线性代数性质定理公式全总结

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概念、性质、定理、公式必需明白，解法必需熟练，计算必需确凿

?A可逆??r(A)?n??A的列（行）向量线性无关?A的特征值全不为0A?0????Ax??只有零解??x??，Ax??????Rn,Ax??总有唯一解?AT?A是正定矩阵?A?E??A?p1p2???pspi是初等阵??存在n阶矩阵B,使得AB?E或AB?E注：全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间.?A不可逆?r(AA?0???)?n?A的列（行）向量线性相关??0是A的特征值??Ax??有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量?r(aE?bA)?n注aE?bA?????(aE?bA)x??有非零解???=-ab1

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向量组等价??矩阵等价(?)?具有?反身性、对称性、传递性????矩阵相像()?矩阵合同()??√关于e1,e2,???,en：

①称为

n的标准基，

n中的自然基，单位坐标向量p教材87；

②e1,e2,???,en线性无关；③e1,e2,???,en?1；④trE=n；

⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.

a11行列式的定义Dn?a12a22an2a1na2nann?j1j2a21an1?(?1)?(j1j2jnjn)a1j1a2j2anjn

√行列式的计算：

①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

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②若A与B都是方阵（不必同阶）,则

AOA?AO=??ABOBOB?BOABO=?ABO?(?1)mnAB（拉普拉斯展开式）

③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

?④关于副对角线：

a1na2n?1?OOa2n?1an1a1n?(?1)On(n?1)2a1na2nan1（即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）

an11x1⑤范德蒙德行列式：x121x22x21xn2?xn1?j?i?n??x?x?

ijx1n?1n?1x2n?1xn?a11?a21矩阵的定义由m?n个数排成的m行n列的表A?????am1?A11?A12?????A1nA21A22A2na12a22am2a1n??a2n?称为m?n矩阵.记作：A??aij?或Am?n

m?n??amn?伴随矩阵A?Aij*??TAn1??An2?，Aij为A中各个元素的代数余子式.??Ann?√逆矩阵的求法:

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主换位?ab?1?d?b?A??1注①A?○：?????

cd?caad?bcA副变号????初等行变换②(AE)?????(EA?1)

?1?a1?③???a2?1?a1??1?????a3????mn1a2????????a1??3a3?(A)?(A)

mnmna2?1?a1????????1?a??11a31a2??????√方阵的幂的性质：AA?Am?n√设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，

则

AB?Cm?s??b11b12?b21b22??1,?2,???,?n?????bn1bn21b1s??b2s???c1,c2,??bns?,cs??A?i?ci，

(i?1,2,,s)??i为

Ax?ci的解

?A??1,??2,?s??,??A??A,2??s,??AT,,c2,?,???c1?scc?12,,cc,?1,?2,???,?n线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.s可由

同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵.

?a11?a21?即：???an1a12a22an2a1n???1??c1??a11?1?a12?2???????a??a??a2n???2??c2??211222???????????????amn???n??cm??am1?1?am2?2??a1n?2?c1?a2n?2?c2?amn?2?cm

√用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；

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用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

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?AB??AT√分块矩阵的转置矩阵：????TCD???B?A?1?A?分块矩阵的逆矩阵：????B????A?1?AC?????OB???O?1?1TCT?T?D?????B?1??BA??????1??A?1?1B?1????A?1A?1CB?1?O??AO?????1?1???CBB?B?????BCA?A11分块对角阵相乘：A?????B11,B???A22??*??A11B11AB????B22??????AB*??B*n?n?A11?,A??A22B22???n?A22??A??BA*分块对角阵的伴随矩阵：????B???A??????(?1)mnBA???(?1)mnAB?????√矩阵方程的解法(A?0)：设法化成(I)AX?B或(II)XA?B(I)的解法：构造(AB)?????(EX)