初中数学 菱形 课件

第五章四边形第28课时菱形(8年5考，考则1道，5分)目录玩转北京8年中考真题考点精讲重难点突破中考试题中的核心素养玩转北京8年中考真题1.(2017北京22题5分)如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长.第1题图(1)证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，点E为AD的中点，∴AE＝DE＝BE＝AD，又∵AD＝2BC，∴DE＝BC，又∵AD∥BC，∴四边形BCDE为平行四边形，又∵BE＝DE,∴四边形BCDE为菱形；(2分)(2)解：如解图，连接AC，∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2，又∵AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB＝BC，又∵AE＝BE＝BC，∴AB＝

AE＝BE，∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝60°，第1题解图∴在Rt△ABD中，∠ADB＝90°－∠BAE＝30°，∠1＝∠2＝∠BAE＝30°，∴在菱形BCDE中，∠ADC＝2∠ADB＝60°，∴∠ACD＝180°－∠1－∠ADC

＝90°，又∵BC＝1，∴在菱形BCDE中，

CD＝BC＝1，∴在Rt△ACD中，AC＝

CD·tan

∠ADC＝.(5分)2.(2018北京21题5分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长.第2题图(1)证明：∵AB∥DC，∴∠ACD＝∠BAC.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠ACD＝∠DAC，∴AD＝CD.∵AD＝AB，∴AB＝CD.∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；(2分)(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝1，OA＝OC，∴OA＝＝2.∵CE⊥AB，OA＝OC，∴OE＝AC＝OA＝2.(5分)3.(2014北京19题5分)如图，在

ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF、PD.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值.第3题图(1)证明：在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，同理，∵∠AFB＝∠FBE，∠ABF＝∠FBE，∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF＝BE，∵AF∥BE且AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AB＝AF，∴▱ABEF是菱形；(3分)(2)解：过点P作PH⊥AD交AD于点H，如解图，∵∠ABC＝60°，∴△ABE和△AEF是等边三角形，∴AP＝AE＝AB＝2，∴AH＝AP·cos60°＝1，PH＝AP·sin60°＝∴DH＝AD－AH＝6－1＝5，∴tan∠ADP＝＝.(5分)4.(2019北京20题5分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF.(1)求证：AC⊥EF；(2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O.若BD＝4，tanG＝，求AO的长.第4题图(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠BAC＝∠DAC.∵AB＝AD，BE＝DF，∴AB－BE＝AD－DF，即AE＝AF.∴△AEF是等腰三角形．又∵∠BAC＝∠DAC，∴AC⊥EF；(2分)(2)解：由题意作解图如下，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，OB＝BD＝×4＝2.∴∠G＝∠AEG.由(1)知EF⊥AC.又∵BD⊥AC.∴EF∥BD.∴∠AEG＝∠ABO.∴∠G＝∠ABO.∵tanG＝∴tan∠ABO＝＝.∴AO＝OB·tan∠ABO＝2×＝1.(5分)第4题解图考向拓展5.如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD于点E，交AB的延长线于点F.(1)求证：AE＝BF；(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值.第5题图(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠BAE＝∠CBF.∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC.又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF；(2)解：由题意知，BE垂直平分AD，即BE是AD的垂直平分线，∴点B到线段AD两端点的距离相等，∴BD＝AB＝2.考点精讲【对接教材】北京版：八下第十五章P64－P65，P69－P70；人教版：八下第十八章P55－P58.菱形的性质1考点性质字母表示边四条边_________

AB＝BC＝CD＝DA

对边平行AB∥CD，AD∥BC

角对角相等∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC

对角线对角线互相垂直且____________

AC⊥

，AO＝OC，DO＝OB对角线平分一组对角AC平分∠DAB与∠BCD，BD平分∠ABC与∠ADC相等平分BD性质字母表示周长C＝4a(a为菱形的边长)面积S＝

(m、n分别表示两条对角线的长)对称性既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴菱形的判定2考点1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3.四条边都相等的四边形是菱形.重难点突破例1已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.(1)如图①，添加一个条件使得四边形ABCD为菱形.①条件一：

；【判定依据】______________________________________________.②条件二：

；【判定依据】___________________________________________.例1题图(2)如图②，已知点A、点C关于直线BD对称，点H为BC上的一点，且AC＝16，BD＝12.①在四边形ABCD中，△BCD为

三角形，对角线AC、BD的位置关系为

________________；②若∠BCO＝∠DCO，点H为BC的中点，求OH的长；③若AB＝AD，则四边形ABCD的面积为

；④若AC⊥BD，则四边形ABCD的周长为

；⑤在④的条件下，连接OH，若OH⊥BC于点H，求cos∠COH的值；解：(1)①AB＝AD；邻边相等的平行四边形为菱形．②AC⊥BD；对角线互相垂直的平行四边形为菱形．(2)①等腰，垂直；【解法提示】∵点A、点C关于直线BD对称，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，AC⊥BD.∴△BCD为等腰三角形，AC、BD的位置关系为垂直．②当∠BCO＝∠DCO时，由AD∥BC知∠BCO＝∠OAD，∴∠OCD＝∠OAD，∴DC＝DA，∴平行四边形ABCD是菱形；∴AC⊥BD，∵AC＝16，BD＝12，∴OC＝8，OB＝6.根据勾股定理可得BC＝＝＝10.∵点H为BC的中点，∴OH＝BC＝5.③96；【解法提示】由题意知四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴四边形ABCD的面积为×16×12＝96.④40【解法提示】由题意知四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴AO＝CO＝8，BO＝DO＝6，∴BC＝＝10，∴四边形ABCD的周长为4×10＝40.练习如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长.练习题图(1)证明：∵在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8，∴AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，∵AB＝5，且32＋42＝52，∴AO2＋BO2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5，∵S△ABC＝AC·BO＝BC·AH，∴×6×4＝×5·AH，解得AH＝.【满分技法】1.菱形判定的一般思路：若一个四边形是菱形，则必是平行四边形，故在判定一个四边形是菱形时，首先判断其是平行四边形，然后根据平行