巧解方阵问题

巧解方阵问题日常生活中，往往需要把人或物摆成正方形的形式，如正方形的体操队列，正方形花坛周围摆花盆，插旗子，还有正方形棋盘上摆棋子等问题。在数学上，人们通常称这类问题为方阵问题。解方阵问题时，应注意观察方阵中行列的排列规律，找出巧妙的解法。如果一个方阵是“实心”的叫中实方阵，如果一个方阵是“空心”的，叫做中空方阵。［学习过程］一.典型例题：例1.军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？方法一：去掉的一行一列的人数为：7梵2-1=13（人）剩下的人数为：7x7—13二％（人）方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形队列，即6x6=36（人）去掉的人数为：*7-6淞二门（人）例2.光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演？分析与解：此题刚好是例1的逆向题，根据正方形队列的特点可知：原每行人数=（去掉一行一列的人数+1）三2即：原来每行人数是（茁+1）-2二14（人）原来准备参加表演的人数：14减14=196（人）答：四年级原准备196人参加表演。例3.正方形舞厅四周均匀地装彩灯，如果四个角都装一盏，且每边12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？分析与解：如下图：方法一：从图（1）可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为：12x4—4=44（盏）方法二：按图（2）把彩灯分成相等的四部分，因此彩灯总数为（12-1）x4=44（盏）答：这个舞厅四周共装彩灯44盏。例4.游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵。最外层每边12人，问彩车周围的少先队员共有多少人？分析与解：方法一：这是一个只有3层的中空方阵，最外层每边有12人，最外层一共有〔12-1）冥仁伞（人），第二层每边少2人，即第二层每边10人，第二层共有（1°一二36（人），比第一层总数少8人，同理，第三层总数是36_8=28（人）三层共有队员的总数：44+（44-8）+（44-昭）=44+兀+眉=血（人）方法二：如下图，可把队员分成人数相等的四部分，每一部分的人数：(12-3)x3二9x3=27(人)三层共有队员数：茁冥4=1腌（人）方法三：从12行12列的中实方阵中减去中间的空心方阵，就是队员人数：12x12-6x6=144-36=108（人）例5.小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵，共用了200个棋子，问最外边一层每边有多少个棋子？分析与解：方法一：利用相邻两层之间，每层的总数相差8的特点。可知最外层共有棋子数：(200+8+8x2+8x3+8x4)■=■5=56(个)最外层每边的棋子数：咒*+l=H（个）方法二：如下图，把棋子分成相等的四部分，每一部分的棋子数为：20°一4=^°（个），每一部分每排的棋子数为：（个）最外层每边的棋子数为：1°+^=1亍（个）列综合算式：200^4^5+5=15（个）答：最外层每边有棋子15个。二.模拟试题：运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？学校为庆祝“十一”，用盆花摆了一个中实方阵，最外一层有36盆花。求这个方阵共有花多少盆？一个由圆片摆成的中实方阵，最外一层有12个圆片，把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵，那么最外层应该有多少个圆片？有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？【试题答案】运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？9x9=S1（人）（9-2）x（9-2）=49（人）81-49=32（人）答：要减少32名运动员。学校为庆祝“十一”，用盆花摆了一个中实方阵，最外一层有36盆花。求这个方阵共有花多少盆？

36一4+1=10（盆）10x10=100（盆）答：这个方阵共有花100盆。一个由圆片摆成的中实方阵，最外一层有12个圆片，把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵，那么最外层应该有多少个圆片？12-4+1=44x4x4=6482=64（8-1）^4=28（个）答：最外层应该有28个圆片。有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？（16+2-1）x4=68（个）（16-2-1）x4=52（个）68—52=16（个）答：应再增加16个圆片。解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16