数字信号处理课件第3章 时域离散信号和系统的频域分析5-Z变换

第3章时域离散信号和滤波器的频谱分析频谱的定义，包括幅度频谱和相位频谱；非周期时域离散信号的傅里叶变换；非周期时域离散信号的傅里叶变换的性质；周期时域离散信号频谱；Z变换；时域离散系统的系统函数；利用Z变换分析信号和系统的频率响应特性；用几何方法研究极零点分布对系统频率响应的影响。本章主要内容为何要讨论Z变换？

为简化运算对序列建立的一种数学变换，能够简单有效地求解线性差分方程。Z变换的定义本节主要内容序列特性对收敛域的影响逆Z变换Z变换的性质和定理Z变换的定义本节主要内容序列特性对收敛域的影响逆Z变换Z变换的性质和定理1.Z变换的定义式中z是复变量，所在的复平面称为z平面。2.Z变换（ZT）的收敛域对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。

级数收敛的充要条件是满足绝对可和Z变换的定义本节主要内容序列特性对收敛域的影响逆Z变换Z变换的性质和定理1.有限长序列除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。有限长序列的Z变换X（Z）讨论：（1）如果n2≤0，则收敛域不包括∞点（2）如果n1≥0，则收敛域不包括0点（3）如果n1<0<n2，收敛域不包括0、∞点例：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域。X2.右边序列

因果序列的z变换必在∞处收敛；

在∞处收敛的z变换，其序列必为因果序列。例：求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域。3.左边序列例：求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。4.双边序列：XX收敛域的边界与极点有关。例：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域右边序列的z变换收敛域:在模最大的极点所在圆之外。左边序列的z变换收敛域:在模最小的极点所在圆之内。

给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。

X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：有限长序列的Z变换收敛域收敛域的边界与极点有关。【随堂练习】1.求下列序列的Z变换及其收敛域。（1）（2）（3）（4）（5）Z变换的定义本节主要内容序列特性对收敛域的影响逆Z变换Z变换的性质和定理2、Z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法1、Z反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)实质：求X(z)幂级数展开式。（1）围线积分法求解（留数法） 若函数F(Z)=X(z)zn-1在围数C上连续，在C内有K个极点zk，而在C外有M个极点zm，则有：求解步骤：找到X(Z)的收敛域，在收敛域内做一条围线C；令，分别求F(Z)在C内和C外的极点；代入留数公式求解x(n);若F(z)在c内有K个极点zk，则：

若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：单阶极点的留数：解：的极点：n+1=？解：分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上(2)【随堂练习】

1、求的Z反变换。（用留数法求解）Z变换的定义本节主要内容序列特性对收敛域的影响逆Z变换Z变换的性质和定理(2)部分分式展开法求解IZT：常见序列的ZT参见书p.59页的表2.5.1若函数X(z)是z的有理分式，可表示为：利用部分分式的z反变换和可以得到函数X(z)的z反变换。通过长除求解。假分式例2 设利用部分分式法求z反变换。例2 设利用部分分式法求z反变换。解：【随堂练习】1.已知，用部分分式法分别求：（1）收敛域为，对应的原序列；（2）收敛域为，对应的原序列。Z变换的定义本节主要内容序列特性对收敛域的影响逆Z变换Z变换的性质和定理1、线性ROC=R1∩R2ROC=RROC=|a|RROC=R2、序列的移位3、z域尺度变换（乘以指数序列）4、z域求导（序列线性加权）5、翻褶序列ROC=1/RROC=R6、共轭序列7、初值定理8、终值定理9、有限项累加特性10、时域卷积定理11、复卷积定理12、帕斯维尔定理9、有限项累加特性证明：

例：已知LTI系统的单位抽样响应为求系统输入为的响应。Z变换的定义本节主要内容序列特性对收敛域的影响逆Z变换Z变换的性质和定理(3)幂级数展开法求解（长除法）:一般X(z)是有理分式，可利用分子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到x(n)。

因果序列负幂级数降幂排列

左边序列正幂级数升幂排列根据收敛域判断x(n)的性质，展开成相应的z的幂级数x(n)分子分母按z的X(z)的展成z的例1

长除法示例解：由Roc1判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数，降幂排列。)1用长除法求Z反变换。Roc1：ROC2:解：由Roc2判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数，升幂排列。)1解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列