量子力学试卷

05级2学分A一、 答复以下问题〔每题5分，共30分)1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？2什么是束缚态？什么是定态？3试述电子具有自旋的实验证据。4写出量子力学五个基本假设中的任意三个。5表示力学量的厄米算符有哪些特性？6一维空间两粒子体系的归一化波函数烦(X,X)，写出以下概率：发现粒子1的位置介于X和X+dx之间〔不对2粒子2进行观测〕二、 此题总分值10分设单粒子定态波函数为v(r)=-(e-ikr+beikr)，试利用薛定谔方程确定其势场。kr三、此题总分值12分利用厄米多项式的递推关系和求导公式：H(x)-2xHQ+2nH(x)=0，H，(%)=2nHG)证明：一维谐振子波函数满足以下关系：n n+1XV(x)=[、-V (x)+.,na\2n-1 \a=ms/方dv (x) 「na=ms/方卞=a[KVn-1⑴-,已知一维谐振子的波函数为：v(x)=Ne籍H(ox), N=[—]'n n n n一+c■l兀22nn!J四、此题总分值12分8,X<0,一粒子在一维无限深势阱U(X)=Jo,0<x<a,中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。8,x>a五、 此题总分值12分TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"已知氢原子的电子波函数为V (r,0&,s )=UR (r)Y (0。)% (s)+ ：3R (r)Y (9,中)X (s )。nlmms z\431 11 1/2z\432 20 -1/2z求在V态中测量氢原子能量E、L2、Lz、s2、的可能值和这些力学量的平均值。六、 此题总分值14分,、IAre-^X, X>0一维运动的粒子处于状态V(X)=< 之中，其中人〉0,A为待求的归一化常数，求：〔0, X<0⑴归一化常数；⑵粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值；⑶粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。七、此题总分值10分,「 He4 1附：氢原子能量本征值：E=-一■n 32兀2e耕2n2n为正整数定积分：j0°xne-axdx=n'1 a>0

n为正整数球坐标系中:V2=1。(ag)+」多(sin04)+ 生球坐标系中:r2dr dr r2sin050 50 r2sin20d2中05级2学分B一、答复以下问题〔每题5分，共30分）1考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数?2〔1〕德布罗意关系式是仅适用于基本粒子如电子、中子，还是同样适用于具有内部结构的复合体系?〔2〕粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度更大？二者之间是否有必然联系？3量子力学中角动量是如何定义的？地球自转是否与量子力学中的自旋概念相对应？4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符有什么特征？球谐函数Y（0,甲）是哪两个算符的共同本征函数?lm5具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？6什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？二、此题总分值14分设氢原子处于状态Wnlm（r,0,中）=2v210一号甲21-1，求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。三、此题总分值15分a 1d2证明：W（x）=―e-2a2x（2a3x3-3ax）是一维线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。已知3怦目①a=一,号。v力四、此题总分值8分四、证明在七的本征态下，ix=0。五、此题总分值15分五、此题总分值15分设粒子限制在矩形匣子中运动，即0<x<a,0<x<a,0<y<b,0<z<c其余区域 ，求粒子的能量本征值和本征波函数。六、 此题总分值10分求以下算符对易关系式：fill △人 人人1）LxPx-PxLx=• 2）LyPx-PxLy=?△ 二 2h△ ■■入 .七、此题总分值8分定义Pauli算符n与自旋角动量算符S的关系为S=^。，证明：bxbybz=i附：氢原子能量本征值：E= ……n 32兀2e2h2n206级2学分A一、填空〔每空3分，共45分）1一维线性谐振子的能量本征值为。△2动量的三个分量P（Px,Py,Pz）的共同本征函数为—；S2=；S2=3耳旋角动量算符S在空间任意方向上的投影只能取值为.£吁Y；m（0，中）X,m,。9）sined0d9=德布罗意关系为。波函数的标准条件为。写出量子力学五个基本假设中任意两个。

