专题03轴对称突破核心考点【知识梳理解题方法专题过关】（解析版）

专题03轴对称突破核心考点【聚焦考点+题型导航】考点一轴对称图形的识别考点二轴对称图形的性质考点三画轴对称及设计轴对称图形考点四坐标与图形变换——轴对称考点五线段的垂直平分线性质与判定考点六等腰三角形的定义与性质考点七利用等腰三角形定义与性质的多解题考点八等腰（等边）三角形中全等综合问题【知识梳理+解题方法】一、轴对称轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．二、轴对称图形轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.（对称轴必须是直线）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等.画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点.用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；三、线段的垂直平分线概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．四、等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.五、等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.【专题过关+能力提升】考点一轴对称图形的识别例题：（2022·全国·八年级专题练习）下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”判断即可得．【详解】解：A.不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B.能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；C.不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D.不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：B．【点睛】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．【变式训练】1．（2021·重庆市巴渝八年级期中）下列图形中是轴对称图形是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2022·广东·高州市第一附属实验七年级阶段练习）下列交通安全图标不是轴对称图形的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．3．（2022·江西·崇仁县第二七年级阶段练习）繁体字具有数千年的历史，不仅在中国，在中国周边国家中，繁体字仍旧具有非常大的影响力．简繁互补是中国文字的演变规律．下面是成语“喜闻乐见”的繁体字，其中可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．考点二轴对称图形的性质例题：（2021·山西临汾·八年级期中）如图，与关于直线对称，其中，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据轴对称的性质可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：∵与关于直线对称，∴，∴，∵，∴．故选∶A．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏·靖江市实验七年级期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=28°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．94° B．96° C．102° D．128°【答案】B【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE=∠DEF，再根据翻折变换的性质，折叠后重叠了3层，然后根据平角的定义列式进行计算即可得解．【详解】解：∵长方形的对边ADBC，∴∠BFE=∠DEF=28°，∴∠CFE=180°-3×28°=96°．故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，观察图形，判断出重叠部分重叠了3层是解题的关键．2．（2022·广东·茂名市电白区第三七年级阶段练习）如图，与关于直线l对称，若，，则______，______．【答案】

2cm##2厘米

95°##95度【分析】根据轴对称的性质，有对应边相等、对应角相等求解．【详解】根据轴对称的性质有：AB=AE，∠D=∠C，∵AB=2cm，∠C=95°，∴AE=AB=2cm，∠D=∠C=95°，故答案为：2cm，95°．【点睛】本题考查轴对称的知识，理解轴对称的性质是解题的关键．3．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B=__度．【答案】50或65【分析】连接AP、BP，由点P为AB和BC垂直平分线的交点，得PA＝PB＝PC，知∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，又点Q与点P关于AC对称，可得PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∠CPQ＝∠CQP，分两种情况：①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，可得∠PCA＝40°，∠PAC＝40°，即得2∠ABP+2∠PBC＝100°，∠ABC＝50°，②当∠PCQ＝50°时，同理可得∠ABC＝65°．【详解】解：连接AP、BP，如图：∵点P为AB和BC垂直平分线的交点，∴PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，∵点Q与点P关于AC对称，∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∴∠CPQ＝∠CQP，①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，∴∠PCA＝40°，∴∠PAC＝40°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°，∴2∠ABP+2∠PBC＝100°，∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°，②当∠PCQ＝50°时，∠PCA＝25°，∴∠PAC＝25°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°，∴2∠ABP+2∠PBC＝130°，∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，综上所述，∠ABC为50°或65°，故答案为：50或65．【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理的应用及轴对称的性质．考点三画轴对称及设计轴对称图形例题：（2022·安徽·定远县第六九年级阶段练习）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有____种选择．【答案】3【分析】根据轴对称图形的性质即可得．【详解】解：如图所示，这样的白色小方格共有3种选择，故答案为：3．【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的根据设置为轴对称图形的性质．