概率论与数理统计 林文浩 其次章习题

本文格式为Word版，下载可任意编辑——概率论与数理统计林文浩其次章习题习题二一维随机变量及其分布

A组

一、填空题

5．三个大小一致的小球随机投入三个盒子中，设每个盒子至多可装三个球，则空盒子的数目X的分布律为。

解此系古典概型问题。X的所有可能的取值为0，1，2，据古典概型有

111m0C3C2C16P(X?0)???，

n3327111C3C218m1C3P(X?1)???，3n327111C3C3m2C33P(X?2)???。

n3327（说明：每个球都有机遇盒子投入三个盒子中的任何一个内，且机遇是均等的，于是三个球

3投入三个盒子内的各种情形共有n?3种。当X?0，即不出现空盒子时，可视第一个球可

投入三个盒子中的任何一个内，其次个球可投入另外两个盒子中的任何一个内，而第三个球

111只能投入剩下的最终一个盒子内，故含X?0的情形只有m0?C3C2C1种。类似的，可得111111m1?C3C3C2，m2?C3C1C1）

B组

1．现有7件产品，其中一等品4件，二等品3件。从中任取3件，求3件中所含一等品数的概率分布。

解设所取3件产品中所含一等品数为X，则X可能的取值为0，1，2，3由古典概型知

312C3C4C112P{X?0}?3?，P{X?1}?33?，

C735C735213C4C318C44P{X?2}?3?，P{X?1}?3?

C735C7351

所以X的概率分布为

X012P3135123518354352．一个口袋中有六个球，在这六个球上分别标有?3,?3,1,1,1,2的数字，从这口袋中任取一个球，求取得的球上标明的数字X的分布列和分布函数。

解由古典概型知

P{X??3}?21311?，P{X?1}??，P{X?2}?636262所以X的分布列为

X-31P16?0,x?0?3．随机变量X的分布函数为F(x)??Ax,0?x?1,求：（1）系数A；（2）X的概

?1,x?1?率密度f(x)；（3）P{0?X?0.25}。

解X为连续型随机变量，其分布函数为连续函数，故有

1312A?F(1?0)?F(1)?1

于是当x?0时，f(x)?F?(x)?0；

当x?0时，f?(0)?lim?x?0F(x)?F(0)0?0?lim?0，?x?0xxf?(0)?lim?x?0F(x)?F(0)?limx?0?x12xx?0???；x；

当0?x?1时，f(x)?F?(x)?(x)??当x?1时，f?(1)?lim?x?1F(x)?F(1)x?1?lim?0x?1?xxF(x)?F(1)1?1?lim?0x?0?xx2

f?(1)?lim?x?1故f(1)?0；

当x?1时，f(x)?F?(x)?(1)??0。

?1,0?x?1?所以所求概率密度为f(x)??2x

?0,其它?而P{0?X?0.25}?F(0.25)?F(0)?0.25?0?0.5

4．连续地掷一颗骰子，直到出现最大点数6为止，用X表示掷骰子的次数，求X的概率分布，并求P{X?3}。

解设A?{掷一次骰子出现点数6}，则P(A)?1，于是X为几何分布即61X~G(P)?G()，其分布为

615P{X?k}?(1?p)k?1p?()k?1,k?1,2,?

66而

P{X?3}?1?P{X?3}?1?P{X?1}?P{X?2}

11525?1????

666365．某射手有5发子弹，射一次，命中率为0.9，若命中就中止射击，若未命中就一直射到子弹用完，求耗用子弹数X的分布列。

解由题设X的所有可能取值为1，2，3，4，5，而由条件概率可得

P{X?k}?0.9(1?0.9)k?1,k?1,2,3,4

即

P{X?1}?0.9，P{X?2}?0.09，

P{X?3}?0.009，P{X?4}?0.000而由全概率公式得

P{X?5}?0.9(1?0.9)4?(1?0.9)5?0.0001

所以X的分布列为X120.093450.00013

P

0.90.0090.00096．在一致条件下相互独立进行5次射击，每次射击击中目标的概率为0.7，求击中目标的次数X的分布律及分布函数。

解X~B(5,0.7)，由二项分布概率公式可得

kk5?kpk?P{X?k}?P,5(k)?C50.7(1?0.7)k?0,1,2,3,4,5

故X的分布律为

p0?0.00243，p1?0.02835，p2?0.1323p3?0.3087，p4?0.36015，p5?0.16807而根据F(x)?可得X的分布函数为

?P{X?k}

k?x0,x?0.??0.00243,0?x?1,??0.03078,1?x?2,?F(x)??0.16308,2?x?3,

?0.47178,3?x?4,??0.83193,4?x?5,?1,x?5.?7．设一个盒子中有5个纪念章，编号为1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3个，以X表示取出的3个纪念章上的最大号码，（1）求X的分布列；（2）求P{X?5}。

解由题设X的所有可能取值为3，4，5，而由古典概型可得

22C323C2C416P{X?3}?3?，P{X?4}?3?，P{X?5}?3?

C510C510C510所以X的分布列为

X345P且

110310610P{X?5}?P{X?3}?P{X?4}?

132??101054

8．袋中有四个红球，两个白球，今从中逐个取球，共取5次，在以下两种状况下求取得红球数X的分布列：（1）每次取出的球，观其顔色后又放回袋中；（2）每次取出的球不放回袋中。

解（1）X~B(5,)，由二项分布概率公式可得pk?P{X?k}?P5(k)?C5()(1?)故X的分布律为

k2323k235?k,k?0,1,2,3,4,5

11040808032，p1?，p2?，p3?，p4?，p5?243243243243243243（2）从六个球中不放回地逐个取球5次，最终袋中剩下或红或白一球，因此X的所有可能取值为3，4。由古典概型按组合算法可得X的分布律为

p0?3241C4C22C4C21P{X?3}?，?P{X?4}??55C63C63若按排列算法，则有

3241C4C2P52C4C2P51，P{X?3}??P{X?4}??55A63A639．从一批含有7件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取产品，设每次抽取时，所

面对的各件产品被抽到的可能性相等。在以下三种状况下分别求出直到取得正品时抽取产品数X的分布列：

（1）每次取出产品检定后又放回，再取下一件产品；（2）每次取出产品后不放回；

（3）每次取出一件产品后，总以一件正品放回这批产品中。

7)，其分布为1073P{X?k}?p(1?p)k?1?()k?1,k?1,2,?

1010（2）由题设X的所有可能取值为1，2，3，4，而由条件概率可得X的分布列为

7377?P{X?1}?，P{X?2}?，

1010930327732171P{X?3}????，P{X?4}

109812023987120（3）由题设X的所有