.10.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点,,抛物线的准线与轴交于点,则的面积为()A. B.C. D.11.设是可导函数,当,则()A.2 B.C. D.12.为了解一片大约一万株树木的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:㎝).根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图,那么在这片树木中,底部周长小于110㎝的株树大约是()A.3000 B.6000C.7000 D.8000二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数处取极值,则___________14.曲线在点处的切线方程为_________15.某射箭运动员在一次射箭训练中射靶10次,命中环数如下:8,9,8,10,6,7,9,10,8,5,则命中环数的平均数为___________.16.已知函数有且仅有两个不同的零点,则实数的取值范围是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知双曲线的渐近线方程为,且过点(1)求双曲线的方程;(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点,求弦长18.(12分)已知函数(1)判断的零点个数;(2)若对任意恒成立,求的取值范围19.(12分)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,A1C的中点,AD=AA1=2,AB=(1)求证:EF∥平面ADD1A1;(2)求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值;(3)在线段A1D1上是否存在点M,使得BM⊥平面EFD?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由20.(12分)2017年5月27日当今世界围棋排名第一的柯洁在与的人机大战中中盘弃子认输,至此柯洁与的三场比赛全部结束,柯洁三战全负,这次人机大战再次引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查,根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.(1)请根据已知条件完成下面列联表,并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关?非围棋迷围棋迷合计男女1055合计(2)为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平,从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取5名学生组队参加校际交流赛,首轮该校需派两名学生出赛,若从5名学生中随机抽取2人出赛,求2人恰好一男一女的概率.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)如图所示,在正方体中,E是棱的中点.(Ⅰ)求直线BE与平面所成的角的正弦值;(Ⅱ)在棱上是否存在一点F,使平面?证明你的结论.22.(10分)已知各项均为正数的等比数列前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据题意可得,圆心到直线的距离等于,即,求得,所以A选项是正确的.【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法:(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.上述方法中常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题2、C【解析】根据几何关系得到是直角三角形,然后由双曲线的定义及勾股定理可求解.【详解】点到原点的距离为,又因为在中,,所以是直角三角形,即.由双曲线定义知,又因为,所以.在中,由勾股定理得,化简得,所以.故选:C.3、D【解析】根据题意参变分离得到,求出的最小值,进而求出实数a的取值范围.【详解】由题意得:在上恒成立,即,其中在处取得最小值,,所以,解得:,故选:D4、A【解析】由导函数的图像可得函数的单调区间,从而可求得函数的极值【详解】由的图像可知,在和上单调递减,在和上单调递增,所以为的极大值点,和为的极小值点,不是函数的极值点,故选:A5、D【解析】设,,,由向量关系化为坐标关系,再结合抛物线的焦半径公式即可计算【详解】由得焦点,准线方程为,设,,由得则,化简得所以故选:D6、C【解析】首先根据抛物线的标准方程的形式,确定的值,再根据焦半径公式求解.【详解】,,因为点到的准线的距离为,所以,得故选:C7、D【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距,即可判断.【详解】曲线表示焦点在轴上,长轴长为,短轴长为,离心率为,焦距为;曲线表示焦点在轴上,长轴长为,短轴长为,离心率为,焦距为.对照选项可知:焦距相等.故选:D.8、A【解析】首先解不等式得到或,根据题意得到,再解不等式组即可.【详解】,解得或,因为“”的必要不充分条件是“或”,所以.实数的最小值为.故选:A9、B【解析】建立空间直角坐标系,利用向量夹角求解.【详解】以为原点,为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示,设正方体棱长为2,所以,所以异面直线与所成角的余弦值为.故选:B10、B【解析】画出图形,利用已知条件结合抛物线的定义求解边长CF,BK,然后求解三角形的面积即可【详解】如图,设拋物线的准线为,过作于,过作于,过作于,设,则根据抛物线的定义可得,,,的面积为,故选:.11、C【解析】由导数的定义可得,即可得答案【详解】根据题意,,故.