高考数学第一轮复习5 第5讲　古典概型与几何概型

第5讲古典概型与几何概型课标要求考情分析1.理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．3．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．4．了解几何概型的意义.古典概型是高考考查的热点，常与分布列结合考查，几何概型也是高考考查的热点，题型仍将是选择题或填空题．核心素养：数学建模、直观想象1．古典概型(1)基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．(2)古典概型的特点(3)古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)．2．几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)特点①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．(3)几何概型的概率公式P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度（面积或体积）,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）).【小题自测】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．()(2)基本事件的概率都是eq\f(1,n).若某个事件A包含的结果有m个，则P(A)＝eq\f(m,n).()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改编)如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为()A．16.32 B．15.32C．8.68 D．7.68解析：选A.由题意，可估计椭圆的面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(96,300)))×6×4＝16.32.故选A.3．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)解析：选C.从A，B中任意取一个数，共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,3)＝6(种)情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，所以P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故选C.4．(不明概率类型致误)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30s，黄灯的时间为5s，绿灯的时间为40s，当某人到达路口时看见的是红灯的概率为________．解析：设事件A表示“某人到达路口时看见的是红灯”，则事件A对应30s的时间长度，而路口红绿灯亮的一个周期为30＋5＋40＝75(s)的时间长度．根据几何概型的概率公式可得，事件A发生的概率P(A)＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)5．某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为________．解析：将3名男生记为M1，M2，M3，2名女生记为W1，W2，从这5名志愿者中选出2名的可能结果为(M1，M2)，(M1，M3)，(M1，W1)，(M1，W2)，(M2，M3)，(M2，W1)，(M2，W2)，(M3，W1)，(M3，W2)，(W1，W2)，共10种，其中所选的2名志愿者性别相同的结果为(M1，M2)，(M1，M3)，(M2，M3)，(W1，W2)，共有4种，因此选出的2名志愿者性别相同的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)考点一古典概型(自主练透)1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(4,5)解析：选A.根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，故选A.2．设平面向量a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1，2，3，4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：选A.有序数对(m，n)的所有可能情况为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种，由a⊥(a－b)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1，2，3，4}．故事件A包含的可能情况为(2，1)和(3，4)，共2种，所以P(A)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).3．(2022·普通学校全国统一模拟演练)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位同学分到写有自己学号的卡片的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：选C.方法一：记A，B，C3位同学的学号分别为a，b，c，用有序实数组表示3人拿到的卡片情况，如(a，b，c)表示A同学拿到a号，B同学拿到b号，C同学拿到c号，3人可能拿到的卡片情况有(a，b，c)，(a，c，b)，(b，a，c)，(b，c，a)，(c，a，b)，(c，b，a)，共6种，其中恰有1位同学分到写有自己学号的卡片的情况为(a，c，b)，(c，b，a)，(b，a，c)，共3种，所以恰有1位同学分到写有自己学号的卡片的概率P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故选C.方法二：3位同学拿到的卡片的所有可能结果有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝6(种)，而恰有1位同学分到写有自己学号的卡片有3种结果，所以所求概率P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故选C.4．(2021·高考全国卷甲)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析：选C.方法一(将4个1和2个0视为完全不同的元素)4个1分别设为1A，1B，1C，1D，2个0分别设为0A，0B，将4个1和2个0随机排成一行有Aeq\o\al(6,6)种排法，将1A，1B，1C，1D排成一行有Aeq\o\al(4,4)种排法，再将0A，0B插空有Aeq\o\al(2,5)种排法，所以2个0不相邻的概率P＝eq\f(Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(2,3).方法二(含有相同元素的排列)将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有Ceq\o\al(2,6)种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有Ceq\o\al(2,5)种排法．所以2个0不相邻的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(2,3).