北师大版高中数学4-5第一章不等关系与基本不等式不等式的性质学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§1不等式的性质1．理解用两个实数差的符号来规定两个数大小的意义，掌握求差比较法和求商比较法．2．掌握不等式的性质，并能进行证明．3．会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法、反证法证明简单不等式．1．实数大小的比较（1)求差比较法．①a＞b⇔______;②______⇔a－b＜0;③a＝b⇔______．判断两个实数a与b的大小归结为判断它们的差a－b的符号,至于差究竟是多少则是无关紧要的．(2）求商比较法．当a＞0,b＞0时，①eq\f(a，b)＞1⇔______;②______⇔a＜b;③eq\f(a，b)＝1⇔______．答案：(1)①a－b＞0②a＜b③a－b＝0（2）①a＞b②eq\f（a，b)＜1③a＝b【做一做1－1】比较大小：x2＋3__________3x（其中x∈R）．【做一做1－2】比较1816与1618的大小．2．不等式的性质(1）性质1：如果a＞b，那么______；如果b＜a，那么______．(2）性质2：如果a＞b，b＞c,那么______．(3）性质3:如果a＞b，那么a＋c＞______．推论：如果a＞b,c＞d，那么a＋c＞______．(4)性质4：如果a＞b，c＞0,那么ac____bc；如果a＞b，c＜0，那么ac____bc．推论1:如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞____．推论2：如果a＞b＞0，那么a2____b2．推论3：如果a＞b＞0，那么an____bn(n为正整数)．推论4：如果a＞b＞0,那么____(n为正整数）．(1)引导学生掌握性质的证明方法,举反例是证明命题错误的主要方法，证明过程体现数学的严谨性．（2)特别注意性质4使用的前提，不等号方向取决于c的符号．【做一做2－1】判断下列命题的真假，并说明理由．（1）如果a＞b，那么a－c＞b－c．（2）如果a＞b，那么eq\f（a，c)＞eq\f(b,c）．【做一做2－2】若a＞b＞c,则下列不等式成立的是（)．A．eq\f(1,a－c)＞eq\f(1,b－c）B．eq\f(1,a－c）＜eq\f(1，b－c)C．ac＞bcD．ac＜bc答案：1．(1）①a－b＞0②a＜b③a－b＝0(2）①a＞b②eq\f（a，b）＜1③a＝b【做一做1－1】＞（x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)）)2＋3－eq\f(9,4)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f（3,2)))2＋eq\f(3，4）≥eq\f(3,4)＞0，即x2＋3＞3x．【做一做1－2】分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用求商的方法．解：eq\f(1816,1618)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(18，16)））16·eq\f（1，162）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（9，8）))16·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，\r（2）))）16＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(9,8\r(2）))）16，∵eq\f（9,8\r（2)）∈(0，1），∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(9，8\r(2））)）16＜1．∵1816＞0,1618＞0，∴1816＜1618．2．（1)b＜aa＞b（2）a＞c(3)b＋cb＋d（4)＞＜bd＞＞＞【做一做2－1】分析：从不等式的性质找依据，与性质相符的为真，与性质不相符的为假．解：(1）真命题．理由：根据不等式的性质3,由a＞b，可得a＋（－c）＞b＋（－c),即a－c＞b－c．(2)假命题．理由：由不等式的性质4可知,如果a＞b，c＜0，则eq\f（a，c）＜eq\f（b，c),即不等式的两边同乘以一个数时，必须明确这个数的正负．【做一做2－2】B∵a－c＞b－c＞0，∴eq\f(1,a－c）＜eq\f(1,b－c)．1．比较两个实数的大小剖析：比较两个实数a，b的大小，可以转化为a，b的差与0的大小比较，这种比较大小的方法称为求差比较法．它的主要步骤是：(1）作差；(2）变形（分解因式,配方等）；(3)判断差的符号；（4）下结论．其中最关键的是第(2）步，变形要有利于判断差的符号才行．比较两个实数a，b的大小，也可以转化为a与b的商与1的大小比较，这种比较大小的方法称为求商比较法．它的主要步骤是:（1)作商；(2）变形；（3）判断商与1的大小关系；（4)下结论．其中最关键的是第(3）步，在第(4）步中要注意不等号的方向，不等号的方向受分母的符号的影响．2．不等式和等式的基本性质的区别与联系剖析:区别:在等式的两边同乘以或除以同一个数(除数不为0)时，所得结果仍是等式;在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况：若这个数为正数，则不等号方向不变，若这个数为负数，则不等号方向改变．联系：不等式的基本性质和等式的基本性质,对等式(或不等式）两边形式的变化相同,讨论的都是两边同时加上或减去，同时乘以或除以（除数不为0）同一个数时的情况．题型一利用作差法比较大小【例1】比较（a＋3)(a－5）与（a＋2)(a－4)的大小．分析：此题为两个代数式比较大小,可先作差，然后展开，合并同类项后，判断差值的正负．反思：利用作差法比较大小，实际上是把比较两数大小的问题转化为数的运算符号问题．作差时，只需看差的符号,至于差的值究竟是多少,这里无关紧要．如本题,只需看差－7的正负即可．题型二利用作商法比较大小【例2】已知a＞b＞c＞0，比较a2ab2bc2c与ab＋cbc＋aca＋b分析:用求差比较法不易变形,所以用求商比较法．反思：用求商比较法比较两个式子的大小时，第（2）步的变形要向着有利于判断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步．题型三利用不等式的性质证明不等式【例3】已知a＞b＞c＞d＞0，且eq\f（a，b）＝eq\f(c,d）,求证:a＋d＞b＋c．