专题30-锐角三角函数和解直角三角形

教学内容一、【中考要求】1.认识锐角三角函数，知道30°，45°，60°角的三角函数值；2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值或由已知三角函数值求对应的锐角；3.能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。二、【三年中考】1．如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B＝40°，则直角边BC的长是()A．msin40°B．mcos40°C．mtan40°D.eq\f(m,tan40°)解析：在Rt△ABC中，cosB＝eq\f(BC,AB)，∴BC＝AB·cosB＝mcos40°.答案：B2．如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)解析：tanθ＝eq\f(h,\r(l2－h2))＝eq\f(6,\r(102－62))＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4).答案：A3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是()A．sinA＝eq\f(\r(3),2)B．tanA＝eq\f(1,2)C．cosB＝eq\f(\r(3),2)D．tanB＝eq\r(3)解析：在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(3)，利用三角函数定义D选项是正确的．答案：D4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝eq\f(3,4)，则AC的长是________．解析：在Rt△ABC中，cosA＝eq\f(AC,AB)，∴AC＝ABcosA＝8×eq\f(3,4)＝6.答案：65．如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是________米．(精确到0.1米)解析：如图，过A作∠BAD＝∠B＝15°，则BD＝AD，∠ADC＝30°.在Rt△ADC中，由∠ADC＝30°得，AD＝2AC＝6，DC＝eq\r(3)AC＝3eq\r(3)，所以BC＝BD＋DC＝6＋3eq\r(3)≈11.2(米)．答案：11.26．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是________米．(结果保留3个有效数字，eq\r(3)≈1.732)解析：由题意可得AB＝BC·tan30°＝24×eq\f(\r(3),3)≈13.9.答案：13.97．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB＝4米，斜面距离BC＝4.25米，斜坡总长DE＝85米．eq\a\vs4\al(1求坡角∠D的度数结果精确到1°；,2若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？)eq\x(\a\al(参考数据,cos20°≈0.94，,sin20°≈0.34，,sin18°≈0.31，,cos18°≈0.95))解：(1)cos∠D＝cos∠ABC＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(4,4.25)≈0.94，∴∠D≈20°.(2)EF＝DEsin∠D＝85sin20°≈85×0.34＝28.9(米)，共需台阶28.9×100÷17＝170(级)．三、【考点知识梳理】（一）锐角三角函数定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b)，或者根据sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)，cosA＝eq\f(∠A的邻边,斜边)，tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边).（二）特殊角的三角函数值温馨提示：对于特殊角30°，45°，60°的正弦、余弦、正切值，可结合以上图表及定义记忆。30°，45°，60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1、、，随着角度的增大，正弦值逐渐增大；30°，45°，60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为、、1，余弦值随角度的增大而减小。（三）用计算器求一个锐角的三角函数值或由三角,函数值求锐角1．求已知锐角的三角函数值方法：将角度单位状态设定为“度”(屏幕显示eq\x(D))，按所求函数的书写顺序去按键．2．由锐角三角函数值求锐角在屏幕显示eq\x(D)状态下，按“shift”键再按相应函数及数值．（四）解直角三角形1．解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素即3条边和2个锐角，已知一个锐角和一条边长即可求出其他元素)2．直角三角形的边角关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b)，sinB＝eq\f(b,c)，cosB＝eq\f(a,c)，tanB＝eq\f(b,a).（五）解直角三角形的应用中的相关概念1．仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下方的叫俯角．2．坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα＝eq\f(h,l)，坡面与水平面的夹角α叫坡角．3．方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，OA是表示北偏东60°方向的一条射线．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．（六）直角三角形的边角关系的应用日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，直角三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图．