第十三章轴对称拔高专题（等腰三角形）（含答案）

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专题1利用“三线合一”作辅助线

1.如图，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=

AF,求证：

(1)DE=DF;

(2)DE⊥DF.

2.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上，且BD=CF,BE=CD,G是EF的中点.求证：DG⊥EF.

3.如图，在△ABC,AB=AC,CD⊥AB于点D,试探究∠BAC与∠BCD之间的数量关系，并说明理由。

4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BD于点D,且BC=2BD.若∠DAB=20°,求∠BAC的度数.

5.如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上，AD=AC,BE⊥CD交CD的延长线于

点E.

(1)求∠BCD的度数；

(2)求证：CD=2BE.

专题2角平分线模型

1.如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E,EF⊥AB于点F,EG⊥AC交AC的延长线于点G,

求证：(1)BF=CG

(2)AB+AC=2AF

2.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AC的延长线上的一点，连接BD,点E在线段DB上，且∠BAC=∠CED,连接AE,判断∠AEB与∠AEC的关系，并证明.

3.(1)如图1,在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6,BD=4,那么点D到AB的距离是______,

(2)如图2,已知∠1=∠2,∠3=∠4.求证：AP平分∠BAC.

4.如图，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,乘足为E.求证：BD=2CE,

5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,过点A作AF⊥BD于点F,在BD的延长线上取一点E,使∠ACE=∠FAD.求证：BD=2CE.

如图，OA为第一象限的角平分线，点E在y轴上，∠OEF=∠AOF,FE⊥OF交OA于点M.

求证：EM=2OF.

7.如图1,在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,点D是线段BC上一个动点，点F在线段AB上，且∠FDB=∠ACB.BE⊥DF,垂足E在DF的延长线上.

(1)如图2,当点D与点C重合时，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明你的结论；

(2)若点D不与点B,C重合，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明你的结论.

8.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。

(1)如图1,BD平分∠ABC交AC于点D,F为BC上一点，连接AF交BD于点E.若AF⊥BD,求证：AD=CF;

(2)如图2,BD平分∠ABC交AC于点D,CE⊥BD交BD的延长线于点E.探究线段CE和BD的数量关系，并说明理由；

∠EFC=∠B,CE⊥EF,

(3)如图3,F为BC上一点，,垂足为E,EF与AC相交于点D.探究线段CE和DF的数量关系，并说明理由.

9.如图，在四边形ABCD中，BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°.

10.如图，在△ABC中，∠A=2∠B,CD平分∠ACB,且AC=6,AD=2.求BC的长.

11.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,点E在线段CD上，且∠EAC=2∠EBC.求证：AE+AC=BC.

12.如图，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.

13.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，AD=CD=CB.

(1)求证：CD平分∠ACB;

(2)点E在AC上，EF⊥CD交BC于点F.求证：AE=DB+BF.

14.在四边形ABCD中，AE平分∠BAD,E为BC的中点，∠AED=a.

(1)如图1,当α=90°时，求证：AD=AB+CD;

(2)如图2,当α=120°,且DE平分∠ADC时，探究线段AB,BC,CD,AD之间的数量关系，并说明理由.

专题3等腰直角三角形与全等

例.在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°,E为直线BC上一点，EF⊥AE且EF=AE,连接CF.

(1)如图1,若点E在线段BC上，点F在直线BC的上方，求∠FCE的度数；

(2)如图2,若点E在CB的延长线上，点F在直线BC的下方，求∠FCE的度数；

(3)如图3,若点E在BC的延长线上，点F在直线BC的上方，完成作图，并求∠FCE的度数.

1.如图1,△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,过点C在△ABC外作直线MN,且AM⊥MN于点

M,BN⊥MN于点N.

(1)求证：MN=AM+BN;

(2)如图2,过点C在△ABC内作直线MN,且AM⊥MN于点M.BN⊥MN于点N.猜想AM,BN与MN之间的数量关系，并证明.

2.(1)如图1,△ABC为等腰直角三角形，AC=BC,AC⊥BC,点A(0,3),C(1,0),求点B的坐标；

(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形，AC=BC.AC⊥BC,点A(-1,0),C(1,3),求点B的坐标；

(3)如图3,△ABC为等腰直角三角形，AC=AB,AC⊥AB,点B(2,2),C(4,-2),求点A的坐标.

3.如图1,OA=2,OB=4,以点A为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC.

(1)求点C的坐标；

(2)如图2,OA=2,P为y轴的负半轴上一个动点，当点P在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以点P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD,过点D作DE⊥x轴于点E,求OP-DE的值；

(3)如图3,已知点F的坐标为(-2,-2),当点G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作等腰Rt△FGH,始终保持∠GFH=90°,FG与y轴的负半轴相交于点G(0,m),FH与x轴的正半轴相

交于点H(n,0).以下两个结论：①m-n为定值；②m+n为定值.其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值.