性和 性。8费米子和玻色子所组成的全同粒子体系的波函数分别具有9不考虑电子的自旋时，氢原子能级En的简并度为10电子具有自旋的实验证据包括性和 性。11坐标和动量的对易关系为lx・P」=__TOC\o"1-5"\h\z测不准关系(Ax)2•(Apx)2> 。一维空间两粒子体系的归一化波函数为v(x1?x2)，x1和x2分别表示两粒子的空间位置，那么，发现粒子1的位置介于x和x+dx之间〔不对粒子2进行观测)的概率。二此题总分值7分 .已知角动量的对易关系为［jx,JV］=JxJv-H=iJz。证明：假设一个算符F与角动量算符J的两个分量Jxxyxyyxz x和L对易，即满足［F，L］=0和［F,J」=0，则算符f必与J的第三个分量J对易，满足［F,J］=0。y x y z z三此题总分值8分A △ ... Iq_Id■- A厄密算符F的本征方程为Fw=W，试根据厄密算符的定义式JW*Fgc=J(Fw)**dt，证明厄密算符F的本征值人是实数。四此题总分值9分设体系处于W=C1Y11+C2Y20状态〔已归一化)，求：〔1〕Lz的测量可能值及平均值；〔2)L2的测量可能值及相应的概率。五此题总分值9分-一_…- 1一 p2—__—氢原子处在基态w(r,9,时=1ea0，求在此态中：(1)r的平均值；(2)势能-一的平均值;QA3 r? .? .n!Jxne一axdx=—0 an+1(3)动量的概率分布函数。已知定积分六此题总分值6分L2一个转动惯量为I的刚性转子绕空间某一固定点转动，叫空间转子，其能量的经典表示式为H= ，L为角动量。求与此对应的量子体系的定态能量及波函数。已知角动量平方算符L2=-方2［1M(sin9#)+二土奚］。sin050 50 sin29卯2七此题总分值8分小 1在自旋态虹(sz)=101中，求Sx和Sy的不确定关系：(ASx)2•(ASy)2=?已知算符F的不确定度为2X'成~r人一K2(AF)2=F2-F2，平均值F=w+Fw。八此题总分值8分 , , -算符方程Aw=aw称为算符A的本征方程，其中常数a称为算符A的本征值，函数W称为算符A的本征函数。试确定以下函数哪些是算符业的本征函数，假设是本征函数，其对应的本征值是什么？dx2①x2， ②ex， ③sinx， ④3cosx， ⑤sinx+cosx06级2学分B一、答复以下问题〔每题4分，共24分)1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象?2试述电子具有自旋的实验证据。3考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？4写出量子力学五个基本假设中的任意三个。

5表示力学量的厄米算符有哪些特性？6什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求?二、计算题〔此题总分值12分）一 一3…氦原子的动能是E=-kT，k是玻耳兹曼常数，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。已知普朗克常数h=6.626x10-34焦耳•秒，玻耳兹曼常数k=1.38x10-23焦耳•K-1，质子质量m=1.67x10-27kg，氦原子的质量近似取为质子质量的四倍。 "三、计算题〔此题总分值12分）8,X<0,一粒子在一维无限深势阱U（x）=］。,0<x<a,中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。8,x>a四、计算题〔此题总分值12分）,n=1,2,3...设氢原子处于状态w,（匚0,中）=2R21（r）匕0（。,中）-旨,中,n=1,2,3...可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。已知氢原子的能量本征值为En五、证明题〔此题总分值14分）利用厄米多项式的递推关系和求导公式：TOC\o"1-5"\h\zH(x)-2xH(x)+2nH(x)=0，H'(%)=2nH(x)n+1 n n—1 n n—1证明：一维谐振子波函数满足以下关系：1n n+1xw(x)=—[,-W(x)+,.—W(x)]na\2n—1 'i-2n+1dW(x) 「n n+1—歹——=a[°2W<x)一寸~^W.(x)], a=qm①/方已知一维谐振子的波函数为：w（x）=Ne普H（ax）, N=［工］2n n n n一+c■l兀22nn!）六、证明题〔此题总分值12分）TOC\o"1-5"\h\z△ 三 三=定义Pauli算符。与自旋角动量算符S的关系为S=^。，证明：b成舟z=i七、证明题〔此题总分值14分）a 1",“证明：W（x）=J^e-2a2x（2a3x3-3ax）是一维线性谐振子的能量本征波函数，并求此波函数对应的本征能3.郭_h2d2 1 —量。已知一维线性谐振子的哈密顿算符为H=- +曰①2X2，参数a=〔,些。2日dx22 \h07级2学分A一、问答题〔每空5分，共30分）1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象。2写出量子力学五个基本假设中任意三个。3表示力学量的厄米算符有哪些特性？4考虑自旋时，描述氢原子需要几个量子数？

