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本文格式为Word版,下载可任意编辑——概率论与数理统计林文浩其次章习题习题二一维随机变量及其分布

A组

一、填空题

5.三个大小一致的小球随机投入三个盒子中,设每个盒子至多可装三个球,则空盒子的数目X的分布律为。

解此系古典概型问题。X的所有可能的取值为0,1,2,据古典概型有

111m0C3C2C16P(X?0)???,

n3327111C3C218m1C3P(X?1)???,3n327111C3C3m2C33P(X?2)???。

n3327(说明:每个球都有机遇盒子投入三个盒子中的任何一个内,且机遇是均等的,于是三个球

3投入三个盒子内的各种情形共有n?3种。当X?0,即不出现空盒子时,可视第一个球可

投入三个盒子中的任何一个内,其次个球可投入另外两个盒子中的任何一个内,而第三个球

111只能投入剩下的最终一个盒子内,故含X?0的情形只有m0?C3C2C1种。类似的,可得111111m1?C3C3C2,m2?C3C1C1)

B组

1.现有7件产品,其中一等品4件,二等品3件。从中任取3件,求3件中所含一等品数的概率分布。

解设所取3件产品中所含一等品数为X,则X可能的取值为0,1,2,3由古典概型知

312C3C4C112P{X?0}?3?,P{X?1}?33?,

C735C735213C4C318C44P{X?2}?3?,P{X?1}?3?

C735C7351

所以X的概率分布为

X012P3135123518354352.一个口袋中有六个球,在这六个球上分别标有?3,?3,1,1,1,2的数字,从这口袋中任取一个球,求取得的球上标明的数字X的分布列和分布函数。

解由古典概型知

P{X??3}?21311?,P{X?1}??,P{X?2}?636262所以X的分布列为

X-31P16?0,x?0?3.随机变量X的分布函数为F(x)??Ax,0?x?1,求:(1)系数A;(2)X的概

?1,x?1?率密度f(x);(3)P{0?X?0.25}。

解X为连续型随机变量,其分布函数为连续函数,故有

1312A?F(1?0)?F(1)?1

于是当x?0时,f(x)?F?(x)?0;

当x?0时,f?(0)?lim?x?0F(x)?F(0)0?0?lim?0,?x?0xxf?(0)?lim?x?0F(x)?F(0)?limx?0?x12xx?0???;x;

当0?x?1时,f(x)?F?(x)?(x)??当x?1时,f?(1)?lim?x?1F(x)?F(1)x?1?lim?0x?1?xxF(x)?F(1)1?1?lim?0x?0?xx2

f?(1)?lim?x?1故f(1)?0;

当x?1时,f(x)?F?(x)?(1)??0。

?1,0?x?1?所以所求概率密度为f(x)??2x

?0,其它?而P{0?X?0.25}?F(0.25)?F(0)?0.25?0?0.5

4.连续地掷一颗骰子,直到出现最大点数6为止,用X表示掷骰子的次数,求X的概率分布,并求P{X?3}。

解设A?{掷一次骰子出现点数6},则P(A)?1,于是X为几何分布即61X~G(P)?G(),其分布为

615P{X?k}?(1?p)k?1p?()k?1,k?1,2,?

66而

P{X?3}?1?P{X?3}?1?P{X?1}?P{X?2}

11525?1????

666365.某射手有5发子弹,射一次,命中率为0.9,若命中就中止射击,若未命中就一直射到子弹用完,求耗用子弹数X的分布列。

解由题设X的所有可能取值为1,2,3,4,5,而由条件概率可得

P{X?k}?0.9(1?0.9)k?1,k?1,2,3,4

P{X?1}?0.9,P{X?2}?0.09,

P{X?3}?0.009,P{X?4}?0.000而由全概率公式得

P{X?5}?0.9(1?0.9)4?(1?0.9)5?0.0001

所以X的分布列为X120.093450.00013

P

0.90.0090.00096.在一致条件下相互独立进行5次射击,每次射击击中目标的概率为0.7,求击中目标的次数X的分布律及分布函数。

解X~B(5,0.7),由二项分布概率公式可得

kk5?kpk?P{X?k}?P,5(k)?C50.7(1?0.7)k?0,1,2,3,4,5

故X的分布律为

p0?0.00243,p1?0.02835,p2?0.1323p3?0.3087,p4?0.36015,p5?0.16807而根据F(x)?可得X的分布函数为

?P{X?k}

k?x0,x?0.??0.00243,0?x?1,??0.03078,1?x?2,?F(x)??0.16308,2?x?3,

?0.47178,3?x?4,??0.83193,4?x?5,?1,x?5.?7.设一个盒子中有5个纪念章,编号为1,2,3,4,5,在其中等可能地任取3个,以X表示取出的3个纪念章上的最大号码,(1)求X的分布列;(2)求P{X?5}。

解由题设X的所有可能取值为3,4,5,而由古典概型可得

22C323C2C416P{X?3}?3?,P{X?4}?3?,P{X?5}?3?

C510C510C510所以X的分布列为

X345P且

110310610P{X?5}?P{X?3}?P{X?4}?

132??101054

8.袋中有四个红球,两个白球,今从中逐个取球,共取5次,在以下两种状况下求取得红球数X的分布列:(1)每次取出的球,观其顔色后又放回袋中;(2)每次取出的球不放回袋中。

解(1)X~B(5,),由二项分布概率公式可得pk?P{X?k}?P5(k)?C5()(1?)故X的分布律为

k2323k235?k,k?0,1,2,3,4,5

11040808032,p1?,p2?,p3?,p4?,p5?243243243243243243(2)从六个球中不放回地逐个取球5次,最终袋中剩下或红或白一球,因此X的所有可能取值为3,4。由古典概型按组合算法可得X的分布律为

p0?3241C4C22C4C21P{X?3}?,?P{X?4}??55C63C63若按排列算法,则有

3241C4C2P52C4C2P51,P{X?3}??P{X?4}??55A63A639.从一批含有7件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取产品,设每次抽取时,所

面对的各件产品被抽到的可能性相等。在以下三种状况下分别求出直到取得正品时抽取产品数X的分布列:

(1)每次取出产品检定后又放回,再取下一件产品;(2)每次取出产品后不放回;

(3)每次取出一件产品后,总以一件正品放回这批产品中。

7),其分布为1073P{X?k}?p(1?p)k?1?()k?1,k?1,2,?

1010(2)由题设X的所有可能取值为1,2,3,4,而由条件概率可得X的分布列为

7377?P{X?1}?,P{X?2}?,

1010930327732171P{X?3}????,P{X?4}

109812023987120(3)由题设X的所有

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