【变式训练】1．（2022·河南省实验八年级开学考试）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形，请在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴．（要求画出3种不同方法）【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的概念作图即可．【详解】解：如图所示：．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合．2．（2022·全国·八年级专题练习）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图．(1)如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴．(2)如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴．(3)如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析【分析】（1）根据轴对称图形的性质作出对称轴即可；（2）根据要求画出图形即可；（3）根据要求画出图形即可．（1）如图①中，直线m即为所求；（2）如图②中，图形即为所求；（3）如图③中，图形即为所求．【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．（2022·四川达州·七年级期末）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A，B，C均为格点．(1)作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作出关于直线l的对称图形；②在直线l上找一点D，使最小；(2)求出的面积．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)【分析】（1）①依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线l的对称图形；②连接，交直线l于D，连接BD，则AD+BD最小值等于的长；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．（1）解：如图，①△A'B'C'就是所求作的三角形；②点D就是所求作的点；（2）解：的面积=3×5-×1×5-×2×4-×1×3=7．【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，解决问题的关键是掌握轴对称的性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．考点四坐标与图形变换——轴对称例题：（2022·广东·梅州市学艺九年级开学考试）在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（

）A．（2，3） B．（2，-3） C．（-2，3） D．（-2，-3）【答案】A【分析】直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．【详解】解：点P（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是：（2，3）．故选：A．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．【变式训练】1．（2022·广东·阳春市东风八年级期中）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2）C．（4，2）或（﹣4，3）D．（4，2）或（﹣4，2）或（﹣4，3）【答案】D【分析】根据对称性分情况讨论即可．【详解】解：如下如所示，当D点与C点关于y轴对称时，△ABD与△ABC全等，此时点坐标为（﹣4，3）；当点D与点C关于AB的垂直平分线对称时，△ABD与△ABC全等，此时点坐标为（4，2）；点D点与（4，2）关于y轴对称时，△ABD与△ABC全等，此时点坐标为（﹣4，2）；综上所述，D点坐标为（﹣4，3）或（4，2）或（﹣4，2）．故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的性质，直角坐标系中的轴对称问题，掌握数形结合的思路是解题的关键．2．（2021·四川·西昌市川兴八年级阶段练习）已知A(a，-2)与B(，b)关于x轴对称，则a=___，b=____．【答案】

【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求得的值，即可求解．【详解】解：∵A(a，-2)与B(，b)关于x轴对称，∴，故答案为：，．【点睛】本题考查了关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．3．（2022·甘肃·金昌市龙门七年级期中）若，则点关于x轴的对称点的坐标为___．【答案】##【分析】根据算术平方根的非负性，可得，从而得到点M的坐标为，即可求解．【详解】解：∵，∴，解得：，∴点M的坐标为，∴点关于x轴的对称点的坐标为．故答案为：【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，算术平方根的非负性，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4．（2023·广东·新丰县大席八年级期中）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)请画出△ABC关于y轴对称的图形（其中分别是A、B、C的对应点，不写画法）；(2)直接写出三点的坐标；(3)平面内任一点P（x，y）关于直线x轴对称点的坐标为．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据题意画出轴对称图形即可；（2）根据坐标系写出点的坐标；（3）根据关于轴的点的坐标特征即可求解．（1）如图，即为所求；（2）三点的坐标：；（3）平面内任一点P（x，y）关于直线x轴对称点的坐标为（x，﹣y）．故答案为：（x，﹣y）．【点睛】本题考查了画轴对称图形，写出点的坐标，关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握以上知识是解题的关键．5．（2021·四川·西昌市川兴八年级阶段练习）已知：如图，已知△ABC，(1)分别画出与△ABC关于轴、轴对称的图形△和△；(2)写出△和△各顶点坐标；(3)求△ABC的面积．【答案】(1)作图见详解；(2)（0，2），（2，4），（4，1），（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；(3)5．【分析】（1）根据关于x、y轴对称的点的坐标特点画出图形即可；（2）根据各点在坐标系内的位置写出各点坐标；（3）根据即可得出结论．（1）解：如图所示：（2）由图可知，（0，2），（2，4），（4，1），（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）．（3）＝3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝12﹣2﹣3﹣2＝5．【点睛】本题考查的是轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．6．（2022·新疆·乌鲁木齐市第十三八年级期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．