5什么是玻色子？对玻色子的波函数有什么要求？Y(0,中)6具有共同本征函数的两个力学量算符有什么特征？球谐函数lm 是哪两个算符的共同本征函数?二此题总分值10分一粒子在一维无限深势阱5什么是玻色子？对玻色子的波函数有什么要求？Y(0,中)6具有共同本征函数的两个力学量算符有什么特征？球谐函数lm 是哪两个算符的共同本征函数?二此题总分值10分一粒子在一维无限深势阱U(x)=<8,XV0,0,0<x<a,中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。8,x>a三此题总分值7分设单粒子定态波函数为w(r)=1(e—如+beikr)，试利用薛定谔方程确定其势场。kr四此题总分值10分 , , -算符方程Aw=aw称为算符A的本征方程，其中常数a称为算符A的本征值，函数w称为算符A的本征函数。试确定以下函数哪些是算符至的本征函数，假设是本征函数，其对应的本征值是什么？dx2①x2，②ex， ③sinx，五此题总分值10分④3cosx， ⑤sinx+cosx1氢原子处在基态W(r,0,9)=^=r—e冗a03a0，求在此态中:e2 8 n!(1)r的平均值；(2)势能- 的平均值；(3)动量的概率分布函数。已知定积分Jxne-axdx=ran+1六此题总分值8分已知在乙2和L的共同表象中，算符L的矩阵为L=W

x2，求它的本征值和归一化本征函数。七此题总分值15分1 3 -31 11 1/2z432 20s的可能值和这些力学量的平均值。-1/2z和Sy的不确定关系：(ASx)2-(ASy)2=?已知算符尸的不确定度为已知氢原子的电子波函数为W (r,0,9,s )= R(31 11 1/2z432 20s的可能值和这些力学量的平均值。-1/2z和Sy的不确定关系：(ASx)2-(ASy)2=?已知算符尸的不确定度为求在甲态中测量氢原子能量E八此题总分值10分在自旋态%i(sz)=2在自旋态%i(sz)=2(aF)2=F2—铲，平均值F=w+Fw。V0Jk07级2学分B一、问答题〔每空5分，共30分)1那些实验现象揭示了光的波粒二象性?？ 人人2写出角动量算符L,L、哈密顿算符宜、自旋算符s,s的本征值。z 2z3什么是束缚态？什么是定态？4具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示?5试述电子具有自旋的实验证据。6什么是费米子？费米子所组成的全同粒子体系的波函数有什么要求？二此题总分值10分

Axe-^x,x>0 八一维运动的粒子处于状斜(X)=〈 之中，其中人〉0,A为待求的归一化常数，求：Q xv0归一化常数；粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值；粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。三此题总分值7分厄密算符F的本征方程为Fw=W，试根据厄密算符的定义式JW*6帕C=J(FV)**dT，证明厄密算符F的本征值人是实数。四此题总分值10分1一 e2-氢原子处在基态w(r,%甲)=13ea0，求在此态中：(1)r的平均值；(2)势能---的平均值;⑶动量的概率分布函数。已知定积分?xne-axdx=工。0 an+1五此题总分值15分1一、3一.一〔3)H的测量可设氢原子处于甲(r,6,9)=—R(TY(9冲)一一R(f^Y(9,9)〔3)H的测量可〔1)L的测量可能值、相应的概率及平均值；〔2)左的测量可能值、相应的概率及平均值;能值、相应的概率及平均值。附：氢原子能量本征值：E=-—坦 1-n 32冗282方2»2六此题总分值8分 0x力△定义Pauli算符。与自旋角动量算符S的关系为S=b七此题总分值10分一i)的本征值和所属的本征函数。0)0)0)八此题总分值10分小 1在自旋态虹(sz)=101中，求Sx和Sy的不确定关系：(ASx)2.(ASy)2=?已知算符F的不确定度为['云~T八_木2(AF)2=F2-F，平均值F=v+Fv。05级2学分A答案一、答复以下问题〔每题5分，共30分〕1黑体辐射，光电效应，迈克尔逊-莫雷实验，原子的光谱线系，固体的低温比热等2当粒子被势场约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的态叫束缚态。定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。假设势场恒定，空=o，则体系处于定态。dt3电子具有自旋的实验证据：1)斯特恩-盖拉赫实验2〕光谱精细结构3〕反常塞曼效应4五个基本假定：1)微观体系的状态被一个波函数完全描述。2)力学量用算符表示。3)将体系的状态波函数用力学量算符的本征函数展开，则在该态上测量该力学量的结果是力学量算符的一个本征值，测量概率是相应本征函数前展开系数的模方。4〕体系的状态波函数满足薛定谔方程。5〕在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。5厄米算符具有如下特性：1)厄米算符的本征值为实数2〕厄米算符在任何态中的平均值均为实数3)厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交4)描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系6概率p=[j+8dx2k(x,x2)|2]dx—s二、此题总分值10分—力21d dK) v(尸)E将已知波函数代入球坐标系的波动方程新方石(r)+V(r)kk Ekk力2k2可得由kk+V(r)kk=Ekk力2k2 ,所以V(r)=E—2m—const故不妨令其为零，则所给波函数乃是自由粒子波函数三、此题总分值12分已知H(x)-2xH(x)+2nH(x)=0k(x)=NeH(ax),k(x)=Ne-甘H(ax),Nn+1［兀；2n+1(n+1)!/Nn—1k(x)=NeH(ax),Nn—1n—1 n—1 n—1、=、=(^^)：2naHdx、.兀2nn!e-ax,/2—a2xV(x)所以11xV(x)=M2_uxH(ox), (M=、a丸-i/4g-处相)TOC\o"1-5"\h\z1A,、 ，、、=-MJ

