《数学中的美》原版

./数学中的美郭会才指导教师董永权副教授摘要随着教育与娱乐的发展,将有更多的人欣赏音乐与绘画。但是,能够真正欣赏数学的人数是很少的。艺术追求美,数学也追求美,数学美是科学美的一种,数学不但体现了科学美也体现了艺术美。数学在其知识容、形式上等方面具有自身的许多独特美,因此数学美是生动的、具体的、形象的。这篇文章主要以高中数学为背景,探讨了数学美的三个主要方面：数学的简洁美、数学的对称美、数学的和谐美。其中,数学的简洁美分为数学概念的简洁、数学符号的简洁、数学证明的简洁、数学结论的简洁四部分；数学的对称美分为：几何中的对称美,代数中的对称美两部分；数学的和谐美分为：数学从不和谐走向和谐,数学比例的和谐美,数学知识结构的和谐美三部分。并在其中相应的列举了例子来加以说明论证。数学中的美无处不在,只要认真观察细心体会,数学就会把它的美主动的无私的呈现出来,那时数学就不再枯燥无味。关键词简洁美对称美和谐美[正文]前言作为一门科学,数学的最大特点就是它的真,真中见美,如果公正地看,数学包含的不仅是真理,也是无上的美——一种冷峭而严峻的美,恰像一尊雕刻一样。感觉到数学的美,感觉到数与形的协调,感觉到几何的优雅,这是所有真正的数学家都清楚的真实的美的感觉。数学中蕴含的美的因素是深广博大的,数学的研究对象是数、形、式,数的美,形的美,式的美,随处可见,它的表现形式主要有简洁美、对称美、和谐美。一、简洁美世界原本就是简洁的,简洁是一种美。数学科学的严谨性决定它必须精炼、简洁。数学的简洁美体现在以下四方面：、数学概念是简洁的。数学概念叙述语言的高度概括,可以说它的语言精炼到"一字千金"的程度。精炼准确的概念多一个字就有种烦琐感,去掉一个字就有歧义或错误。比如向量的定义是"既有大小又有方向的量。"如在"既"前加上"我们称"或在"大小"后加上"的"则有烦琐感；若去掉"既--又--"则叙述就有表达不清的歧义感。数学概念的简洁是一种精炼的简单,凭借这些简单而精炼的语言能够刻画复杂的现象,如"函数"这个简洁的概念能刻画出这样的数学现象：设、两个非空集合,是从到的一个对应法则,则到上的映射：称为到上的函数。其它数学概念也是简洁、精炼的,如果试着加上或去掉任一个字通过仔细推敲、琢磨就会发现此定义不再简洁或准确。在空间几何里,两条直线有以下三种位置关系：〔1相交直线――有且只有一个公共点；〔2平行直线――在同一平面,没有公共点；〔3异面直线――不同在任何一个平面,没有公共点．谁能否定这样的叙述不简练准确？数学规律、性质等的表述也是如此。如排列组合中的分类计数原理：完成一件事,有类办法,在第类办法中有种不同的方法,在第类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法．、数学符号是简洁的。符号是最简洁的文字,其表达的容丰富而广泛,数学就是用简洁的符号表现复杂的事物,也正是这些简洁的数学符号才使书写、运算、推理等更方便更快捷。比如"两条直线平行"用数学符号表示为"",直线和平面垂直用""表示,"直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和"用数学符号写成""等。数学符号的特有的美感有时比汉字更具魅力。欧拉公式：e=,把实数域中看不出有任何关系的指数函数和三角函数,在复数域中巧妙地联系在一起,其特例e+=把、、、、五个重要常量简单巧妙地结合在一起,绝对耐人寻味。三角函数中数学sin+cos=.把三角和实数统一起来,——把复数与实数统一起来,建立了各知识点之间的联系和桥梁。符号是数学科学抽象化程度的高度表现。另外,数学图形中的点、线、面、体也是对客观事物的抽象概括,也是简洁实用的。比如著名的"哥尼斯堡七桥问题"最终也是通过数学手段巧妙地将实际问题抽象简化到数学中的一笔画问题而解决的。用点代表河岸和小岛,用线代表桥,于是得到下面一个简单的图形,如图图〔、数学证明是简洁的。数学的简洁也体现在对数学答案的获得上力求一种简洁的方式。对于完全平方式的推导可以通过面积法来证明。也就是大正方形的面积等于四个小矩形的面积的和。