(1)请画出△ABC关于x轴对称的图形△；(2)求△ABC的面积；(3)在x轴上求一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并通过画图求出P点的坐标．【答案】(1)图见详解(2)(3)图见详解，点的坐标为【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）利用割补法求三角形的面积即可．（3）连接，交轴于点，连接，，此时点满足周长最小，即可得点的坐标．（1）解：如图，△即为所求．（2）解：由图可得：．的面积为．（3）解：如图，即为所求．由图可知点的坐标为．【点睛】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．7．（2020·辽宁·沈阳市第六十九八年级阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）(1)在平面直角坐标系中划出△ABC，则△ABC的面积是；(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为；(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．【答案】(1)见解析，4；(2)（−4，3）；(3)（10，0）或（－6，0）．【分析】（1）根据点的坐标，描点、连线即可得到△ABC，直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；（2）根据关于y轴对称的点的性质得出答案；（3）根据三角形的面积求出BP＝8，进而可得点P的坐标．（1）解：△ABC如图所示，△ABC的面积是：3×4−×1×2−×2×4−×2×3＝4，故答案为：4；（2）解：∵点D与点C（4，3）关于y轴对称，∴点D的坐标为：（−4，3）；故答案为：（−4，3）；（3）解：∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，∴，∴BP＝8，∴点P的横坐标为：2＋8＝10或2−8＝－6，故点P坐标为：（10，0）或（－6，0）．【点睛】此题主要考查了坐标与图形，网格中三角形面积求法以及关于y轴对称的点的性质，熟练掌握坐标与图形性质是解题关键．考点五线段的垂直平分线性质与判定例题：（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，是的角平分线，若，则点的距离是（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】过D作于E，则DE是点D到AC的距离，根据角平分线性质得出BD＝DE，代入求出即可．【详解】解：过D作DE⊥AC于E，则DE是点D到AC的距离，∵AD是∠BAC的角平分线，，，∴BD＝DE，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．【变式训练】1．（2021·山东烟台·七年级期中）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（

）A．40 B．42 C．46 D．48【答案】A【分析】过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=5，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，∴DE=CD=5，∴四边形ABCD的面积．故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.【答案】证明见解析【分析】先证，所以根据全等三角形的对应边相等推知DE＝DF．再结合已知条件“DF⊥AC，DE⊥AB”可以证得结论．【详解】证明：如图，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，又∵DF⊥AC，DE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF.∵DF⊥AC，DE⊥AB，∴AD平分∠BAC．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．3．（2022·湖南·郴州市第四八年级期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．(1)求证：△BDE≌△CDF(2)求证：AD平分∠BAC；(3)直接写出AB＋AC与AE之间的等量关系．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)AB+AC=2AE，理由见解析【分析】（1）直接利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；（2）根据全等三角形的性质得到DE=DF，又DE⊥AB，DF⊥AC，即可证明结论；（3）只需要证明Rt△DEA≌Rt△DFA得到AE=AF，即可证明AB+AC=2AE．（1）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，∵BD=CD，BE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）；（2）解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（3）解：AB+AC=2AE，理由如下：∵DE=DF，AD=AD，∠DEA=∠DFA，∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），∴AE=AF，∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．考点六等腰三角形的定义与性质例题：（2021·河北·唐山市第九八年级阶段练习）若等腰三角形的一条边长为5，另一条边长为10，则此三角形第三条边长为________．【答案】10【分析】分两种情况考虑：当5为等腰三角形的腰长时和底边时，分别求出周长即可．【详解】当5为等腰三角形的腰长时，10为底边，此时等腰三角形三边长分别为5，5，10，不能构成三角形；当5为等腰三角形的底边时，腰长为10，此时等腰三角形三边长分别为5，10，10，能构成三角形；综上所述，这个等腰三角形的第三条边的边长为10．故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式训练】1．（山西省临汾市2021-2022学年八年级上学期段考数学试卷（二））如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DFBC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8cm，DE＝2.5cm，则CE的长为______．【答案】5.5cm【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得．【详解】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，∵DEBC，∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，∴BD=FD，EF=CE，∴EF=DF-DE=BD-DE=8-2.5=5.5，∴EC=5.5cm故答案为5.5cm【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．2．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E在BC上，BD⊥AE于点D，F为BC中点．