a.—tH(ax)+nH(a=-MJ

aV2nn!2n+1 n—11 ■ 1n「，、 1 ■ 1n+1„,、=0气2n_1(n—1)!\.・2Hn—1(ax)+0M\2n+1(n+1)4亍气+阡)1「n、./、 n+1、.=—[V(x)+|-(x)]a\2n-1 2n+1利用Hf(x)=2nHG)利用n1「n/、n+1=土2Vn—1—a2a翌Vn—1(x)+\.fn+1(x)]=arn,、n+=a[En—卬——V〃+13)]四、此题总分值15分. 方2d2解：U⑴与[无关，是定态问题。其定态SE方程一一-V(x)+U(x)V(x)=EV(x)2mdx2在各区域的具体形式为方2d2TOC\o"1-5"\h\zI：x<0 -2—d—V(x)+U(x)V(x)=Ev(x) ①II：0<x<a -2—刁—V(x)=Ev(x) ②III：x>a -——d-V(x)+U(x)V(x)=Ev(x) ③由于(1)、(3)方程中，由于U(x)=8，要等式成立，必须V(x)=0 V(x)=0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为d2：2(x)+2mEV(x)=0dx2 加2令k2=2mE，得d2V2(x)+k2V(x)=0方2 dx2 2

其解为w(x)=Asinkx+Bcoskx④根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件，得W2(0)=W1(0)⑤W2(a)=W3(a) ⑥A丰0sinka=A丰0sinka=0nka=n兀 (n=1,2,3,…)nAsinka=0.•.W(x)=Asin——x由归一化条件』W(x)|2dx=18得 A2』asin2^^xdx=1由』asin暨x*sin竺xdx=坐由ba a2mnA'2nA=［：一\a'气.皿.•.W2(x)=*1—sin——x1 2mE,/k2=——方2兀2方2nE= n2 (n=1,2,3,…)可见e是量子化的。n 2ma2对应于En的归一化的定态波函数为0<x<ax<0<x<ax<a,x>a—sin——xe力n<\aa0，五、此题总分值10分解：E的可能值Me4288兀2802方2Me4

