第47讲直线和圆的位置关系的判断方法

第47讲：直线和圆的位置关系的判断方法【考纲要求】能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系。【基础知识】③SKIPIF1<0方法二（代数法）：通过判别式判断直线与圆的方程组的实数解的情况，从而确定直线和圆的位置关系。①SKIPIF1<0SKIPIF1<0方程组有两个不同的实数解SKIPIF1<0直线与圆相交；②SKIPIF1<0SKIPIF1<0方程组有两个相等的实数解SKIPIF1<0直线与圆相切；③SKIPIF1<0SKIPIF1<0方程组没有实数解SKIPIF1<0直线与圆相离。方法三:先证明直线过某个定点，再证明该定点在圆内，则该直线和圆相交。【方法讲评】【变式演练1】已知圆C：x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.（1）当a为何值时，直线l与圆C相切？（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2SKIPIF1<0时，求直线l的方程.方法二代数法使用情景判断直线和圆的位置关系解题步骤先联立直线和圆的方程消去SKIPIF1<0，得到关于SKIPIF1<0的一元二次方程，再求判别式，得出结论。法二：同法一得直线方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.又圆心到直线距离d＝eq\f(|2k－3＋1|,\r(k2＋1))＝eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))，∴d＝eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))＜1，解得eq\f(4－\r(7),3)＜k＜eq\f(4＋\r(7),3).(2)证明：设过A点的圆的切线为AT，T为切点．则|AT|2＝|AM|·|AN|，|AT|2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7，∴SKIPIF1<0＝7.根据向量的运算：SKIPIF1<0＝||·||·cos0°＝7为定值．例3已知圆SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0求证：对SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0总有两个不同的交点SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0【点评】对于本题，如果利用代数的方法和几何的方法，计算量比较大。但是如果找到直线的定点，就比较容易判断直线和圆的关系。所以当直线中含有参数时，都要注意考虑直线是否过定点。2.【2012高考真题浙江理3】设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0//SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解之得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以不能得到SKIPIF1<0。故选A.3.【2012高考真题陕西理4】已知圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0的直线，则（）A.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交B.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切C.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相离D.以上三个选项均有可能【解析】圆的方程可化为SKIPIF1<0，易知圆心为SKIPIF1<0半径为2，圆心到点P的距离为1，所以点P在圆内.所以直线与圆相交.故选A.4.【2012高考真题天津理8】设，若直线与圆相切，则m+n的取值范围是（A）（B）（C）（D）【反馈训练】1．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件2．如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆的位置关系是()A．P在圆外B．P在圆上C．P在圆内D．不能确定5.直线x＋eq\r(3)y＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是 ()A．直线与圆相切B．直线与圆相交但不过圆心C．直线与圆相离D．直线过圆心6.直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a>0)没有公共点，则a的取值范围是 ()A．(0，eq\r(2)－1)B．(eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1)C．(－eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1)D．(0，eq\r(2)＋1)7.由直线y＝x＋1上的点向圆x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()A．1 B.eq\r(7)C．2eq\r(2) D．38.若直线y＝x＋b与曲线y＝3－eq\r(4x－x2)有公共点，则b的取值范围是()A．[1－2eq\r(2)，1＋2eq\r(2)] B．[1－eq\r(2)，3]C．[－1,1＋2eq\r(2)] D．[1－2eq\r(2)，3]9.设直线过点（0，a），斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（）A.±4B.±2SKIPIF1<0C.±2D.±SKIPIF1<012.已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的方程是()A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0C.x2+y2+2x-3=0D.x2+y2-4x=013．若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1，则半径r的取值范围是() A．（4，6） B．[4，6SKIPIF1<0 C．（4，6SKIPIF1<0 D．[4，6]【变式演练详细解析】【变式演练1详细解析】（1）由题意知圆C的圆心为(0,4)，半径为2.当直线l与圆C相切时，SKIPIF1<0=2，解得a=SKIPIF1<0.(2）当直线l与圆C相交，且AB=2SKIPIF1<0时，圆心（0,4）到直线l的距离d=SKIPIF1<0,解得a=-1或a=-7.此时直线l的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0.【变式演练2详细解析】：SKIPIF1<0【变式演练3详细解析】证明：不论m为何实数，直线l与圆恒交于两点；【反馈训练详细解析】1.A【解析】：当k＝1时，圆心到直线的距离d＝eq\f(|k|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)＜1，此时直线与圆相交，所以充分性成立．反之，当直线与圆相交时，d＝eq\f(|k|,\r(2))＜1，|k|＜eq\r(2)，不一定k＝1，所以必要性不成立．所以所求圆O的方程为：SKIPIF1<0,故选D.4.C【解析】：圆（x-3)2+y2=16的圆心为（3，0），半径为4.抛物线的准线为SKIPIF1<0,由题意易得SKIPIF1<0,所以p=2.5.A【解析】：直线x＋eq\r(3)y＝0的倾斜角为150°，顺时针旋转30°后为120°.方程为y＝－eq\r(3)x.圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝3.又圆心(2,0)到直线y＝－eq\r(3)x的距离d＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)＝r，∴直线与圆相切．6.A【解析】：圆心(0，a)，半径r＝a.∴eq\f(|a－1|,\r(2))>a，∴0<a<eq\r(2)－1.8.D【解析】：y＝3－eq\r(4x－x2)变形为(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4,1≤y≤3)，表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－eq\r(4x－x2)有公共点，只需直线y＝x＋b在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y＝x＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝x＋b的距离为2，即eq\f(|2－3＋b|,\r(2))＝2，解得b＝1－2eq\r(2)或b＝1＋2eq\r(2)(舍去)，∴b的取值范围为1－2eq\r(2)≤b≤3.故选D.9.C【解析】：直线方程为x-y+a=0,则SKIPIF1