故选:C12、C【解析】先由频率分布直方图得到抽取的样本中底部周长小于110㎝的概率,进而可求出结果.【详解】由频率分布直方图可得,样本中底部周长小于110㎝的概率为,因此在这片树木中,底部周长小于110㎝的株树大约是.故选:C.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用,属于基础题型.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、3【解析】=.因为f(x)在1处取极值,所以1是f′(x)=0的根,将x=1代入得a=3.故答案为3.考点:利用导数研究函数的极值14、【解析】求导,求出切线斜率,用点斜式写出直线方程,化简即可.【详解】,曲线在点处的切线方程为,即故答案为:15、【解析】直接利用求平均数的公式即可求解.【详解】由已知得数据的平均数为,故答案为:.16、【解析】函数有两个不同零点即y=a与g(x)=图像有两个交点,画出近似图象即得a的范围﹒【详解】∵函数有且仅有两个不同的零点,令,则y=a与g(x)=图像有两个交点,∵,∴当时,,单调递减,当时,,单调递增,∴当时,,作出函数与的图象,∴当时,y=a与g(x)有两个交点﹒故答案为:﹒三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】(1)根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得,由此可得双曲线方程;(2)由双曲线方程可得焦点坐标,由此可得方程,与双曲线方程联立后,利用弦长公式可求得结果.【小问1详解】由双曲线方程知:渐近线斜率,又渐近线方程为,;双曲线过点,;由得:,双曲线的方程为:;【小问2详解】由(1)得:双曲线的焦点坐标为;若直线过双曲线的左焦点,则,由得:;设,,则,;由双曲线对称性可知:当过双曲线右焦点时,;综上所述:.18、(1)个;(2).【解析】(1)求,利用导数判断的单调性,结合单调性以及零点存在性定理即可求解;(2)由题意可得对任意恒成立,令,则,利用导数求的最小值即可求解.【小问1详解】的定义域为,由可得,当时,;当时,;所以在上单调递减,在上单调递增,当时,,,此时在上无零点,当时,,,,且在上单调递增,由零点存在定理可得在区间上存在个零点,综上所述有个零点.【小问2详解】由题意可得:对任意恒成立,即对任意恒成立,令,则,由可得:,当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,所以,所以的取值范围.19、(1)证明见解析;(2);(3)不存在;理由见解析【解析】(1)连接AD1,A1D,交于点O,所以点O是A1D的中点,连接FO,根据判定定理证明四边形AEFO是平行四边形,进而得到线面平行;(2)建立坐标系,求出两个面的法向量,求得两个法向量的夹角的余弦值,进而得到二面角的夹角的余弦值;(3)假设在线段A1D1上存在一点M,使得BM⊥平面EFD,设出点M的坐标,由第二问得到平面EFD的一个法向量,判断出和该法向量不平行,故不存在满足题意的点M.【详解】(1)证明:连接AD1,A1D,交于点O,所以点O是A1D的中点,连接FO因为F是A1C的中点,所以OF∥CD,OF=CD因AE∥CD,AE=CD,所以OF∥AE,OF=AE所以四边形AEFO是平行四边形所以EF∥AO因为EF⊄平面ADD1A1,AO⊂平面ADD1A1,所以EF∥平面ADD1A1(2)以点A为坐标原点,直线AB,AD,AA1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,因为点E,F分别是AB,A1C的中点,AD=AA1=2,AB=,所以B(,0,0),D(0,2,0),E,F所以=,=(0,1,1)设平面EFD的法向量为,则即令y=1,则z=-1,x=2所以,由题知,平面DEC的一个法向量为m=(0,0,1),所以cos<,>==所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是(3)假设在线段A1D1上存在一点M,使得BM⊥平面EFD设点M的坐标为(0,t,2)(0≤t≤2),则=(,t,2)因为平面EFD的一个法向量为,而与不平行,所以在线段A1D1上不存在点M,使得BM⊥平面EFD20、(1)没有95%把握认为“围棋迷”与性别有关.(2).【解析】(1)由频率分布直方图求得频率与频数,填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;(2)根据分层抽样原理,用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值【详解】(1)由频率分布直方图可知,所以在抽取的100人中,“围棋迷”有25人,从而列联表如下非围棋迷围棋迷合计男301545女451055合计7525100因为,所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.(2)由(1)中列联表可知25名“围棋迷”中有男生15名,女生10名,所以从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取的5名学生中,有男生3名,记为,有女生2名,记为.则从5名学生中随机抽取2人出赛,基本事件有:,,,,,,,,,,共10种;其中2人恰好一男一女的有:,,,,,,共6种;故2人恰好一男一女的概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图、独立性检验和列举法求概率的应用问题,是基础题21、(1);(2)详见解析【解析】设正方体的棱长为1.如图所示,以为单位正交基底建立空间直角坐标系.(Ⅰ)依题意,得,所以.在正方体中,因为,所以是平面的一个法向量,设直线BE和平面所成的角为,则.即直线BE和平面所成的角的正
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