第二章 稳态热传导

1传热学第二章稳态热传导§2-1导热的基本定律§2-3典型一维稳态导热问题的分析解§2-4

通过肋片的导热分析§2-2导热问题数学描写---微分方程式及定解条件§2-5具有内热源的导热及多维导热

2§2-1导热的基本概念和定律一、温度场（Temperaturefield）

各时刻物体中各点温度分布的总称

温度场是时间和空间的函数t—为温度;x,y,z—为空间坐标;

-时间坐标

稳态温度场

非稳态温度场非稳态导热

一维温度场：

二维温度场：

三维温度场：

一维稳态温度场：

稳态导热3二、等温面与等温线(1)温度不同的等温面或等温线彼此不能相交

等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面

等温线：用一个平面与各等温面相交，在该平面上得到一个等温线簇在二维的截面上等温面表现为等温线。

等温面与等温线的特点(2)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们要么封闭,要么终止于物体表面上(3)当相邻等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密可直观地反映出不同区域导热热流密度的相对大小4三、温度梯度（Temperaturegradient）

温度的变化率沿不同方向一般是不同的，温度沿某一方向上x的变化率在数学上可以用该方向上温度对坐标的偏导数来表示，温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量5系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间的温差与其法线间的距离之比的极限为该点的温度梯度，记为gradt

温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向直角坐标系：（Cartesiancoordinates）6四、热流密度矢量(Heatflux)

直角坐标系中：

热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度不同方向上的热流密度的大小不同

热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的法线方向。由于热流是从高温处流向低温处，因而温度梯度和热流密度的方向正好相反。

t+Δttt-Δt7五、傅里叶定律（Fourier’slaw）

导热基本定律：在导热过程中，单位时间内通过给定截面的导热量，正比于垂直该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。热导率（导热系数）直角坐标系中：

上面公式给出了穿过一个表面的热流密度与垂直于该表面的温度梯度之间的关系，但是有一个前提，只适用于各向同性材料：热导率在各个方向是相同的8温度梯度与热流密度矢量的关系

如图2-2（a）所示，表示了微元面积dA附近的温度分布及垂直于该微元面积的热流密度矢量的关系。1）热流线

定义：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。

2）热流密度矢量与热流线的关系：

在整个物体中，热流密度矢量的走向可用热流线表示。如图2-2（b）所示，其特点是相邻两个热流线之间所传递的热流量处处相等，构成一热流通道。910六、导热系数（Thermalconductivity）由傅利叶定律得到:导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位时间内通过单位面积的热量。导热系数表征物质导热能力大小，由实验测定。影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等导热系数反映了物质微观粒子传递热量的特性。

11

不同物质导热机理

气体的导热系数依靠分子无规则的热运动和相互碰撞实现热量传递

液体的导热系数主要依靠晶格的振动也有分子的无规则运动和碰撞晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周期性点阵，即所谓晶格

固体的热导率依靠自由电子的迁移和晶格的振动主要依靠前者a)金属的热导率：依靠晶格的振动传递热量；比较小b)非金属的热导率：12

不同物质的导热系数0˚C时：习惯上把导热系数小材料称为保温材料。高效能的保温材料多为蜂窝状多孔结构。13§2-2导热问题的数学描写傅里叶定律：确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场

理论基础：傅里叶定律+热力学第一定律一、导热微分方程式(3)

物体内具有均匀分布内热源；强度为qv[W/m3]

假设：(1)所研究的物体是各向同性的连续介质(2)热导率、比热容和密度均为已知qv

表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量首要任务14在导热体中取一微元体d

时间内微元体中：[导入与导出净热量]+[内热源发热量]=[热力学能的增加]根据能量守恒定律，微元时间段d

内净导入微元体的净热量dQd加上微元体内热源生成的热量dQv应等于微元体热力学能的增加量

15

1

导入与导出微元体的净热量d

时间内、沿x轴方向、经x表面导入的热量：d

时间内、沿x轴方向、经x+dx表面导出的热量：d

时间内、沿x轴方向导入与导出微元体净热量16d

时间内、沿x轴方向导入与导出微元体净热量

d时间内、沿y轴方向导入与导出微元体净热量

d时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量17[导入与导出净热量]由傅里叶定律：182d

时间微元体内热源的发热量3d

时间微元体热力学能的增量根据热力学第一定律导热微分方程式导热过程的能量方程19热扩散率

物性参数

、c和

均为常数

物性参数为常数，无内热源

物性参数为常数，稳态

物性参数为常数，无内热源，稳态二、导热微分方程式的简化泊松方程拉普拉斯方程20三、其他坐标下的导热微分方程

对于圆柱坐标系21

对于球坐标系2223四、导热过程的单值性条件

导热微分方程式的理论基础：

单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件

完整数学描述：导热微分方程+单值性条件傅里叶定律+热一律它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。

对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明条件的唯一解

单值性条件包括四项：几何条件物理条件初始条件边界条件24

单值性条件

几何条件如：物性参数

、c和

的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；又称时间条件，反映导热系统的初始状态

说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相互作用的条件说明导热体的几何形状和大小如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等说明导热体的物理特征