图〔学数学的人常有这样的经历：面对一个复杂的难题冥思苦想,不得其解,突然灵感突发思路顿悟,就是简简单单的转换一下思路而已,不绝称赞数学的灵活多变和方法的巧妙。数学思维是逻辑美和简洁美。比如：求证,不存在这样的两个既约分数,其乘积与和均为整数。分析：此题如果用直接证法将会是非常烦琐的,需要无穷性的列举两个既约分数,再验证其乘积与和不能同时为整数,而换用一种简洁的灵活的方法即间接证法。证明：假设存在两个既约分数和,且+=为整数,·=为整数,那么和,应为方程－+的两个根。于是有〔－·+=0,从而有=·－·<*>∵,,,均为整数,<*>式右端为整数,但是,与互质,与也互质,<*>左端不可能为整数,因此,得出了矛盾,所以不存在这样的两个既约分数,其乘积与和均为整数。此例充分可以说明数学证明语言的简练与精确,也充分体现了数学逻辑体系的抽象性、严谨性。、数学结论是简洁的数学通过简洁的证明得到的结果也给人简洁之美,如：=；,,圆标准方程等等。解数学题时,当面对一个复杂问题通过冥思苦想最终获得一个简洁而完美的答案时,那种心情将是非常愉快的,解数学题可以培养人的性格,冶人的情操。比如由一组算式：通过观察分析,可以总结出一个规律：把拆开,中间插入,插入的个数比第一个因式的个数少个,那么利用这个规律可以轻松地解答出下列算式：,,……,,…………,,。二、对称美对称和美紧密相连,具有对称的东西给人以圆满的匀称美感与精神享受。数学中的对称美很普遍。、几何中的对称美。在平面几何中有轴对称、中心对称,正方形、圆形、等腰三角形都是轴对称图形也是中心对称图形,圆是最美的平面图形；在立体几何中的正方体、长方体、正四面体都是对称的几何体,球在各个方面都是对称的,是一切立体几何中最美的图形。数学中的对称图形在日常生活中的应用比比皆是,都给人以完美的艺术享受。比如：几何中的海伦公式便是以对称形式出现的：=,它是那么的耐人寻味,既然把作为一个因子,那么一定也要把请出来,可是的单位取算术根后,得不出面积的单位,怎么办？只要在‘’号下再乘上一个,但乘上那条边呢？乘上？乘上？乘上？都不行,因为这样一来对于、、就不公平了,想来想去还是乘上吧,一方面它的单位是,更重要的是,=对于来说,、、是平等的、对称的。、代数中的对称美。代数式+=+,<+>=+,〔+=++…都有对称性,代数中的很多平滑曲线,也给人以对称美的感受。椭圆、双曲线、抛物线的图象,指数函数、对数函数的图象,正弦、余弦函数的图象等。比如函数的图象除对称美外还给人一种"一江春水向东流"的视觉美。图〔再如函数,的图像给人一种"飞流直下三千尺"的山水美、对称美。如图〔4图〔4若,,则当时,求的取值围。它的图形也是一种典型的对称图形。图〔再如前面所提到的"哥尼斯堡七桥问题"抽象成的数学图形也是一种很美的对称图。另外某些有关连或对立的概念也称为对称。例如：有奇数和偶数、质数与合数、整数和分数、有理数和无理数、实数与虚数、正数与负数；从常量到变量,从有限到无限都能体现一种无形的对称美。"共轭"概念也蕴涵着对称性,或者可以看成对称概念的推广,例如：A=<a>与=<a>称为共轭矩阵。在集合运算中,以下公式也具有对称性：=,=,,。数学的对称美还体现在数学容本身在结构上的有机统一。从宏观上讲,中学数学分为代数与几何,各数学分支在结构意义下达到完美统一。从微观讲,数学各知识点之间又是有机统一的,例如：在实数的运算中加法和减法是统一的,乘法和除法也是统一的,乘方和开方是统一的,而实数的运算和有理数的运算以及自然数的运算的法则又是统一的。三、和谐美美是和谐,和谐美也是数学美的一种。和谐即雅致、严谨、形式结构无矛盾性。数学家一直在努力追求数学的严谨、和谐。、数学从不和谐走向和谐。数学在努力消除数学中的不和谐东西,比如悖论,在很大意义上讲悖论对数学的发展起着举足轻重的作用。数学史上的"数学危机"正是由于某些数学理论不和谐所致,但也正是通过消除这些不和谐事例的研究促进了数学本身的进一步发展。正如数学家贝尔和戴维斯所说的那样：数学过去的错误和未解决的困难,为它未来的发展提供契机。、数学比例的和谐美。数学中和谐的比例与优美的曲线或图形都能给人以强烈的形式美。比如直角三角形斜边的平方等于其两直角边的平方和；最负盛名的黄金分割,具有美神之称,它是黄金三角形的底与腰的比,也是黄金矩形的宽与长之比,人体自身的躯干宽高比约为,层高的楼房,或层最佳,一些名画的主题大部分也画在画面的处。