288兀282方2. 1_工3 _一L=x2方2+—x6方2=5方24 4L的可能值方，0 乙=4方c 3壬s2的可能值4力2S2=—方24=-4力六、此题总分值15分解：1〕由归一化条件J*"一8解：1〕由归一化条件J*"一8k(x)|2dx=12〕坐标的平均值为：x=j+8xk(x)|2dx=』+”一8 0\A|2x2e~2，xdx=^―=1机334X3x3e_2*xdx=——2人A=23/2坐标平方的平均值为：x2=』74X3x4e—2*xdx=—TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3〕动量平均值为：p=』+"k*(x)(-ih—)k(x)dx=』+"4人3xe~^x(-ih—)(xe~^x)dx0 dx 0 dx=-ih4人3[J*8xe-2^xdx一人J*8x2e-2^xdx]=00 0\o"CurrentDocument"动量平方的平均值为：P2=J+8k*(x)(-h2——)k(x)dx=J+84X3xe~^x(-h2——)(xe~^x)dx0 dx2 0 dx2=J+84人3人h2(2xe-2"x-Xx2e-2"x)dx=X2h20七、此题总分值8分解：①不是②是，1。 ③是，一1。 ④是，一1。 ⑤是，一1。05级2学分答案B一、答复以下问题〔每题5分，共30分)1主量子数n,角动量量子数1,磁量子数m,自旋磁量子数ms2德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映而与物质具体结构无关，因此，不仅适用于基本粒子也适用于具有内部结构的复合体系。由基本假设X=h/p，波长仅取决于粒子的动量大小而与粒子本身线度无必然联系。人 人 人^ ^ ^3量子力学中角动量按下式定义：JXJ=ihJ^方任何满足此式的算符所代表的力学量，都可以认为是角动量，此定义较之角动量的仿经典定义乙=rXp更具普遍性，后者只适用于轨道角动量而不能适用于自旋。自旋是量子力学中的特有概念，无经典对应，是微观粒子的内禀属性。地球自转实际上仍然是地球各质点的轨道运动，应与轨道角动量相对应，而不是与自旋相对应。4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符对易。球谐函数Y(0,^)是L2和Lz的共同本征函数lm5在其自身表象中表示为对角矩阵：rx0•••人1F=0X2•••，X1,X2'…为F诸本征值\…••••刁本征矢量为单元素的一列矩阵:

r1)r0)011-0中=，20k..)k•••}中,6自旋为6自旋为力二、此题总分值14分设氢原子处于状态W(r,0,中)=2W 2-吝°】一1,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。解：E=£CnI2Ennl2=E\CI2L2nnn13=-2方2+_•2方2=2方2，可能值2力2，几率1；44L=E|C|2Ln1八3工3工 、3 、1=~'。+,—方=~~方，可能值-力，几率丁；可能值0，几率丁4 4 4 4 4三、此题总分值15分试证明W(x)=3、爪e2a2x2(2a3x3-3ax)是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。证：一维线性谐振子的薛定鄂方程为力2d2 .、 1 W(x)+旦①2x2W(x)=EW(x)2旦dx 2把W(x)代入上式，有—W(x)=d[:~^=e"2a2x2(2a3x3-3ax)]dxdx\3t兀a 122-^[-a2x(2a3x3一3ax)+(6a3x2—3a)]e一2xV3*:a,=，—e2\3.-兀(—2a5x4+9a3x2—3a)d2W(x) ddx2 I .dx\i3寸兀—e2a2x2(-2a5x4+9a3x2—3a)-a2xe-2a2x2(-2a5x4+9a3x2一3a)+e-2a2x2(-8a5x3+18a3x)=(a4x2-7a2)：e-2心(2以3x3-3ax)=(a4x2-7a2)v(x)口TOC\o"1-5"\h\zd2 ,、 _把^▽(赢代入①式左边，得dx2h2d2v(x)1 h2,、h2 ,、1 ,、左边2pdx2一H①方2 /、方2,，=7•二•——V(x)———(■—方2p 2p 方 +—p①2x2V(x)=7a左边2pdx2一H①方2 /、方2,，=7•二•——V(x)———(■—方2p 2p 方2 2p 2p 2丽、、」、，1,、、」、1)4x2V(x)+—p①2x2V(x)

， 271 1 7=_h^V(x)-—p①2x2V(x)+—p①2x2V(x)=—h^V(x)22 2 2右边=EV(x)7当E=—hs时，左边=右边。n=3,、.adV(x)=,,、.adV(x)=,，一=—e丫3七兀dx2a2x(2a3x3-3ax)，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为3柚。四、此题总分值8分证明在顷本征态下，l证明在顷本征态下，lx=0。1,证明：由于lm〉=mh|m〉；ll—ll=ihl；所以l==〈m|ll—ll|m〉=0z yzzyx x ih yzzy五、此题总分值15分设粒子限制在矩形匣子中运动，即0 0<x<a,0<y<b,0<z<cV(人'y'z)={t，其余区域 ，求粒子的能量本征值和本征波函数。方2解：匣内方2解：匣内-—V2V=EV