(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度、方位角等．(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决．(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．四、【中考典例精析】类型一锐角三角函数(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为()A．7sin35°B.eq\f(7,cos35°)C．7cos35°D．7tan35°(2)计算：eq\r(12)＋2sin60°＝________.【点拨】熟练掌握锐角三角函数的定义及特殊角三角函数值是正确解题的关键．【答案】(1)C用数形结合法或定义法，已知一个角及斜边求邻边时用这个角的余弦值．(2)3eq\r(3)原式＝2eq\r(3)＋2×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)＋eq\r(3)＝3eq\r(3).类型二解直角三角形如图，在△ABC中，∠B＝45°，cos∠C＝eq\f(3,5)，AC＝5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是________．【点拨】解直角三角形的关键在于灵活地选择正确的关系式，选择的标准是关系式中既包括已知量又包括未知量．【解答】过A作AD⊥BC于点D.在Rt△ADC中，cos∠C＝eq\f(CD,AC)∵eq\f(3,5)＝eq\f(CD,5a)，∴CD＝3a.AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(5a2－3a2)＝4a.在Rt△ABD中，∠B＝45°.∴AD＝BD＝4a，∴BC＝7a.∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×7a×4a＝14a2.方法总结：在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某一个三角函数；（2）若求角：一般用已知边比已知边，去寻找已知角的某一个三角函数；（3）求某些未知量的途径往往不唯一。选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选择可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免除法计算。类型三解直角三角形的应用如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向上，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M处位于C的北偏西60°方向上，请你在主输气管道上寻找支管道连结点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长．【点拨】把实际问题转化为数学问题，注意两个转化：一是把实际问题的图形转化为数学图形，画出正确的平面或截面示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边角关系．如果所转化的示意图不是直角三角形，可以添加辅助线构造直角三角形．【解答】过点M作MN⊥AC，此时MN最短，点N即为所求的支管道连结点．由题意，在Rt△MAN中，∠MAN＝60°－30°＝30°，则MN＝AN·tan30°＝eq\f(\r(3),3)AN.在Rt△MNC中，∠MCN＝60°，则MN＝NC·tan60°＝eq\r(3)NC＝eq\r(3)(2000－AN)．∴eq\f(\r(3),3)AN＝eq\r(3)(2000－AN)，∴AN＝1500(米)．方法总结：运用直角三角形的边角关系解决问题时，为使计算简便、结果准确，应遵循两条原则：一是尽量使用题目中给出的原始数据；二是尽量避免除法运算。在解决实际问题时，首先弄清题意，正确画出示意图，由此将实际问题转化为直角三角形问题，进而运用三角形的知识加以解决。五、【易错题探究】在一个阳光明媚、清风徐徐的周末，小明和小强一起到郊外放风筝．他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图)．现已知风筝A的引线(线段AC)长20m，风筝B的引线(线段BC)长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.(1)试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？(2)求风筝A与风筝B的水平距离．(结果精确到0.01m；参考数据：sin45°≈0.707，cos45°≈0.707，tan45°＝1，sin60°≈0.866，cos60°＝0.5，tan60°≈1.732)【解析】(1)分别过A、B作地面的垂线，垂足分别为D、E.在Rt△ADC中，∵AC＝20，∠ACD＝60°，∴AD＝20×sin60°＝10eq\r(3)≈17.32(m)．在Rt△BEC中，∵BC＝24，∠BCE＝45°，∴BE＝24×sin45°＝12eq\r(2)≈16.97(m)∵17.32>16.97，∴风筝A比风筝B离地面更高．(2)在Rt△ADC中，∵AC＝20，∠ACD＝60°，∴DC＝20×cos60°＝10(m)．在Rt△BEC中，∵BC＝24，∠BCE＝45°，∴EC＝BE≈16.97(m)∴EC－DC≈16.97－10＝6.97(m)即风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m.【易错警示】由于审题不仔细，图形分析有误没有正确理解相关术语造成错误，如标高、仰角、俯角、坡度等术语．六、【课堂基础检测】1．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为()A．8米B．8eq\r(3)米C.eq\f(8\r(3),3)米D.eq\f(4\r(3),3)米答案：C2．