4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,D为BC上一点，过点D作DE⊥AD,且DE=AD,连接

BE,求∠DBE的度数.

5.我们知道，如果两个三角形全等，则它们的面积相等，而两个不全等的三角形，在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等.已知△ABC与△DEC都是等腰直角三角形，

∠ACB=∠DCE=90°,连接AD,BE.

(1)如图1,当∠BCE=90°时，求证：=;

(2)如图2,当0°AB+AC.理由如下：

如图，在BA的延长线上取一点E,使AE=AC,连接EP.

由AD是△BAC的外角平分线可知，∠CAP=∠EAP.

在△ACP与△AEP中，AC=AE,∠CAP=∠EAP,AP=AP,

∴△ACP≌△AEP(SAS).∴PC=PE.

∵在△BPE中，PB+PE>BE,又BE=AB+AE=AB+AC,∴PB+PE>AB+AC.∴PB+PC>AB+AC

4.证明：(1)∵AD=CD=CB,AB=AC,∴∠A=∠ACD,∠CDB=∠CBD=∠ACB.

设∠A=∠ACD=x,∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=2x,

∵∠A+∠ACB+∠ABC=5x=180°,∴x=36°.∴∠A=∠ACD=36°,∠CDB=∠CBD=∠ACB=72°.

∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=36°=∠ACD.∴CD平分∠ACB.

如图，在AE上截取ET=BF,连接DT.

∵EF⊥CD,CD平分∠ACB,∴∠CGE=∠CGF=90°,∠ECG=∠FCG.

在△CEG和△CFG中，∠CGE=∠CGF,CG=CF,∠ECG=∠FCG，

∴△CEG≌△CFG(ASA).∴CE=CF.∵ET=BF,∴CT=CB.

在△CTD和△CBD中，CT=CB,∠ECG=∠FCG,CD=CD,

∴△CTD≌△CBD(SAS).∴DT=DB,∠CTD=∠CBD=72°.

∴∠CTD=∠A+∠TDA=72°.∴∠TDA=36°.∴∠TDA=∠A.∴TA=TD=DB.

∴AE=AT+ET=DB+BF.∴AE=DB+BF.

5.解：(1)证明：如图1,在AD上截取AF=AB,连接EF.

∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠FAE.

在△ABE和△AFE中，AB=AF,∠BAE=∠FAE,AE=AE,

∴△ABE≌△AFE(SAS).∴∠AEB=∠AEF,BE=FE.

∵E为BC的中点，∴BE=CE.∴FE=CE.

∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°.∴∠DEF=∠DEC.

在△DEF和△DEC中，FE=CE,∠DEF=∠DEC,DE=DE,

∴△DEF≌△DEC(SAS).∴FD=CD.∵AD=AF+FD,∴AD=AB+CD.

(2)AD=AB+CD+BC.理由如下：

如图2,在AD上截取AG=AB,DH=DC,连接EG,EH,

∵E为BC的中点∴BE=CE=BC.

由(1),得△ABE≌△AGE,△DEH≌△DEC.

∴BE=GE,∠AEB=∠AEG,CE=HE,∠CED=∠HED.

∵BE=CE,∴GE=HE,∵∠AED=120°,∴∠AEB+∠CED=180°-120°=60°.

∴∠AEG+∠HED=60°∴∠GEH=60°.∴△EGH是等边三角形。

∴GH=GE=BE=BC.∵AD=AG+HD+GH,∴AD-AB+CD+BC.

专题3等腰直角三角形与全等

例：解:(1)如图1,过点F作FM⊥BC,交BC的延长线于点M.

∴∠B=∠M=90°,∵EF⊥AE,∴∠AEB+∠MEF=180°-90°=90°.

∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°。∴∠BAE=∠MEF.

在△ABE和△EMF中，∠BAE=∠MEF，∠B=∠M，AE=EF，

∴△ABE≌△EMF(AAS).∴RE=MF,AB=EM.

∵AB=BC,∴CM=EM-EC=AB-EC=BC-EC=BE.∴CM=MF.

∴△CMF是等腰直角三角形。∴∠FCM=45°.

∴∠FCE=180°-∠FCM=180°-45°=135°.

(2)如图2,过点F作FM⊥BC于点M.

∴∠ABC=∠ABE=∠EMF=90'.∵EF⊥AE,∴∠AEF=90°.∴∠AEB+∠MEF=90°.

∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°.∴∠BAE=∠MEF.

在△ABE和△EMF中，∠BAE=∠MEF，∠ABE=∠EMF，AE=EF,

∴△ABE≌△EMF(AAS).∴BE=MF,AH=EM,

∵AB=BC,∴CM=EC-EM=EC-AB=EC-BC-BE.∴CM=MF,

∴△CMF是等腰直角三角形。∴∠FCM=45°,即∠FCE=45°.

