辽宁省普兰店市第一中学2023-2024学年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析VIP

辽宁省普兰店市第一中学2023-2024学年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔为（）A.40 B.30C.20 D.122．数列中，，，若，则（）A.2 B.3C.4 D.53．在数列中，，则此数列最大项的值是（）A.102 B.C. D.1084．若，，且，则（）A. B.C. D.5．某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两位老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分.如图所示，当，，时，则（）A. B.C.或 D.6．设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（）A. B.C.5 D.67．已知数列满足，，数列的前n项和为，若，，成等差数列，则n=（）A.6 B.8C.16 D.228．下面四个说法中，正确说法的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若，，，则；（4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内.A.1 B.2C.3 D.49．已知集合，集合或，是实数集，则（）A. B.C. D.10．已知梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，过点E作与AB所在直线的平行线l.若AB和CD所在直线的方程分别是与，则直线l与CD所在直线的距离为（）A.1 B.2C.3 D.411．用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为（）A. B.C.4 D.12．设函数若函数有两个零点，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆关于直线的对称圆的标准方程为_______14．已知等比数列的前n项和为，且满足，则_____________15．若和或都是假命题，则的范围是__________16．已知分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列与满足（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第k项是数列的最小项，即恒成立．求证：的第k项是数列的最小项；（3）设．若存在最大值M与最小值m，且，试求实数的取值范围18．（12分）已知直线l：，圆C：.（1）当时，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；（2）若直线l被圆C截得的弦长恰好为，求k的值.19．（12分）已知函数（1）求的单调区间；（2）若，求的最大值与最小值20．（12分）设函数过点（1）求函数的单调区间和极值（要列表）；（2）求函数在上的最大值和最小值.21．（12分）如图，已知椭圆的焦点是圆与x轴的交点，椭圆C的长半轴长等于圆O的直径（1）求椭圆C的方程；（2）F为椭圆C的右焦点，A为椭圆C的右顶点，点B在线段FA上，直线BD，BE与椭圆C的一个交点分别是D，E，直线BD与直线BE的倾斜角互补，直线BD与圆O相切，设直线BD的斜率为．当时，求k22．（10分）如图，在三棱锥中，，，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果.【详解】由总数为1200，样本容量为40，所以抽样距为：故选：B【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.2、C【解析】由已知得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出，再利用等比数列求和可得答案.【详解】∵，∴，所以，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，∴，∴，则，解得.故选：C.3、D【解析】将将看作一个二次函数，利用二次函数的性质求解.【详解】将看作一个二次函数，其对称轴为，开口向下，因为，所以当时，取得最大值，故选：D4、A【解析】由于对数函数的存在，故需要对进行放缩，结合（需证明），可放缩为，利用等号成立可求出，进而得解.【详解】令，，故在上单调递减，在上单调递增，，故，即，当且仅当，等号成立．所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故选：A5、B【解析】按照框图考虑成立和不成立即可求解.【详解】因为，，，所以输入，当成立时，，即，解得，，满足条件；当不成立时，，即，解得，，不满足条件；故.故选：B.6、D【解析】由利用因式分解可得，即可判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到数列，数列的通项公式，进而求出【详解】等价于，而，所以，即可知数列是以为首项，为公差的等差数列，即有，所以，故故选：D7、D【解析】利用累加法求得列的通项公式，再利用裂项相消法求得数列的前n项和为，再根据，，成等差数列，得，从而可得出答案.【详解】解：因为，且，所以当时，，因为也满足，所以.因为，所以.若，，成等差数列，则，即，得.故选：D.8、A【解析】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，即可判断；利用两条异面直线不能确定一个平面即可判断；利用平面的基本性质中的公理判断即可；若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），即可判断.