如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两棵树间的水平距离)为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为()A．5mB．6mC．7mD．8m答案：A3．为了缓解台州市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图)．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况显示牌BC的高度．解：在Rt△ADB中，∠BDA＝45°，AB＝3，∴DA＝3在Rt△ADC中，∠CDA＝60°，∴tan60°＝eq\f(CA,AD)，∴CA＝3eq\r(3).∴BC＝CA－BA＝3eq\r(3)－3(米)．答：路况显示牌BC的高度是(3eq\r(3)－3)米．4．如图，华庆号船位于航海图上平面直角坐标系中的点A(10,2)处时，点C、海岛B的位置在y轴上，且∠CBA＝30°，∠CAB＝60°.(1)求这时船A与海岛B之间的距离；(2)若海岛B周围16海里内有暗礁，华庆号船继续沿AC向C航行有无触礁危险？请说明理由．解：(1)∵∠CBA＝30°，∠CAB＝60°，∴∠ACB＝90°.在Rt△ACB中，∵cos60°＝eq\f(AC,AB)，∴AB＝20.(2)在Rt△ACB中，tan60°＝eq\f(BC,AC)，∴BC＝10eq\r(3).∵BC＝10eq\r(3)＝eq\r(300)>eq\r(256)＝16(或BC≈17>16)，∴无触礁危险．七、【课后达标练习】一、选择题1．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(4,5)，则tanB＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)解析：数形结合法、定义法、赋值法，如图，∴tanB＝eq\f(3,4).答案：B2．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)解析：确定包含∠B的直角三角形，∴AB＝4eq\r(2)，∴cos∠B＝eq\f(4,4\r(2))＝eq\f(\r(2),2)或确定∠B＝45°再求．答案：B3．在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，则sinA等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D．1解析：在等腰△ABC中，∠A＝45°，∴sinA＝eq\f(\r(2),2).答案：B4．已知锐角A满足关系式2sin2A－7sinA＋3＝0，则sinA的值为()A.eq\f(1,2)B．3C.eq\f(1,2)或3D．4解析：∵2sin2A－7sinA＋3＝0，∴sinA＝3或eq\f(1,2)，而sinA<1，∴sinA＝eq\f(1,2).答案：A5．在正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,2)D．2解析：观察图形，cos∠AOB＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).答案：A6．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶eq\r(3)(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是()A．5eq\r(3)米B．10米C．15米D．10eq\r(3)解析：由题意得tan∠BAC＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(5,AC)，∴AC＝5eq\r(3)米．答案：A7．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中A处)位于她家北偏东60°500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是()A．250mB．250eq\r(3)mC.eq\f(500,3)eq\r(3)mD．250eq\r(2)m解析：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝500m，∴sin∠AOB＝eq\f(AB,OA)，∴AB＝250m.答案：A8．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是()A．(eq\f(5\r(3),3)＋eq\f(3,2))mB．(5eq\r(3)＋eq\f(3,2))mC.eq\f(5\r(3),3)mD．4m解析：这棵树高为：1.5＋5tan30°＝(eq\f(3,2)＋eq\f(5\r(3),3))m.答案：A二、填空题9．如图，已知在Rt△ABC中，斜边BC上高AD＝4，cosB＝eq\f(4,5)，则AC＝________.解析：在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴∠B＝∠DAC.∴在Rt△ADC中，cos∠DAC＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝eq\f(AD,cosB)＝4×eq\f(5,4)＝5.答案：510．如图，从点C测得树的顶端的仰角为33°，BC＝20米．则树高AB≈________米．(用计算器计算，结果精确到0.1米)解析：AB＝BC·tan33°＝20×tan33°≈13.0.答案：13.0三、解答题11．计算：6tan30°＋(3.6－π)0－eq\r(12)＋(eq\f(1,2))－1.解：原式＝6×eq\f(\r(3),3)＋1－2eq\r(3)＋2＝2eq\r(3)＋1－2eq\r(3)＋2＝3.12．建于明洪武七年(1374年)，高度33米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一(如图①)．喜爱数学实践活动的小伟，在30米高的光岳楼顶楼P处，利用自制测角仪测得正南方向一商店A点的俯角为60°，又测得其正前方的海源阁宾馆B点的俯角为30°(如图②)．求商店与海源阁宾馆之间的距离．(结果保留根号)解：在Rt△POA中，PO＝30，∠OPA＝90°－60°＝30°，∴tan∠OPA＝eq