北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

./第1章概率论的基本概念§1.1随机试验及随机事件1.<1>一枚硬币连丢3次,观察正面H﹑反面T出现的情形.样本空间是：S=；<2>一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数.样本空间是：S=；2.<1>丢一颗骰子.A：出现奇数点,则A=；B：数点大于2,则B=.<2>一枚硬币连丢2次,A：第一次出现正面,则A=；B：两次出现同一面,则=；C：至少有一次出现正面,则C=.§1.2随机事件的运算1.设A、B、C为三事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件：<1>A、B、C都不发生表示为：.<2>A与B都发生,而C不发生表示为：.<3>A与B都不发生,而C发生表示为：.<4>A、B、C中最多二个发生表示为：.<5>A、B、C中至少二个发生表示为：.<6>A、B、C中不多于一个发生表示为：.2.设：则〔1,〔2,〔3,〔4=,〔5=。§1.3概率的定义和性质已知,则<1>,<2><>=,<3>=.2.已知则=.§1.4古典概型1.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求:<1>正好有2个女同学的概率,<2>最多有2个女同学的概率,<3>至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1.5条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是。2.已知则。§1.6全概率公式有10个签,其中2个"中",第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人抽"中‘的概率相同。2.第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随机地取一个球,求取到红球的概率。§1.7贝叶斯公式某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求〔1该厂产品能出厂的概率,〔2任取一出厂产品,求未经调试的概率。将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传递的频繁程度为3:2,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少？§1.8随机事件的独立性1.电路如图,其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路〔用T表示的概率。ABLRCD甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互独立,求下列概率:<1>恰好命中一次,<2>至少命中一次。第1章作业答案§1.11：〔1；〔22：〔1；〔2正正,正反正正,反反正正,正反,反正}。§1.21：<1>；<2>；<3>；<4>；<5>；<6>或；2：<1>；<2>；<3>；〔4或；〔5。§1.31：<1>=0.3,<2>=0.2,<3>=0.7.2：>=0.4.§1.41：<1>,<2><,<3>1-<.2：.§1.51：.2/6；2：1/4。§1.61：设A表示第一人"中",则P<A>=2/10设B表示第二人"中",则P<B>=P<A>P<B|A>+P<>P<B|>=两人抽"中‘的概率相同,与先后次序无关。2：随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为：p=0.5×0.4+0.5×0.5=0.45§1.71：〔194%〔270/94；2：0.993；§1.8.1：用A,B,C,D表示开关闭合,于是T=AB∪从而,由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P<T>=P<AB>+P<CD>-P<ABCD>=P<A>P<B>+P<C>P<D>–P<A>P<B>P<C>P<D>2：<1>0.4<1-0.5><1-0.6>+<1-0.4>0.5<1-0.6>+<1-0.4><1-0.5>0.6=0.38；<2>1-<1-0.4><1-0.5><1-0.6>=0.88.第2章随机变量及其分布§2.1随机变量的概念,离散型随机变量1一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X表示取出的3个球中的最大.,试写出X的分布律.2某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,一次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X表示射击的次数,试写出X的分布律。