2m7 \2mEk= h(V2+k2加=0 (3分)采用直角坐标系，方程的解可以别离变量，边界条件W3=0,y=0,z=0)=0(4分)本征函数V(x,y,z)=Asinkxsinky(4分)V(x=a,y=b,z=c)=0,可得n3n3=1,2,3...(4分)(2分)2w2.n兀.n兀.n兀归一化能量本征函数为V (x,y,z)=,——sin—x•sin,y・sin-^zninin2n3六、此题总分值10分求以下算符对易关系式:八人 八八1)LE-PL,=? 2)解:人人 人人 *八 .人 人 人 *人 .人LP-PL=(yp -zP )P-P (y^ -zP )xxxx zyxxzy=ypp—zpp—pyp+pzp=ypp—zpp—yPp+zpp=0zxyxxzxy zxyxzxyx-PL=(zP-x?)P-P(zP-x^)=zP?—xPP—pzp*+

xy xzxxxz xzxxx一入 ■人人 .人 八■人 .人 人一/ 人=zP2-xPP-zP2+PxP)=-(xP-Px)P=-i杞5分七、此题总分值8分证明：b6—6b=2ibxyyx z〔1〕〔1〕+〔2〕得：bb=ibxy z〔3〕〔3〕右乘cf :bbbzxyz06级2学分考试答案及评分标准A1.注：此题共13小题，15空，每空3分，总分值45分〔共3分〕要点：E=（n+；）方w,n=0,1,2,...该题为基此题，考核对量子力学中谐振子能量量子化问题的掌握情况。2.1一' 1 方〔共3分〕要点：（2）3eip.r/力 〔或（2）3e（勺+冷+京V〕注：生综合考虑这些知识点后作答。13_3.〔共6分〕要点：飞h,-—九匚冷24注：该题为基此题，考核对自旋角动量的理解和掌握情况。该题为综合题，考核的知识点包括动量本征函数、平面波波函数和力学量的共同本征函数等，要求学〔共3分〕要点：sII8顽注：该题为基此题，考核的知识点是量子力学中非常重要的概念球谐函数的正交性问题。~A _> -^〔共3分〕要点：E=hv=方①P=—n=方kX注：该题为基此题，考核对量子力学中最重要的基本概念德布罗意波的理解和掌握程度。〔共3分〕要点：连续性、有限性、单值性注：该题为基此题，考核对量子力学中波函数的理解和掌握情况。〔共3分〕要点：波函数的统计解释。 〔2〕力学量用厄密算符表示。〔3〕中=£C中+JC①dx（4）薛定谔方程访箜=加

nnXX Qt〔5〕全同性原理注：该题为基此题，考核量子力学理论框架的基本假定，考生答出其中的任意二项即可。8.〔共6分〕要点：反对称对称注：该题为基此题，考核对量子力学中全同粒子体系特性的理解情况。9.〔共3分〕要点：n2〔共3分〕要点：1〕斯特恩-盖拉赫实验2〕光谱精细结构3〕反常塞曼效应注：该题为基此题，考核对自旋假设的实验依据的掌握情况。〔共3分〕要点：L，pj=访注：该题为基此题，考核知识点是量子力学中重要的一个基本对易关系。 方212,〔共3分〕要点：（Ax）2-（询J>—注：该题为基此题，考核量子力学中的不确定关系。13.〔共3分〕要点：概率p=[』心d^|v(x,^)|2]dx—3注：该题为基此题，考核概率和概率密度等知识点。二、此题总分值7分 人 「]「]证明：设算符F与角动量算符J及Jy皆对易，即hJ一钉v一0 ——2分y x yLIHLli"li—1则Ej F,5,j=FjjFjj0 -一一一一一3分zinxy匝xyinyxJ同理可知，假设算符F与角动量算符匕及七皆对易，J同理可知，假设算符F与角动量算符匕及七皆对易，J及J皆对易，则算符FJ必与J对易，于是，问题得证。yz xA；

