专题10幂函数以及函数的应用（解析版）

专题10幂函数以及函数的应用【考点预测】考点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．考点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．考点二、幂函数的图象及性质1．作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．考点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2．作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3．幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．4．幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．考点三、解决实际应用问题的步骤：第一步：阅读理解，认真审题读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．第二步：引进数学符号，建立数学模型设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．第四步：再转译为具体问题作出解答．【典型例题】例1．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数为奇函数.(1)求函数的解析式；(2)若，求的取值范围.【解析】（1）由题意，幂函数，可得，即，解得或，当时，函数为奇函数，当时，为非奇非偶函数，因为为奇函数，所以.（2）由（1）知，可得在上为增函数，因为，所以，解得，所以的取值范围为.例2．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数为偶函数，(1)求函数的解析式；(2)若函数在上的最大值为2，求实数的值．【解析】（1）因为为幂函数，所以，解得或因为为偶函数，所以，故的解析式；（2）由（1）知，对称轴为，开口向上，当即时，，即；当即时，，即；综上所述：或．例3．（2022·全国·高一课时练习）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？【解析】（1）当产量小于或等于50万盒时，，当产量大于50万盒时，，故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为（2）当时，；当时，，当时，取到最大值，为1200．

因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．例4．（2022·全国·高一课时练习）如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年月日，天气：阴；能见度：1.8千米；时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示.其中：“时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数：，是常数）刻画.(1)求值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；(2)时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）【解析】（1）到的时间是30分钟，则，即，潮头从甲地到乙地的速度（千米分钟）.（2）因潮头的速度为0.4千米分钟，则到时，潮头已前进（千米），此时潮头离乙地（千米），设小红出发分钟与潮头相遇，于是得，解得，所以小红5分钟后与潮头相遇.（3）把，代入，得，解得，，因此，又，则，当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米分，即时，，解得，则当时，，即从分钟时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米分的速度匀速追赶潮头，设小红离乙地的距离为，则与时间的函数关系式为，当时，，解得：，因此有，最后潮头与小红相距1.8千米，即时，有，解得，（舍去），于是有，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时（分钟），因此共需要时间为（分钟），所以小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.例5．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的定义域为全体实数R.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.【解析】（1）∵是幂函数，∴，∴或2.当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，∴m＝2,∴.（2）即，要使此不等式在上恒成立，令,只需使函数在上的最小值大于0.∵图象的对称轴为，故在上单调递减，∴，由，得，∴实数k的取值范围是.【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高一单元测试）若函数的图象经过点，则（）A． B．3 C．9 D．8【答案】B【解析】由题意知，所以，即，所以，所以，所以.故选：B2．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．故选:D．3．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（

）A．［－1,0] B． C．［0,2] D．【答案】B【解析】解法一：因为幂函数的图象过点，所以，可得，所以，．因为，所以，故．因此，函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，所以．因为，所以．因为，所以，所以，解得，即函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．4．（2022·全国·高一课时练习）如图所示是函数(且互质)的图象，则（

）A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且【答案】C【解析】函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故，故选：C.5．（2022·全国·高一期中）幂函数在区间上单调递增，则（

）A．27 B． C． D．【答案】A【解析】由题意，令，即，解得或，当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，即幂函数，则.故选：A.6．（2022·全国·高一课时练习）向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当容器是圆柱时，容积V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满足条件；由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小，∴A、C不满足条件，而B满足条件.故选：B．7．（2022·全国·高一单元测试）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（

）A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位【答案】D【解析】设每生产单位试剂的成本为，因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，则，当且仅当，即时取等号，满足，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．8．（2022·全国·高一课时练习）给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由题，满足条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（

）A．B．函数在上单调递增C．函数是偶函数D．函数的图象关于原点对称【答案】ABD【解析】因为幂函数在上是增函数，所以，解得，所以，所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，所以在上单调递增；故选：ABD10．（2022·全国·高一课时练习）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（

）A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润【答案】BC【解析】当时，，故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；，当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.故选：BC.11．（2022·全国·高一课时练习）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)､乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（

）A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为【答案】ABCD【解析】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；设甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，代入点，可得，解得，所以甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，故B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元，故C正确；设当时，设与之间的函数关系式为代入点，可得，解得，所以当时，与之间的函数关系式为，故D正确.故选：ABCD.12．（2022·全国·高一课时练习）若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（

）A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”B．若，则存在区间M使为“弱增函数”C．若，则为R上的“弱增函数”D．若在区间上是“弱增函数”，则【答案】ABD【解析】对于A：在上为增函数，在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，由幂函数的性质可知，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，B正确；对于C：为奇函数，且时，为增函数，由奇函数的对称性可知为R上的增函数，为偶函数，其在时为增函数，在时为减函数，故不是R上的“弱增函数”，C错误；对于D：若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．故选：ABD．三、填空题13．（2022·全国·高一单元测试）已知，若函数在上单调递减，且为偶函数，则______．【答案】【解析】由题知：，所以的值可能为，，．当时，为偶函数，符合题意．当时，为奇函数，不符合题意．当时，，定义域为，则为非奇非偶函数，不符合题意．综上，．故答案为：14．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.【答案】【解析】是幂函数，，解得或，若，则，在上不单调递减，不满足条件；若，则，在上单调递增，满足条件；即.故答案为：15．（2022·全国·高一课时练习）现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩粒.则红豆和白豆共有________粒.【答案】【解析】设红豆有粒，白豆有粒，由第一轮结果可知：，整理可得：；由第二轮结果可知：，整理可得：；当时，由得：（舍）；当时，由得：（舍）；当时，由得：，，即红豆和白豆共有粒.故答案为：.16．（2022·全国·高一期中）已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．【答案】【解析】幂函数在上是减函数，，解得，，或．当时，为偶函数满足条件，当时，为奇函数不满足条件，则不等式等价为，即，在R上为增函数，，解得：.故答案为：.四、解答题17．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，；(3)，，．【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，且，所以．（2）因为幂函数在上为增函数，且，，所以，所以，所以．（3），，，因为幂函数在上单调递增，所以．18．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，.(1)求方程的解集；(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.【解析】（1）由，得且，解得，；所以方程的解集为（2）由已知得.（3）函数的图象如图实线所示：函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.19．（2022·天津市第九十五益中高一期末）已知幂函数的图像经过点()，函数为奇函数.(1)求幂函数的解析式及实数a的值；(2)判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明【解析】(1)由条件可知，所以，即，，因为是奇函数，所以，即，满足是奇函数，所以成立；(2)由（1）可知，在区间上任意取值，且，，因为，所以，，所以，即，所以函数