单调性与最大（小）值教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版必修1

一、课题1.3.1单调性与最大（小）值二、教学目标1、知识与技能目标（1）理解函数单调性以及单调区间的定义,掌握用定义法证明函数的单调性,掌握求最大、小值的方法．（2）启发学生发现与提出问题,培养学生分析问题,解决问题的能力．（3）通过观察-猜想-推理-证明的重要思想,培养学生推理论证能力．2、过程与方法目标（1）在学习函数单调性的过程中,培养学生运用数形结合的数学方法．（2）在探索函数单调性证明的过程中,提高学生推理论证的能力．3、情感态度与价值观目标通过一系列的数学活动,培养学生归纳总结能力,类比推理,数形结合的能力．三、教学重点1、函数单调性及单调区间的定义；2、用定义法证明函数单调性；3、利用函数单调性求函数的最大(小)值．四、教学难点1、用定义法证明函数的单调性；2、利用函数的单调性求最大(小)值．五、教辅手段PPT六、教学过程1、情景设置北京的天气到8月中旬,平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降,比较适宜举办大型国际体育赛事.下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图,(1)观察这个气温变化图,说出气温在这一天内的变化情况.(2)怎样用数学语言来刻画在这一天内“随着时间的增大,气温逐渐升高或下降”这一特征?新知探究1:函数的单调性和判定方法问题1:大家一起来观察函数图像中值与值的变化过程,与之间有什么样的联系呢?总结:这种随值的增大,的值也越来越大的函数,称为增函数,类似地,观察函数的图像,这种随值的增大,的值越来越小的函数,称为减函数,实施方案:通过一个生活背景的实例与函数图像的直观观察,得到了增减函数的生活语言的描述性定义,引导学生对函数单调性的概念进行了第一次归纳—由实际背景转化为文字语言的叙述.问题2:那么,函数究竟是增函数还是减函数呢?预设1:是增函数预设2:是减函数预设3:有时增有时减,要分情况考虑.问题3:好的,有同学说要分情况考虑,那么,大家仔细看看函数的图像,哪种情况下增,哪种情况下减呢?预设:在区间上为减函数,在区间上为增函数.总结:由上面的讨论可知:函数的单调性与自变量的取值范围有关,一个函数并不一定在整个定义域内是单调函数,但在定义域内的某个区间上可以是单调函数.于是我们这样那个下定义:如果函数在某个区间上满足:随着值的增大,的值也越来越大,我们说函数在这个区间上为增函数,且该区间称为函数的单调增区间,如果函数在某个区间上满足:随着值的增大,的值越来越小,我们说函数在这个区间上为减函数,且该区间称为函数的单调减区间.实施方案:通过分情况讨论,使学生意识到函数的单调性与其定义域密切相关,让学生在说明函数单调性时,要说清楚在什么范围内,这一阶段是对函数的单调性进行了第二次归纳—由一般的文字语言转化为数学文字语言.问题4:刚才我们通过观察图像,得出了函数在区间上为增函数,那么,我们如何用代数方法证明这个结论呢?预设1:因为,而,所以函数在区间上为增函数.预设2:不对,仅仅两个数的大小关系,不能说明函数在区间上为增函数.应该举出无数个.预设3:这还是不对吧!比如函数在区间上也能取下无数个数,满足随着值的增大,的值也越来越大,那这样的话在区间上为增函数,但是这与图像矛盾啊！所以无数个不能代表所有,就比如2,3,4,5,…由无数个自然数比大,但并不是所有的自然数都比大.大家想想看,我们国家召开全国人民代表大会的时候,并不是所有的人民都去参加对不对？我们是通过人民代表参加的,所以，针对这个问题,我们是不是也可以在区间上选取两个代表呢?问题5:那该怎么选代表呢?选1和2可以吗?预设1:不行,因为1和2仅仅代表他们自己,不能代表所有的数,应该用字母来代替具体数字,比如在区间上任取两个任意实数,当时,证明即可.所以总结:刚才的证明,关键是选取了代表了区间上的所有实数.所以,我们再次给增函数和减函数的定义:对于函数,如果对其定义域内的某个区间上的任意两个自变量,当时,有,我们就说这个函数在区间上为增函数,当时,有,我们就说这个函数在区间上为减函数,实施方案:这一阶段是学生概念形成的关键过程,通过任意选取的自变量来判断的大小关系,实际上,这是对函数单调性概念的第三次归纳—由数学文字语言转化为数学符号语言.问题6:我们来比较一下增函数与减函数定义中,两个不等式中不等号的方向,你有什么发现吗?(1)如果将增函数中的＂当时，都有＂改为＂当时，都有＂，是否结论相同．如果改为＂当时，都有＂，是否结论相同．如果改为＂当时，都有＂，是否结论相同．将减函数也这样修改,结论是否相同.发现：如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量和，若，则函数是增函数；若，则函数是减函数．这一阶段引导学生对函数单调性的概念进行了剖析,深入定义的表达形式,实际上,这是对函数单调性概念的第四次归纳—由数学符号叙述抽象到了形式化.即使巩固问题7:判断下列命题的真假：（1）定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数．（2）定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数．问题8:用定义判定下列函数的单调性通过真假命题的判定以及该问题,从而建立起学生对函数单调性概念的正确理解.问题9：物理学中波义耳定律（为正整数）,告诉我们,对于一定量的气体,当它的体积减小时,压强将增大,使用函数的单调性证明之.通过问题7,我们得出证明函数在给定区间上D的单调性的一般步骤:任取点，且;作差;判断的符号;给出结论,在区间上是增函数还是减函数.2、新知探究2:函数的最大（小）值观察的图象,可以发现该图象上有一个最低点,即对于任意的,有,当一个函数有最低点时,我们就说该函数有最小值,如果没有最低点,则说这个函数没有最小值.所以我们给出给出函数最大、小值的定义一般地,设函数的定义域为设存在实数满足:（1）对于任意的,都有;（2）存在,使得.则称为函数的最大值.（仿照最大值的定义,给出函数的最小值的定义）注意：a、函数的最大（小）值是一个函数值b、成为函数的最大（小）值点.即时巩固问题10：如下图所示：已知函数,求函数的最大值和最小值.4、归纳提升i）用定义法证明函数单调性：１、任取点，且;２、作差;３、判断的符号;４、给出结论,在区间上是增函数还是减函数.ii）求解最大（小）值的方法利用二次函数的性质（配方法）利用函数图象利用函数的单调性判断函数的最大（小）值,若函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则该函数在区间上有最大值,若函数在区间上单调递减,在上单调递增,则该函数在区间上有最小值.课后延续回顾本节课的学习内容，整理完善课堂学习笔记.书面作业习题1.3A组第4、5题4、证明函数f(x)=-2x+1在R上是减函数5、设f(x)是定义在区间[-6,11]上的函数，如果f(x)在区间[-6,-2]上递减，在区间[-2,11]上递增，画出f(x)的一个大致图象，从图象上可以发现f(-2)是函数f(x)的一个＿.3、思考题思考题:1、用定义法判断函数的单调性.２、证明2在区间上为减函数.３、