利用公式法求解古典概型问题的步骤考点二几何概型(多维探究)考向1与长度有关的几何概型(2022·太原市模拟考试(一))在区间[－1，1]上任取一个实数k，则使得直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点的概率是()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,2)【解析】圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2，0)，半径为1，若要使得直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，则圆心到直线的距离eq\f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)，而k是区间[－1，1]内的实数，由几何概型的概率计算公式知，直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点的概率为eq\f(\f(\r(3),3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3))),1－（－1）)＝eq\f(\r(3),3)，故选C.【答案】C与长度有关的几何概型(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度,试验的全部结果所构成的区域长度).(2)与时间、不等式等有关的概率问题可转化为几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．考向2与面积有关的几何概型(1)(2022·安徽省名校实验班大联考)已知边长为2的正方形ABCD，在正方形ABCD内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A，B，C，D的距离都大于1的概率为()A.eq\f(π,16) B.eq\f(π,4)C.eq\f(3－2\r(2),4)π D．1－eq\f(π,4)(2)(2021·高考全国卷乙)在区间(0，1)与(1，2)中各随机取1个数，则两数之和大于eq\f(7,4)的概率为()A.eq\f(7,9) B.eq\f(23,32)C.eq\f(9,32) D.eq\f(2,9)【解析】(1)由题意，作出满足条件的几何图形，如图中阴影部分所示．所求概率P＝eq\f(S阴,S正)＝eq\f(S正－S圆,S正)＝eq\f(4－π,4)＝1－eq\f(π,4)，故选D.(2)在区间(0，1)中随机取一个数，记为x，在区间(1，2)中随机取一个数，记为y，两数之和大于eq\f(7,4)，即x＋y>eq\f(7,4)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,1<y<2，,x＋y>\f(7,4).))在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，事件A“两数之和大于eq\f(7,4)”即x＋y>eq\f(7,4)中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(2)×\f(1,2),1×1)＝eq\f(23,32)，故选B.【答案】(1)D(2)B求解与面积有关的几何概型的方法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，所求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．考向3与体积有关的几何概型(2022·太原市第一学期期末考试)如图是某个四面体的三视图，若在该四面体内任取一点P，则点P落在该四面体内切球内部的概率为()A.eq\f(\r(2),9π) B.eq\f(\r(6)π,18)C.eq\f(3\r(2)π,16) D.eq\f(π,16)【解析】由题意可知，该四面体是一个三棱锥，底面是直角边长为2eq\r(2)的等腰直角三角形，棱锥的一条侧棱垂直底面于三角形的一个顶点，棱锥的高为4eq\r(2)，则四面体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×4eq\r(2)＝eq\f(16\r(2),3)，表面积S＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＋eq\f(1,2)×2eq\r(2)×4eq\r(2)×2＋eq\f(1,2)×4×eq\r(（4\r(2)）2＋（2\r(2)）2－22)＝32.设该四面体的内切球半径为r，则eq\f(1,3)S·r＝eq\f(16\r(2),3)，解得r＝eq\f(\r(2),2).V球＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(2)π,3)，所以点P落在该四面体内切球内部的概率P＝eq\f(V球,V)＝eq\f(\f(\r(2)π,3),\f(16\r(2),3))＝eq\f(π,16)，故选D.【答案】D对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【对点训练】1.如图所示，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△AED或△BEC内部的概率等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,3)解析：选A.点Q取自△AED或△BEC内部的概率P＝eq\f(S△AED＋S△BEC,S矩形ABCD)＝eq\f(1,2).故选A.2．(2022·洛阳尖子生联考)在[－6，9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于()A.eq\f(2,15) B.eq\f(7,15)C.eq\f(3,5) D.eq\f(11,15)解析：选D.记“函数f(x)的图象与x轴有公共点”为事件A，当函数f(x)的图象与x轴有公共点时，对于方程－x2＋mx＋m＝0，Δ＝m2＋4m≥0，解得m≤－4或m≥0，又m∈[－6，9]，所以－6≤m≤－4或0≤m≤9.故P(A)＝eq\f(2＋9,15)＝eq\f(11,15)，故选D.[A级基础练]1．(2022·安徽省四校适应性测试)如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子(豆子大小忽略不计)，它落在阴影区域内的概率为eq\f(3,4)，那么估计阴影区域的面积为()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：选C.设阴影区域的面积为S，根据几何概型的概率公式知S＝eq\f(\r(3),4)×42×eq\f(3,4)＝3eq\r(3)，故选C.2．在区间[0，2]上任取两个数m，n，若向量a＝(m，n)，b＝(1，1)，则|a－b|≤1的概率是()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,8)解析：选B.a－b＝(m－1，n－1)，故由|a－b|≤1可得(m－1)2＋(n－1)2≤1，依据几何概型的概率公式可得P＝eq\f(π,2×2)＝eq\f(π,4).故选B.3．如图，已知正三棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP­ABC<eq\f(1,2)VS­ABC的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：选B.由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VP­ABC<eq\f(1,2)VS­ABC，故使得VP­ABC<eq\f(1,2)VS­ABC的概率P＝eq\f(大三棱锥的体积－小三棱锥的体积,大三棱锥的体积)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,8).4．在中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游，其中每个人只能去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山旅游的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：选B.4名游客去三个景点，每个景点至少有一个人，可以先将其中2名游客“捆绑在一起”作为“一个人”，再将“三个人”安排到三个景点去旅游，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝6×6＝36(种)方案．