则算符f必与J对易;

y 2分J假设算付与角动量算付 2分注：该题为基此题，考核学生对算符运算规则和角动量算符性质的掌握情况。三、此题总分值8分 M A由厄密算符的性质/c、IP I（FW）*^dx，假设取w=© 3分人jw*Wdx=由厄密算符的性质/c、IP I（FW）*^dx，假设取w=© 3分人jw*Wdx=X*fw*Wdx,得人=人*，即本征值是实数。 3分注：该题为基此题，考核学生对一维谐振子波函数的理解和应用能力。四、此题总分值9分解：由于LY1]=2n2七，LY20=6加七° 2分LY=hY，LY=0z11 11z20 2分所以〔1〕L,的可能值为h,0；相应的概率为IqFJcJ2；平均值为hql2 —一一3分〔2〕L2的可能值为2h2,6h2；相应的概率为|CJ2,\C2I2。 2分注：该题为综合题，考核轨道角动量算符的本征值问题以及力学量的测量值及分布概率等问题。五、此题总分值9分解:（1）r=jrW（r,0,甲）|2dT—1j兀j2小re-2r/a0r2sin0drd0d甲

m30000=±j«

a300r3a-2r/a0dr4 3! 3 ———aa3f2丫20（2）7=（—乏）=一三』小「\一2心/2sin0drdQd（pr兀13oooro 3分=—^f42KPe-2r/«0rsin9drdQd 3分兀Q30000TOC\o"1-5"\h\z4e2（* 4e2 1 s—— Je-2心orar=— =——Q3o [3—、2 ao o匕 o〔3）c（p）=jw*（7）W（r,°,<P）&pc（p）=—i—\^^=e-riaQr^dr\Ke~>cosesinO决卜卯（2丸方）3/2oJna3 o o* 0= f00r2e-r/«0dr\Ke"//prcos0rf（-cos0）（2丸力）3/2.兀。30 0 Joor2e-r/a（x Joor2e-r/a（x/r—e->cose（2兀方）3/2J7113o ipr2nhr1 1= 一户佗_心。（"-e-.pr}dr（2兀方）3/2JllQ3ip00 ' 0_L _]=_1 4加（2湖）3/2.m：ip（J__；p）2 （J_+；p）2 （2吁3伽a/2（—+—）2ati ah 0 Z72h20 0 n4 Q4方4 （2a力）3/2力, 0 = 0 !2a3h3Tta（Q2p2+方2）2丸（]2p2+力2）28aj力5I8aj力5 3分动量几率分布函数CD(p)=|c(p)|2 3分7l2(a3p2+力2)4注：该题为综合题，考核氢原子的波函数的意义以及力学量的测值概率和平均值等知识点。六、此题总分值6分解：丑=一力2[1__a_sinO解：丑=一力2[1__a_sinO50（sin0-|-）+

ao1合2]sin20d（p2 2分 2分 2分而-京嘉寿(g寿)+名岸戏〃)=聊喝)贝U (sin0g)+— -^]i|/(0,(p)= i|/(0,(p)sinO30 50 sin208(p2 力2为使v(0,<p)在。变化的整个区域(。〜兀)内都是有限的，2/F必须有-—=/(/+!) 〔/=0,1,2...)力2£=/(Z+l)/.2 。=0,1,2...)21W(°,平)=匕(6,甲)(m=0,±l,±2...±Z)lm七、此题总分值8分力.八解：由S=x；sx[=2（1o）