分析:利用不等式的性质，将已知等式进行适当变形，注意符号的变化．反思：在证明不等式时,往往不等式的性质和比例式的性质联合使用，使式子间转换更迅速．如本题，不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息．因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例性质的应用技巧．题型四易错辨析【例4】已知函数f(x）＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2）≤5,求f（3）的取值范围．错解：依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4≤a－c≤－1，,－1≤4a－c≤5，)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（1,2））由(1)，(2)利用不等式的性质进行加减消元,得0≤a≤3,1≤c≤7,(3）∴由f(3)＝9a－c，可得－7≤f错因分析：由（1)(2)得到不等式(3）是利用了不等式的性质中的加法法则，而此性质是单向的，不具有可逆性,从而使得a，c的范围扩大，这样f（3)的范围也随之扩大了．反思：解本题时,利用f(1),f（2）设法表示a,c，然后再代入f(3)的表达式中，从而用f(1）和f(2)来表示f(3)，最后运用已知条件确定f(3)的取值范围．答案:【例1】解：由题意，作差得(a＋3)（a－5）－（a＋2)(a－4）＝(a2－2a－15）－(a2－2＝－7＜0，所以(a＋3)(a－5)＜（a＋2）（a－4)．【例2】解：由a＞b＞c＞0，得a2ab2bc2c＞0，ab＋cbc＋aca＋b所以eq\f(a2ab2bc2c，ab＋cbc＋aca＋b）＝eq\f(aaaabbbbcccc，abacbcbacacb）＝aa－b·aa－c·bb－c·bb－a·cc－a·cc－b＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（a,b）))a－b·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a,c））)a－c·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（b,c)）)b－c．∵a＞b＞0，∴eq\f（a,b)＞1,a－b＞0，即eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（a,b)))a－b＞1．同理eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(b,c）））b－c＞1，eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（a，c）)）a－c＞1．∴eq\f(a2ab2bc2c,ab＋cbc＋aca＋b）＞1，即a2ab2bc2c＞ab＋cbc＋aca＋b【例3】证明：∵eq\f（a，b)＝eq\f（c,d），∴eq\f(a－b，b)＝eq\f（c－d,d)．∴(a－b)d＝（c－d）b．又∵a＞b＞c＞d＞0，∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0且eq\f（b,d）＞1，∴eq\f(a－b，c－d）＝eq\f(b，d)＞1，∴a－b＞c－d,即a＋d＞b＋c．【例4】正解:由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c＝f1，，4a－c＝f2,)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f（1，3）[f2－f1］，,c＝\f(1,3)f2－\f（4,3）f1.））∴f（3)＝9a－c＝eq\f（8,3)f(2)－eq\f（5，3）f(1）．∵－4≤f(1）≤－1，∴eq\f（5，3)≤eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(5,3)））f（1）≤eq\f（20，3）．(1)又－1≤f(2）≤5，故－eq\f(8，3）≤eq\f（8，3)f（2）≤eq\f（40，3）．(2）把(1）,（2)两边分别相加，得－1≤eq\f（8，3）f（2）－eq\f(5，3）f（1）≤20，∴－1≤f（3)≤20．1对于实数a，b，c,有下列命题：①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b;③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，则eq\f（a,c－a）＞eq\f（b，c－b）；⑤若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f（1，b），则a＞0,b＜0．其中真命题的个数是(）．A．2B．32若a＜0，－1＜b＜0，则有()．A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞aC．ab＞a＞ab2D．ab＞ab2＞a3设a＞1,－1＜b＜0，则a，b，－a，－b，－ab按由大到小的顺序排列是__________．4若x∈R,则x2－x与x－2的大小关系是__________．答案：1．C①∵c的正、负或是否为零未知，∴无法判断ac与bc的大小，故该命题是假命题．②由ac2＞bc2，知c≠0．又c2＞0，∴a＞b．故该命题是真命题．③eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(a〈b<0，a〈0))⇒a2＞ab,eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（a〈b，b〈0）)⇒ab＞b2,∴a2＞ab＞b2．故该命题为真命题．④a＞b＞0⇒－a＜－b⇒c－a＜c－b．∵c＞a，∴c－a＞0，∴0＜c－a＜c－b．两边同乘以eq\f（1,c－ac－b)，得eq\f(1,c－a)＞eq\f(1,c－b）＞0．又a＞b＞0,∴eq\f（a,c－a）＞eq\f(b，c－b)．故该命题为真命题．⑤a＞b⇒a－b＞0，eq\f(1，a）＞eq\f(1,b)⇒eq\f(1,a）－eq\f（1,b）＞0⇒eq\f（b－a，ab)＞0．∵a－b＞0,∴b－a＜0，∴ab＜0．又a＞b，∴a＞0，b＜0，故该命题为真命题．综上可知,命题②③④⑤都是真命题．2．D∵a＜0，－1＜b＜0，∴ab＞0，b－1＜0，1－b＞0,0＜b2