§2.2分布和泊松分布1某程控交换机在一分钟接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布,求<1>每分钟恰有1次呼叫的概率；<2>每分钟只少有1次呼叫的概率；<3>每分钟最多有1次呼叫的概率；2设随机变量X有分布律：X23,Y～π<X>,试求：p0.40.6〔1P<X=2,Y≤2>；<2>P<Y≤2>；<3>已知Y≤2,求X=2的概率。§2.3贝努里分布一办公室有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立,问在同一时刻<1>恰有2台计算机被使用的概率是多少？<2>至少有3台计算机被使用的概率是多少？<3>至多有3台计算机被使用的概率是多少？<4>至少有1台计算机被使用的概率是多少？2设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9？§2.4随机变量的分布函数1设随机变量X的分布函数是：F<x>=〔1求P<X≤0>；P；P<X≥1>,<2>写出X的分布律。2设随机变量X的分布函数是：F<x>=,求〔1常数A,<2>P.§2.5连续型随机变量1设连续型随机变量的密度函数为：〔1求常数的值；〔2求X的分布函数F<x>,画出F<x>的图形,〔3用二种方法计算P<-0.5<X<0.5>.2设连续型随机变量的分布函数为：F<x>=<1>求X的密度函数,画出的图形,<2>并用二种方法计算P<X>0.5>.§2.6均匀分布和指数分布1设随机变量K在区间<0,5>上服从均匀分布,求方程4+4Kx+K+2=0有实根的概率。2假设打一次所用时间〔单位：分X服从的指数分布,如某人正好在你前面走进亭,试求你等待：〔1超过10分钟的概率；〔210分钟到20分钟的概率。§2.7正态分布1随机变量X～N<3,4>,<1>求P<2<X≤5>,P<-4<X≤10>,P<|X|>2>,P<X>3>；<2>确定c,使得P<X>c>=P<X<c>。2某产品的质量指标X服从正态分布,μ=160,若要求P<120<X<200>≥0.80,试问σ最多取多大？§2.8随机变量函数的分布1设随机变量的分布律为；X012p0.30.40.3Y=2X–1,求随机变量的分布律。2设随机变量的密度函数为：,；求随机变量Y的密度函数。3.设随机变量服从〔0,1上的均匀分布,,求随机变量Y的密度函数。第2章作业答案§2.11：X345p0.10.30.62：X12345p0.40.6×0.40.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.6×1§2.21：<1>P<X=1>=P<X≥1>–P<X≥2>=0.981684–0.908422=0.073262,<2>P<X≥1>=0.981684,<3>P<X≤1>=1-P<X≥2>=1–0.908422=0.091578。2：<1>由乘法公式：P<X=2,Y≤2>=P<X=2>P<Y≤2|X=2>=0.4×<>=2〔2由全概率公式：P<Y≤2>=P<X=2>P<Y≤2|X=2>+P<X=3>P<Y≤2|X=3>=0.4×5+0.6×=0.27067+0.25391=0.52458〔3由贝叶斯公式：P<X=2|Y≤2>=§2.31：设X表示在同一时刻被使用的台数,则X～B<5,0.6>,<1>P<X=2>=<2>P<X≥3>=<3>P<X≤3>=1-<4>P<X≥1>=1-2：至少必须进行11次独立射击.§2.41：〔1P<X≤0>=0.5；P=0.5；P<X≥1>=0.5,<2>X的分布律为：X-11P0.50.52：<1>A=1,<2>P=1/6§2.51：〔1,〔2；〔3P<-0.5<X<0.5>=；或=F<0,5>–F<-0.5>=。2：〔1〔2§2.61：3/52：§2.71：<1>0.5328,0.9996,0.6977,0.5；<2>c=3,2：σ≤31.25。§2.81：Y-113p0.30.40.32：,3：；第3章多维随机变量§3.1二维离散型随机变量设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X表示取到的红球个数,用Y表示取到的白球个数,写出<X,Y>的联合分布律及边缘分布律。设二维随机变量的联合分布律为：XY012试根椐下列条件分别求a和b的值；00.10.2a<1>；10.1b0.2<2>；<3>设是的分布函数,。§3.2二维连续型随机变量的联合密度函数为：求〔1常数k；〔2P<X<1/2,Y<1/2>；<3>P<X+Y<1>；<4>P<X<1/2>。2．的联合密度函数为：求〔1常数k；〔2P<X+Y<1>；<3>P<X<1/2>。§3.3边缘密度函数设<X,Y>的联合密度函数如下,分别求与的边缘密度函数。2.