2 2f011同理Sy=力.八解：由S=x；sx[=2（1o）

2 2f011同理Sy=0,(AS)2=S2-S2=S:=X12°z)S:X12(顼=910)力2"4 2分 2分n2(AS)2=S2-S2=S2=x；”\SSx"(S)=— 2分(as*-(as)=|| 2分注：该题为综合题，考核的知识点包括：波函数归一化，力学量平均值的计算以及力学量算符等。八、此题总分值8分d2 d2解:①京E=2 尤2不是京的本征函数。d2 d2②灵心=心国不的本征函数，其对应的本征值为】。一1分d2 d③ (sinx)= (cosx)=-sinxdx2 dx可见，sinx是刍的本征函数，其对应的本征值为一1。dx2 2分@——(3cosx)=—(-3sinx)=-3cosx=-(3cosx)dx2 dx、d23C0SX是云的本征函数，其对应的本征值为一1。 2分⑤^^(sinx+cosx)=—(cosx-sinx)=-sinx-cosx=-(sinx+cosx)dx2 dxd2sinx+cosx是 的本征函数，其对应的本征值为一1。dx2 2分注该题为基此题清缎2学芬征舞试答案及评分标准B一、此题共6小题，每题4分，总分值24分1.〔共4分〕要点：黑体辐射，光电效应，迈克尔逊-莫雷实验，原子的光谱线系，固体的低温比热等。注：该题为基此题，考核对量子力学发展过程的了解情况。要求考生至少答出其中三项。2.〔共4分〕要点：电子具有自旋的实验证据：1）斯特恩-盖拉赫实验2〕光谱精细结构3〕反常塞曼效应注：该题为基此题，考核对自旋假设的实验依据的掌握情况。〔共4分〕要点：主量子数n,角动量量子数1,磁量子数m,自旋磁量子数ms注：该题为基此题，考核描述氢原子所需的量子数这一知识点。〔共4分〕要点：五个基本假定：1）微观体系的状态被一个波函数完全描述。2）力学量用算符表示。3）将体系的状态波函数用力学量算符的本征函数展开，则在该态上测量该力学量的结果是力学量算符的一个本征值，测量概率是相应本征函数前展开系数的模方。4〕体系的状态波函数满足薛定谔方程。5〕在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。注：该题为基此题，考核量子力学理论框架的基本假定，考生答出其中的任意三项即可。〔共4分〕要点：厄米算符具有如下特性：1〕厄米算符的本征值为实数。 …••…1分2〕厄米算符在任何态中的平均值均为实数。 …••…1分3〕厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。 …••…1分4〕描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系。 …••…1分注：该题为综合题，考核量子力学中一个概念--厄米算符的性质。〔共4分〕要点：自旋为力的半奇数倍的微观粒子。 -一…2分要求费米子的波函数是交换反对称的。 -一…2分注：该题为基此题，考核自旋、费米子和波函数反对称化等知识点。二、计算题〔此题总分值12分）TOC\o"1-5"\h\z解：根据 1k-K=0.8625x10-4eV 3分知此题氦原子的动能为：E=—kT=L29375x10-4eV 3分hc显然远小于氦原子的静止能量mc2。这样，便有人=. =1.26x10-9m 6分2mc2E注：该题为基此题，考核德布罗意关系。三、计算题〔此题总分值12分）. 方2d2解：U3）与/■无关，是定态问题。其定态薛定谔方程——-—W（x）+U（x）W（x）=EV（x）2mdx2在各区域的具体形式为I:x<0方2d2-2m云W1(x)+U(x)w1(x)=Ev1(x)①n：0<x<a方2d2-2m=v2(x)=EW2(x)②••2分皿：x>a方2d2-2mdxiW3(x)+U(x)v3(x)=EW3(x)③

由于(1)、(3)方程中，由于U(x)=8，要等式成立，必须V(x)=0V(x)=0 2 2分d2V(x)2mE,、八方程(2)可变为一d；2+另厂V2(x)=0入1 2mE ,d2V(x)令k2= ，得 +k2V(x)=0方2 dx2 2其解为v2<x)=Asinkx+Bcoskx ④V2(0)=V(0)⑤V2(0)=V(0)⑤V2(a)=V3(a)nAsinka=0sinka=0nka=n兀 (n=1,2,3,…)•IV•IV2n兀(x)=Asin——xa 3分由归一化条件』由归一化条件』V(x)|2dx=18ffaA2」sin2——xdx=1

a由jasinml由jasinmlx*sinmxdx=4由ba a2mn，互…、■nA=\，a次2(x)=\,'2.n兀■—sin——xaa 2分,/k22mE

方2兀2兀2方2nE= n2 (n=1,2,3,…)可见e是量子化的。 2分对应于En的归一化的定态波函数为矿—sin:an兀 _f——xeh矿—sin:an兀 _f——xehn,0<x<aa0,1分x<a,x>a注：该题为基此题，四、此题总分值12分考核一维无限深势阱问题。解：E=Z\C|2EnnnMe4128兀2£2h201广

可能值4E，几率i； 4分可能值2可能值2h2，几率1； 4分—l, , 1 3L=zC2l= -2h2+—•2h2=2h2，'n