再如圆周长公式这个初等数学公式,揭示了圆周长和半径之间的一种简洁、奇妙、和谐的比例美。世界上存在着很多圆,但是数学定义中的圆比任何画家、艺术家所能描绘的圆更完美更和谐。、数学知识结构的和谐美。和谐指理论体系部的严谨、统一。数学体系是把自然规律抽象成一些概念、公式或定理,并通过简洁的推理证明出各种令人惊叹的公式和定理,充分表现了其在的和谐性与统一性,从中感受到一种崇高、博大、妙不可言的和谐美,就象音乐家凭借7个音符谱写出令人心醉的乐章所带给人们艺术美的享受一样。例如,从等式出发〔1已知求这要用到乘方运算;〔2已知求用到开方运算,〔3由和谐美原则,知求用到一种新的运算即对数运算。又如棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台等形状各异但他们的体积公式都能统一到同一公式中。数学有很多分支很多容,这些容不是互不相干的堆积起来的,而是互相联系成一个有机的整体。这种有机的联系,体现了数学的统一美,而且,通过这种联系和统一使得整个数学容显得线条清晰,结构简洁,体现了一种简洁的美。整个数学体系的前后关联、交相呼应、浑然一体、天衣无缝,构成一个庞大的知识网,千丝万缕,有理可依,有论可剧绝对是世上最完美的美、最和谐的美。试问,有哪个人能推翻数学体系？又有谁能创建出另一套思维逻辑体系而与数学不发生任何联系？我们的答案是否定的,数学才是美丽的皇后。四、结束语音乐可以描绘成感觉的数学,而数学也可以描绘成理性的音乐,音乐家可以感觉到数学,数学家也可以感受到音乐——音乐是梦想,数学是工作的一生——每一方都经由对方达到尽善尽美的境地,大自然是美好的：美丽的山川,璀璨的星空,丰富的色彩,多姿的生活,宝贵的生命……这些美好事物的背后都深藏着许多数学奥妙,可以说数学美无处不在。用当今数学家克莱因的一句话来概括数学的美就是："音乐能激发或抚慰人的情怀,绘画能使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学能使人获得智慧,科技可以改变物质生活,但是数学却能提供以上一切。"数学的简洁美、对称美、和谐美,在万物世界的各个方面都能表现出来。只要认真观察、细心体会,那么不管他以前是否喜欢数学还是反感数学,他都会从此喜欢上数学、爱上数学、喜欢数学难题、喜欢挑战自己。参考文献：[1]吴振奎吴悯：数学中的美.：教育,2002.9[2]维刚：维刚教育文丛.：北方妇女儿童,1999.7[3]景中：数学家的眼光.：中国少年儿童,2002.1[4]培军：浅谈新课程理念下学生数学审美能力的培养.中学数学教与学.：中国人民大学书报资料中心,20XX第4期.[5]庄亚栋主编：高中数学教与学.：中学数学教与学编辑部,20XX第1期.[6]顺燕主编：心灵之化.：大学,2002.11.TheBeautyOfMathematicsGuoHuiCaiDirectedbyAssociateProfessorDongYongQuanAbstractAseducationandleisuredevelopmorepeoplewillenjoymusicandpainting.Butthenumberofpeoplewhoreallyenjoymathematicsisverysmall.ArtfollowsbeautyandmathematicsisalsoThebeautyofmathematicsisakindofthebeautyofscience..Amongmathematics,ithasitsownbeautyattheaspectsofcontent,construction,shape,andetc,sothebeautyofmathematicsisvivid,concreteandvisiual.Thearticleapproachsthethreechiefbeautyofmathematics:thebeautyoflaconic,thebeautyofsymmetry,thebeautyofharm