设<X,Y>的联合密度函数如下,分别求与的边缘密度函数。§3.4随机变量的独立性<X,Y>的联合分布律如下,XY123试根椐下列条件分别求a和b的值；11/61/91/18<1>；2ab1/9<2>；〔3已知与相互独立。<X,Y>的联合密度函数如下,求常数c,并讨论与是否相互独立？*§3.5多个随机变量的函数的分布*§3.6几种特殊随机变量函数的分布第3章作业答案§3.11：XY122：<1>a=0.1b=0.310.40.30.7<2>a=0.2b=0.220.30.0.3<3>a=0.3b=0.10.70.31§3.21：<1>k=1；<2>P<X<1/2,Y<1/2>=1/8；<3>P<X+Y<1>=1/3；<4>P<X<1/2>=3/8。2：<1>k=8；<2>P<X+Y<1>=1/6；<3>P<X<1/2>=1/16。§3.31：；；2：；；§3.41：〔1a=1/6b=7/18；<2>a=4/9b=1/9；〔3a=1/3,b=2/9。2：c=6,X与Y相互独立。第4章随机变量的数字特征§4.1数学期望1．盒中有5个球,其中2个红球,随机地取3个,用X表示取到的红球的个数,则EX是：〔A1；〔B1.2；〔C1.5；〔D2.2.设有密度函数：,求,并求大于数学期望的概率。设二维随机变量的联合分布律为：XY012已知,00.10.2a则a和b的值是：10.1b0.2〔Aa=0.1,b=0.3；〔Ba=0.3,b=0.1；〔Ca=0.2,b=0.2；〔Da=0.15,b=0.25。4．设随机变量<X,Y>的联合密度函数如下：求。§4.2数学期望的性质1．设X有分布律：X0123则是：p0.10.20.30.4〔A1；〔B2；〔C3；〔D4.设有,试验证,但与不相互独立。§4.3方差1．丢一颗均匀的骰子,用X表示点数,求.2．有密度函数：,求D<X>.§4.4常见的几种随机变量的期望与方差设,,相互独立,则的值分别是：〔A-1.6和4.88；〔B-1和4；〔C1.6和4.88；〔D1.6和-4.88.2.设,与有相同的期望和方差,求的值。〔A0和8；〔B1和7；〔C2和6；〔D3和5.§4.5协方差与相关系数1．随机变量<X,Y>的联合分布律如下：试求协方差和相关系数,XY－101.00.20.1010.10.30.32．设随机变量<X,Y>有联合密度函数如下：试求协方差和相关系数,§4.6独立性与不相关性矩1．下列结论不正确的是〔〔A与相互独立,则与不相关；〔B与相关,则与不相互独立；〔C,则与相互独立；〔D,则与不相关；2．若,则不正确的是〔〔A；〔B；〔C；〔D；3．〔有联合分布律如下,试分析与的相关性和独立性。XY－101.－11/81/81/801/801/811/81/81/84．是与不相关的〔〔A必要条件；〔B充分条件：〔C充要条件；〔D既不必要,也不充分。5.是与相互独立的〔必要条件；〔B充分条件：〔C充要条件；〔D既不必要,也不充分。6.设随机变量<X,Y>有联合密度函数如下：试验证与不相关,但不独立。第4章作业答案§4.11：B；2：3/2,2,3/4,37/64；3：D；4：2/3,4/3,17/9；§4.21：D；§4.31：7/2,35/12；2：11/36；§4.41：A；2：B；§4.51：0.2,0.355；2：－1/144,－1/11；§4.61：C；2：C；3：与不相关,但与不相互独立；4：C；5：A；第5章极限定理*§5.1大数定理§5.2中心极限定理1．一批元件的寿命〔以小时计服从参数为0.004的指数分布,现有元件30只,一只在用,其余29只备用,当使用的一只损坏时,立即换上备用件,利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年〔8760小时的近似概率。2．某一随机试验,"成功"的概率为0.04,独立重复100次,由泊松定理和中心极限定理分别求最多"成功"6次的概率的近似值。第5章作业答案§5.22：0.1788；3：0.889,0.841；第6章数理统计基础§6.1数理统计中的几个概念有n=10的样本；1.2,1.4,1.9,2.0,1.5,1.5,1.6,1.4,1.8,1.4,则样本均值=,样本均方差,样本方差。2．设总体方差为有样本,样本均值为,则。§6.2数理统计中常用的三个分布1.查有关的附表,下列分位点的值：=,=,=。2．设是总体的样本,求。§6.3一个正态总体的三个统计量的分布1．设总体,样本,样本均值,样本方差,则,,～,～,*§6.4二个正态总体的三个统计量的分布第6章作业答案§6.11．；2.；§6.21．-1.29,9.236,-1.3722；2．；§6.31.；第7章参数估计§7.1矩估计法和顺序统计量法1.设总体的密度函数为：,有样本,求未知参数的矩估计。2.每分钟通过某桥量的汽车辆数,为估计的值,在实地随机地调查了20次,每次1分钟,结果如下：次数：23456量数：95374试求的一阶矩估计和二阶矩估计。§7.2极