(1)在图中找出与∠ABD相等的角，并证明；(2)求证：DF平分∠BDE．【答案】(1)∠CAE=∠ABD，理由见详解(2)见详解【分析】（1）由∠BAD+∠CAE=90°和∠ABD+∠BAD=90°即可证明；（2）过C点作CG⊥AE，交AE的延长线于点G，延长CG、DF交于点H，先证明△ABD≌△CAG，可得到AG=BD，AD=CG；根据BD⊥AE，CG⊥AE，可得，即有∠BDF=∠FHC；再证明△DBF≌△HCF，即有BD=CH；根据DG=AG-AD，HG=CH-CG，可得DG=HG，即有∠FDG=∠FHC，则结论即可得证．（1）∠CAE=∠ABD，理由如下：∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵BD⊥AE，∴∠BDA=90°，∴在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°，∵∠BAD+∠CAE=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°=∠ABD+∠BAD，∴∠CAE=∠ABD，（2）证明：过C点作CG⊥AE，交AE的延长线于点G，延长CG、DF交于点H，如图，∵CG⊥AE，∴∠AGC=90°，即∠ADB=∠AGC=90°，根据（1）的结论有∠CAE=∠ABD，∵AB=AC，∴△ABD≌△CAG，∴AG=BD，AD=CG，∵BD⊥AE，CG⊥AE，∴，∴∠BDF=∠FHC，∠DBF=∠HCF，∵F为BC中点，∴BF=FC，∴△DBF≌△HCF，∴BD=CH，∵DG=AG-AD，HG=CH-CG，∴DG=BD-AD，HG=BD-CG=BD-AD，∴DG=HG，∴∠FDG=∠FHC，∵∠BDF=∠FHC，∴∠BDF=∠GDF，∴DF平分∠BDE，【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，构造辅助线CH、FH证明△DBF≌△HCF，是解答本题的关键．3．（2021·四川·东坡区实验八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC=∠ACB，D是AC边上的一点，连接BD并延长到点E，连接AE、CE，AF平分∠BAC交BD于点F．(1)若∠BAC＝70°，∠FBC＝25°，求∠AFD；(2)已知CE⊥BC，AD＝CD，求证：BF＝AE．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质以及三角形内角和解答即可；（2）根据全等三角形的性质判定与性质先证明△ADF≌△CDE，然后证明△ABF≌△CAE即可得出答案．（1）解：∵平分∠BAC,∴，∵AB＝AC，∴,∵∠FBC＝25°，∴,∴；（2）设∠BAF＝∠CAF＝x°，∴∠BAC＝2x°，∴∠ABC＝∠ACB＝90°−x°，∵∠ECB＝90°，∴∠ECA＝x°，∴∠BAF＝∠ACE＝∠DAF＝x°，∵AD＝CD，∴△ADF≌△CDE（ASA），∴AF＝EC，在△ABF与△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴BF＝AE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．考点七利用等腰三角形定义与性质的多解题例题：（2022·河南·驻马店市第十八年级阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为_____．【答案】16或17【分析】分边长6是等腰三角形的腰和底两种情况讨论，即可求解．【详解】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长＝6+6+5＝17，②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长＝6+5+5＝16，综上所述，三角形的周长为16或17．故答案为：16或17．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解答本题时注意分情况讨论，避免出现错漏．【变式训练】1．已知等腰三角形的一个内角是72°，那么这个等腰三角形的顶角是______度．【答案】72或36【解析】【分析】本题应分底角为72°、顶角为72°这两种情况，分别计算每种情况下等腰三角形是否存在．【详解】解∶①当72°角是顶角时，顶角为72°，②当72°角是底角时，顶角＝180°－72°×2＝36°，综上顶角为72°或36°．故答案为：72或36．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，，树立分类讨论思想，培养学生全面思考问题的数学素养，在计算等腰三角形有关边、角的问题时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论是解题的关键．2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形底角度数是_______．【答案】或【解析】【分析】在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出．【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，，当在内部时，如图1，为高，，，，；当在外部时，如图2，为高，，，，，而，，综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．3．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．【答案】25°或40°或10°【解析】【详解】【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，∠C=（180°-100°）=40°，②AB=AD，此时∠ADB=（180°-∠A）=（180°-80°）=50°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，∠C=（180°-130°）=25°，③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，∠C=（180°-160°）=10°，综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°故答案为25°或40°或10°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．4．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为和两部分，求该三角形各边的长．（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1）或者；（2）周长为或者10【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，列出方程求解，注意分类讨论．（2）分三种情况，进行讨论，结合三角形三边关系得出答案．【详解】设腰长为2x,底为y，根据题意得：①解得：三边为10,10,7②解得：三边为8,8,11故本题答案为：或者①当时，解，此时，能构成三角形．此时周长为10②当时，解，此时不能构成三角形．③当，解得，此时，能构成三角形，周长为＝7综上，三角形的周长为7或者10．【点睛】本题考查等腰三角形性质，以及三角形三边关系，属于基础提高题．5．（2022·福建·莆田市城厢区南门八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；(2)在运动过程中，求当t为何值时，△BCP为等腰三角形．