【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；利用平面的基本性质中的公理判断（3）正确；空间中，若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选：A【点睛】本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系.属于较易题.9、A【解析】先化简集合，再由集合的交集、补集运算求解即可【详解】，或，故故选：A10、B【解析】先求得直线AB和CD之间的距离，再求直线l与CD所在直线的距离即可解决.【详解】梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，则有△与△相似，相似比为，则，点E到CD所在直线的距离为AB和CD所在直线距离的又AB和CD所在直线的距离为，则直线l与CD所在直线的距离为2故选：B11、A【解析】画出直观图，求出底和高，进而求出面积.【详解】如图，，，，过点C作CD⊥x轴于点D，则,所以直观图是底为2、高为的平行四边形，所以面积为.故选：A.12、D【解析】有两个零点等价于与的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与最值，画出函数图象，数形结合可得结果.【详解】解：设，则，所以在上递减，在上递增，，且时，，有两个零点等价于与的图象有两个交点，画出的图象，如下图所示，由图可得，时，与的图象有两个交点，此时，函数有两个零点，实数m的取值范围是，故选：D.【点睛】方法点睛：本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先将已知圆的方程化为标准形式，求得圆心坐标(2,2)和半径2，然后可根据直线的位置直接看出(2,2)点的对称点，进而写出方程.【详解】圆的标准方程为，圆心(2,2),半径为2，圆心(2,2)关于直线的对称点为原点,所以所求对称圆标准方程为，故答案为：14、##31.5【解析】根据等比数列通项公式，求出，代入求和公式，即可得答案.【详解】因为数列为等比数列，所以，又，所以，所以.故答案为：15、【解析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可.【详解】若为假命题，则有或若或是假命题，则所以的范围是即的范围是胡答案：16、0【解析】计算每两个向量的数量积，判断该两个向量是否垂直，可得答案.【详解】因为，，.所以中任意两个向量都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直故答案为：0.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析．（3）【解析】（1）由已知关系得出是等差数列及公差，然后可得通项公式；（2）由已知关系式，利用累加法证明对任意的，恒成立，即可得（3）由累加法求得通项公式，然后确定的奇数项和偶数项的单调性，得出数列的最大项和最小项，再利用已知范围解得的范围【小问1详解】由已知，是等差数列，公差为6，所以；【小问2详解】对任意的，恒成立，而恒成立，若，则，恒成立，同理若，也有恒成立，所以对任意的，恒成立，即是最小项；【小问3详解】时，，所以，也适合此式所以，若，则，，，即，，若，由于，且是正负相间，因此无最大项也无最小项因此有，所以的奇数项数列是递增数列，且，，的偶数项数列是递减数列，且，，所以的最大值是，最小项是，，由，又，所以18、（1）相离，理由见解析；（2）0或【解析】（1）求出圆心到直线的距离和半径比较即可判断；（2）求出圆心到直线的距离，利用弦长计算即可得出.【详解】（1）圆C：的圆心为，半径为2，当时，线l：，则圆心到直线的距离为，直线l与圆C相离；（2）圆心到直线的距离为，弦长为，则，解得或.19、（1）单调递增区间是和，单调递减是；（2）函数的最大值是，函数的最小值是.【解析】（1）利用导数和函数单调性关系，求函数的单调区间；（2）利用函数的单调性，列表求函数的最值.【小问1详解】，当，解得：或，所以函数的单调递增区间是和，当，解得：，所以函数的单调递减区间是，所以函数的单调递增区间是和，单调递减是；【小问2详解】由（1）可得下表4单调递增单调递减单调递增所以函数的最大值是，函数的最小值是20、（1）增区间，，减区间，极大值，极小值（2）最大值，最小值【解析】（1）将点代入函数解析式即可求得a，对函数求导，分析导函数的正负，确定单调区间及极值；（2）分析函数在此区间上的单调性，由极值、端点值确定最值.【小问1详解】∵点在函数的图象上，∴，解得，∴，∴，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值∴当时，有极大值，且极大值为，当时，有极小值，且极小值为，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为；【小问2详解】由（1）可得:函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.∴,又,,∴21、（1）；（2）-1【解析】（1）由题设可得，求出参数b，即可写出椭圆C的方程；（2）延长线段DB交椭圆C于点，根据对称性设B，为，，联立椭圆方程，应用韦达定理并结合已知条件可得，直线与圆相切可得，进而求参数t，即可求直线BD的斜率.【小问1详解】因为圆与x轴的交点分别为，，所以椭圆C的焦点分别为，，∴，根据条件得，∴，故椭圆C的方程为【小问2详解】延长线段DB交椭圆C于点，因直线BD与直线BE的倾斜角互补，根据对称性得由条件可设B的坐标为，设D，的纵坐标分别为，，直线的方程为，由于，即，所以由得：∴，∴①，②，由①得：，代入②得，∴∵直线与圆相切，∴，即∴，解得，又，∴，故，即直线BD斜率【点睛】关键点点睛：将已知线段的长度关系转化为D，的纵坐标的数量关系，设直线的含参方程，联立椭圆方程及其与圆的相切求参数关系，进而求参数即可.22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与