第1单元倍数与因数

第1单元倍数与因数例1：小林和小军都到图书馆去借书，小林每6天去一次，小军每8天去一次，如果7月1日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？分析：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答，由题意可知：要求下一次都到图书馆是几月几日，先求出6和8的最小公倍，因为6和8的最小公倍数是24，即7月1日再经24天两人都到图书馆，此题可解。解答：6＝2×3，8＝2×2×2，6与8的最小公倍数是2×2×3＝24，即再经24天两人都到图书馆，7月1日+24日＝7月25日；答：下一次都到图书馆是7月25日。例2：能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？分析：首先根据是3的倍数的数各个位上的数相加所得的和能被3整除，可得1、2；1、5；1、8；2、4；2、7；3、6；3、9；4、5；4、8；5、7；6、9；7、8的和都能被3整除；然后根据3、6、9不能和其它的数组合，使得它们的和能被3整除，所以不管怎么排，排3、6、9总有一个数要和不是3的倍数相邻，所以不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除，据此判断即可。解答：1、2；1、5；1、8；2、4；2、7；3、6；3、9；4、5；4、8；5、7；6、9；7、8的和都能被3整除，但是3、6、9不能和其它的数组合，使得它们的和能被3整除，所以不管怎么排，排3、6、9总有一个数要和不是3的倍数相邻，所以不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除。例3：菲菲家的号码是一个八位数，记为：ABCDEFGH．已知：A是最小的质数，B是最小的合数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是8的最大因数，H是6的最小倍数。分析：我们知道菲菲家的号码是一个八位数，记为：ABCDEFGH．已知：A是最小的质数，B是最小的合数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是8的最大因数，H是6的最小倍数。解答：由分析可知：A是2，B是4，C是1，D是0，E是9，F是5，G是8，H是6，所以这个数是：24109586。例4：猜猜看小侦探柯楠在侦破一个案件的时候，发现与案件有关的一个保险箱设有一个六位数的密码是：他又发现主人为了防备忘记密码在自己的日记本中做了如下的提示，A是5的最大因数，B的所有因数是1，2，4，8，C是最小的自然数．D只有一个因数，E既是质数，又是偶数，F既是9的因数又是9的倍数。你能帮助小侦探找到密码打开这个保险箱吗？并说明你推理的理由是什么？分析：根据题意可知：A是5的最大因数，因为5的最大因数是5，所以A是5；

B的所有因数是1，2，4，8，根据一个数最大的因数是它本身，可知B是8；

C是最小的自然数，最小的自然数是0，所以C是0；

D只有一个因数，是1；

E既是质数，又是偶数，所以E是2；

F既是9的因数又是9的倍数，所以F是9；由此即可写出即可。解答：由分析可知：A是5，B是8，C是0，D是1，E是2，F是9，所以这个六位数的密码是：580129。例5：已知a，b，c都是正整数，a，b，c的最大公约数为24，a，b的最小公倍数是360；a，c的最小公倍数是144。（1）求b的最小值。（2）若b，c的最小公倍数为240，求a，b，c的值。分析：①360＝24×5×3，144＝24×2×3，因为a，b，c的最大公约数为24，a，b的最小公倍数是360，a，c的最小公倍数是144，当a取最大时，b最小，a最大为：24×3＝72，所以b＝24×5＝120；②若b，c的最小公倍数为240，因为：240＝24×2×5，b＝120，所以c＝24×2＝48，进而得出a＝72；据此解答。解答：

①360＝24×5×3，144＝24×2×3，因为a，b，c的最大公约数为24，当a取最大时，b最小，a最大为：24×3＝72，所以b＝24×5＝120；②若b，c的最小公倍数为240，因为：240＝24×2×5，360＝24×5×3，所以b＝120，a＝24×3＝72，c＝24×2＝48。例6：一盒棋子共有96个，如果不一次拿出，也不一粒一粒地拿出，但每次拿出的粒数要相同，最后一次正好拿完．共有几种拿法？分析：本题可以先把实际问题转化成数学问题，正好拿完，就没有余数，每次拿的个数就是96的因数，再根据求因数的方法即可解决问题。解答：96＝2×2×2×2×2×3，那么96的因数可以表示为：96＝1×96＝2×48＝3×32＝6×16＝4×24＝8×12，

共有12个因数，不一次拿出，也不一个个地拿，所以96和1这对因数不要；共有10种拿法。

答：共有10种拿法。例7：用长4厘米、宽3厘米的长方形，照如图的样子拼成正方形．拼成的正方形的边长最小是多少厘米？（先在图中画一画再解答）分析：此题主要考查了求两个数的最大公因数：是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积。求拼成的正方形的边长最小是多少厘米，即求3和4的最小公倍数，因为3和4是互质数，是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积；据此解答即可。解答：4×3＝12，

即拼成的正方形的边长是12厘米；

答：拼成的正方形的边长是12厘米。例8：一条72米长的路，原来从一端起，每隔9米有一盏路灯。现在重新安装，要从一端起每隔6米装一盏．为节省施工成本，有些位置的路灯是不需要重新安装的．不需要重新安装的路灯至少有多少盏？（先画一画，再解答）分析：根据题意