【答案】(1)(2)s或5.3s或5s或s【分析】（1）连接BP，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理列方程计算，得到答案；（2）分类讨论：若点P在AC上，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，CP＝BC，根据P移动的路程易得t的值；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD＝CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP＝AB＝5，易得t的值；当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，易得t的值；（1）如图1，连接BP，在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8（cm），则PC＝8﹣PA，由勾股定理得，PB2＝PC2+BC2，当PA＝PB时，PA2＝（8﹣PA）2+62，解得，PA＝，则t＝÷4＝；（2）分四种情况：①如图1，点P在CA上，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，∵BC=6,AC=8,∴AP=AC-CP=AC-CB=2则4t＝2，解得t＝（s）；②如图2，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，∴t＝20÷4＝5（s）；③如图3，若点P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，则S△ABC＝，CD＝4.8，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝＝3.6，∴PB＝2BD＝7.2，∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，此时t＝21.2÷4＝5.3（s）；④如图4，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，∴PD为△ABC的中位线，∴AP＝BP＝AB＝5，∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，∴t＝19÷4＝（s）；综上所述，t为s或5.3s或5s或s时，△BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．考点八等腰三角形中全等综合问题例题：（2021·重庆市璧山中八年级期中）（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系．（2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，证明见解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．证明见解析【分析】（1）延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题；（2）由△ACE≌△BCD，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°．∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案为AE=BD，AE⊥BD；（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD，理由如下：如图2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°-∠CED=135°，由（2）可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．【变式训练】1．（2021·辽宁·盘锦市第一完全八年级期中）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．(1)如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．(2)如图2，当点E为AB上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．(3)在等边三角形ABC中，若点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，请直接写出CD的长．【答案】(1)AE=DB，理由见解析(2)AE=DB，理由见解析(3)CD=3【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠D＝∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD∠ACB＝30°，然后证∠DEB＝∠D，得DB＝BE，即可得出结论；（2）过点E作EFBC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE＝EF，再证△DBE≌△EFC（AAS），得DB＝EF，即可得出结论；（3）过点E作EFBC，交AC的延长线于点F，可证得△AEF是等边三角形，△DEB≌△ECF(AAS)，由DB＝EF＝2，BC＝1，即可得出答案．（1）解：如图1，∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，∴∠ACB=60°，∠BEC=90°，AE=BE，又∵ED=EC，∴∠D=∠ECB=30°，∴∠DEC=120°，∴∠DEB=120°−90°=30°，∴∠D=∠DEB=30°，∴BD=BE=AE，即AE=DB．（2）解：当点E为AB上任意一点时，如图2，AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：如图2，过E作EFBC交AC于F，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60∘，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，，∴△DEB≌△ECF(AAS)，∴BD=EF=AE，即AE=BD，（3）解：过点E作EFBC，交AC的延长线于点F，如图3所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60∘，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF＝2，∵∠ABC=∠ACB=∠EFC=60°，∴∠DBE=∠ABC=∠EFC=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∵EFBC，∴∠ECD=∠CEF，∴∠D＝∠CEF，在△DEB和△ECF中，，∴△DEB≌△ECF(AAS)，∴DB＝EF＝2，∵BC＝1，∴CD＝BC+DB＝3．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．2．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D是直线BC上一点，过点A作∠DAE=90°（使点D，A，E按顺时针的顺序排列），且AE=AD，连接CE，过点A作AF⊥CE交直线CE于点F．(1)如图，当点D在线段BC上时；求证：CE=BD；(2)当点D在直线BC上时，直接写出线段BD、CD、EF之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)BD＋CD=2EF或BD-CD=2EF或CD-BD=2EF【分析】(1)先证明∠DAB=∠EAC，得到△DAB≌△EAC，根据全等三角形的