游客甲去梵净山旅游，若梵净山再没有其他3名游客去旅游，则有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝3×2＝6(种)方案，若“乙、丙、丁”中有1人也去了梵净山旅游，则有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)方案，所以游客甲去梵净山旅游共有12种方案．所以游客甲去梵净山旅游的概率P＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).故选B.5．在5升水中有一条小金鱼，现从中随机地取出1升水，含有小金鱼的概率是________．解析：“取出1升水，其中含有小金鱼”这一事件记作事件A，则P(A)＝eq\f(取出的水的体积,所有水的体积)＝eq\f(1,5).从而所求的概率为eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)6．在区间[－4，1]上随机地取一个实数x，若x满足|x|<a的概率为eq\f(4,5)，则实数a的值为________．解析：设集合A＝{x||x|<a}＝(－a，a)(a>0)，若0<a≤1，则A⊆[－4，1]，由几何概型的意义，得P(A)＝eq\f(a－（－a）,1－（－4）)＝eq\f(4,5)，解得a＝2，不符合题意．若a>1，则P(A)＝eq\f(1－（－a）,1－（－4）)＝eq\f(4,5)，解得a＝3，符合题意．答案：37．如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33))解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有Ceq\o\al(3,9)＝84种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1)＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－eq\f(6,84)＝eq\f(13,14).答案：eq\f(13,14)8．(2022·太原市模拟考试)某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，下表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意121184156一般2164412不满意116232(1)由上表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三类人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？(2)为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率；(3)若你朋友要到该地区旅游，根据上表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？解：(1)由题中表格数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为p1＝eq\f(15,18)＝eq\f(5,6)，p2＝eq\f(30,40)＝eq\f(3,4)，p3＝eq\f(22,42)＝eq\f(11,21)，因为p1>p2>p3，所以老年人更倾向于选择报团游．(2)由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为a；中年人有2人，分别记为b，c；青年人有2人，分别记为d，e.从中随机选取2人，其可能情况为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种．其中所求事件“这2人中有老年人”包含的可能情况为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，共4种，故这2人中有老年人的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(3)由题中表格数据可知，报团游的满意率为p4＝eq\f(12＋18＋15,15＋30＋22)＝eq\f(45,67)，自助游的满意率为p5＝eq\f(1＋4＋6,3＋10＋20)＝eq\f(1,3).因为p4>p5，故建议他选择报团游．(答案不唯一，言之有理即可给分)9．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3),Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,40)，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是eq\f(1,40).(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝eq\f(Aeq\o\al(4,4),Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,10)，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)＝1－P(E)＝eq\f(9,10).(3)有两个人同时参加A岗位服务的概率P2＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(3,3),Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝eq\f(3,4).[B级综合练]10．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的文化遗产，他提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是()A.eq\f(3\r(3),4π) B.eq\f(3\r(3),2π)C.eq\f(1,2π) D.eq\f(1,4π)解析：选B.如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，圆内接正六边形的边长为R，面积为6×eq\f(1,2)×R2×sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3)R2,2)，则所求的概率P＝eq\f(\f(3\r(3)R2,2),πR2)＝eq\f(3\r(3),2π).故选B.11.右图由一个半圆和一个四分之一圆构成，其中空白部分为二者的重合部分，两个阴影部分分别标记为A和M.在此图内任取一点，此点取自A区域的概率记为P(A)，取自M区域的概率记为P(M)，则()A．P(A)>P(M)B．P(A)<P(M)C．P(A)＝P(M)D．P(A)与P(M)的大小关系与半径长度有关解析：选C.不妨设四分之一圆的半径为1，则半圆的半径为eq\f(\r(2),2).记A区域的面积为S1，M区域的面积为S2，则S2＝eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)π×12－S1))＝S1，所以P(A)＝P(M)，故选C.12．已知函数f(x)＝ax＋eq\f(1,x).(1)从区间(－2，2)内任取一个实数a，设事件A表示“函数y＝f(x)－2在区间(0，＋∞)上有两个不同的零点”，求事件A发生的概率；(2)若连续掷一枚均匀的骰子两次(骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6)得到的点数分别为a和b，记事件B表示“f(x)>b在x∈(0，＋∞)上恒成立”，求事件B发生的概率．解：(1)因为函数y＝f(x)－2在区间(0，＋∞)上有两个不同的零点，所以f(x)－2＝0，即ax2－2x＋1＝0有两个不同的正根x1和x2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0,x1＋x2＝\f(2,a)>0,x1x2＝\f(1,a)>0,Δ＝4－