(3)如图3,过点F作FM⊥BC,交BC的延长线于点M,

∵EF⊥AE,∴∠AEB+∠MEF=180°-90°=90°.

∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°.∴∠BAE=∠MEF.

在△ABE和△EMF中，∠BAE=∠MEF，∠B=∠M，AE=EF,

∴△ABE≌△EMF(AAS).∴BE=MF,AB=EM.

∵AB=BC,∴CM=EM+EC=AB+EC=BC+EC=BE.∴CM=MF

∴△CMF是等腰直角三角形。∴∠FCM=45°,即∠FCE=45°。

解；(1)证明：∵AM⊥MN,BN⊥MN,∴∠AMC=∠CNB=90°.∴∠MAC+∠ACM=90°.

∵∠ACB=90°,∴∠NCB+∠ACM=90°.∴∠MAC=∠NCB.

∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC。

∴△AMC≌△CNB(AAS).∴AM=CN,MC=NB

∵MN=NC+MC,∴MN=-AM+BN.

(2)MN=BN-AM.

证明；∵AM」MN,BN⊥MN,∴∠AMC=∠CNB=90°.∴∠MAC+∠ACM=90°.

∵∠ACB=90°,∴∠NCB+∠ACM=90°.∴∠MAC=∠NCB.

∴△AMC≌△CNB(AAS).∴AM=CN,MC=NB,∵MN=CM-CN,∴MN=BN-AM

2.解：(1)如图1,过点B作BD⊥x轴于点D.∴∠BDO=90°.

∵∠ACB=∠AOC=90°,∴∠0AC+∠OCA=90°,∠OCA+∠DCB=90°.∴∠OAC=∠DCB.

∴△AOC≌△CDB(AAS).∴AO=CD.CO=BD.

∵A(0,3),C(1,0),∴AO=3,CO=1.

∴BD=1,0D=4.∴点B的坐标为(4,1)。

(2)如图2,过点C作CD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥CD于点E.

∴∠ADC=∠CEB=90°.∵∠ACB=∠ADC=90°,

∴∠DAC+∠DCA=90°,∠DCA+∠ECB=90°.∴∠DAC=∠ECB.

∴△ACD≌△CBE(AAS).∴AD=CE,CD=BE.

∵A(-1,0),C(1,3)∴AD=2,CD=3,0D=1.

∴CE=2.BE=3.∴DE=CD-CE=1.∴点B的坐标为(4,1).

(3)如图3,过点A作AD//y轴，过点B作BD⊥AD于点D,过点C作CE⊥AD于点E.

∴∠ADB=∠CEA=90°.∵∠ADB=∠BAC=90°,

∴∠DAB+∠DBA=90°,∠DAB+∠EAC=90°.∴∠DBA=∠EAC.

∴△ABD≌△CAE(AAS)。∴BD=AE,AD=CE.设A(x;y),

∵B(2,2),C(4,-2),∴2-x=y+2,2-y=4-x.

∴x=1,y=-1.∴点A的坐标为(1,-1).

3.解：(1)如图1,过点C作CM⊥x轴于点M.

∵CM⊥OA,AC⊥AB,∴∠CMA=∠CAB=∠AOB=90°.

∴∠MAC+∠OAB=90°,∠OAB+∠OBA=90°.∴∠MAC=∠OBA.

∴△MAC≌△OBA(AAS).∴AM=BO=4,CM=AO=2.

∴OM=0A+AM=2+4=6.∴点C的坐标为(-6,-2).

(2)如图2,过点D作DQ⊥OP于点Q.

∵DQLOP,DE⊥OE,∠POE=90°,∴DE//OP,OE//DQ,∠AOP=∠PQD.

∴OE=QD,DE=0Q.∴OP=PQ+0Q=DE+PQ.

∵∠APO+∠QPD=90°,∠APO+∠OAP=90°,∴∠QPD=∠OAP.

∴△AOP≌△PQD(AAS).∴OP=OA=2.∴OP-DE=PQ=2.

(3)结论②是正确的.

如图3,过点F分别作FS⊥x轴于点S,FT⊥y轴于点T.

∵F(-2,-2),∴FS=FT=2,∠FSH=∠FTG=∠SOT=90°.∴∠SFT=∠HFG=90°.

∴∠SFH=∠TFG.∴△FSH≌△FTG(ASA).∴HS=GT.

∵G(0,m),H(n,0),点F的坐标为(-2,-2)。

∴OT=OS=2.OG=|m|=-m.OH=n.∴GT=OG-0T=-m-2,HS=OH+OS=n+2.

∴-m-2=n+2.∴m+n=-4.

4.解：如图，作AM⊥BC于点M,作EN1BC于点N.∴∠AMD=∠END=90°.

∵AB=AC,