物理条件

初始条件

边界条件稳态导热过程不需要时间条件—与时间无关对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布分类：第一类、第二类、第三类边界条件25

边界条件

第一类边界条件s—边界面;tw—

边界面上的温度已知任一瞬间导热体边界上温度值：稳态导热：tw=const非稳态导热：tw=f(

)o

xtw1tw2例：26

第二类边界条件根据傅里叶定律：已知物体边界上热流密度的分布及变化规律：第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的温度梯度值稳态导热：qw非稳态导热：特例：绝热边界面：27

第三类边界条件傅里叶定律：当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知任一时刻边界面周围流体的温度和表面传热系数tf,hqw牛顿冷却定律：导热微分方程式的求解方法导热微分方程＋单值性条件＋求解方法

温度场积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法28实际工程中的两种情形（P45）辐射边界条件界面连续条件291）适用于热流密度不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。2）若属极低温度（-273℃）时的导热不适用。（温度效应）3）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。（时间效应）4）空间尺度极小，与微观粒子的平均自由程接近，不适用。（尺寸效应）导热微分方程的适用范围30a反映了导热过程中材料的导热能力

与沿途物质储热能力

c

之间的关系.a越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力越大，故称为热扩散率

热扩散率a

分子

是物体的导热系数。

分母

c是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。

越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量

c越小，温度上升1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。是与1/(

c)两个因子的结合a越大，材料中温度变化越迅速，a也是材料传播温度变化能力大小的指标，故有导温系数之称。31§2-3一维稳态导热一、通过平壁的导热o

x

假设

导热微分方程

几何条件：单层（或多层）；厚度

物理条件：

、c、

已知；有或无内热源

边界条件：

时间条件：长度和宽度远大于厚度

——简化为一维导热问题

单值性条件第一类：已知tw第三类：已知h,tf稳态321.

通过单层平壁的导热

导热微分方程1.1无内热源，λ为常数，第一类边界

求得平壁内温度分布o

x边界条件微分方程线性分布33

导过平壁的热流量

热流密度——导热面积为A是导热热阻——单位面积上的导热热阻341.2

无内热源，λ不为常数，第一类边界微分方程边界条件(λ0、b为常数)物理条件

求得平壁内温度分布二次曲线方程35

热流密度或

常数b的讨论36其抛物线的凸凹性取决于系数b的正负。λ=λ0(1+bt)当b<0，随着t增大，λ减小，高温区的温度梯度dt/dx较大。当b>0，随着t增大，λ增大，即高温区的导热系数大于低温区。根据Q=-λA(dt/dx)可知，高温区的温度梯度dt/dx较小，而形成上凸的温度分布。37

1.3有内热源，λ为常数，第一类边界平壁内有均匀的内热源qv，且认为导热系数λ为常数，平壁两边温度相等。

twtw0xqv积分后：温度分布：边界条件微分方程381.4无内热源，λ为常数，第三类边界边界条件微分方程39

k—传热系数[W/(m2K)]

402.通过多层平壁的导热

多层平壁：由几层不同材料组成例：房屋的墙壁—白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等推广到n层壁的情况:

2.1

无内热源，λ为常数，第一类边界41多层平壁的总热阻等于各层热阻之和2.2

无内热源，λ为常数，第三类边界42二、通过圆筒壁的导热

假设

微分方程圆筒轴向长度远大于径向厚度管壁内外表面保持均匀的温度

几何条件：单层或多层；

物理条件：

、c、

已知；有或无内热源

边界条件：

时间条件：

单值性条件第一类：已知tw第三类：已知h,tf431

通过单层圆筒壁的导热

微分方程t1

r1

t2

rr2

得出圆筒壁的温度分布为

边界条件对数曲线1.1无内热源，λ为常数

44

温度梯度

单位长度圆筒壁的热流量不同半径处温度梯度不同——

单位长度圆筒壁的导热热阻45

温度分布的凸凹性t1

r1

t2

rr2461.2通过含内热源圆柱体的导热

tctwrwr0

得出圆柱体内的温度分布

微分方程

边界条件

热流密度分布

温度梯度

单位长度圆柱体的热流量472通过多层圆筒壁的导热由不同材料构成的多层圆筒壁

第一类边界条件

第三类边界条件2.1

多层圆筒壁的换热量计算

482.2临界热绝缘直径工程上，为减少管道的散热损失，常在管道外侧覆盖热绝缘层或称隔热保温层问题：覆盖热绝缘层是否在任何情况下都能减少热损失？保温层是否越厚越好？为什么？单位长度管道上的总热阻：对给定管道：h1、h2、d1、d2、

给定前两项为定值，后两项随dx变化而变化Rl~dx

非单调变化—

先减小、后增大；有极小值

insql49管道外表面毕渥数Bi，当保温层外表面的Bi数大于2时，增加保温层厚度可以进一步减少热损失，若Bi数小于2，则增加保温层厚度反其道强化传热的作用。——管道外表面相应参数Bi50临界热绝缘直径：总热阻达到极小值时的热绝缘层外径总热阻51三、通过球壳的导热边界条件热流量热阻r1r2t1t2热流密度在常物性、无内热源、第一类边界微分方程

温度分布

52四、通过接触面的导热实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接接触的界面容易出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整的面接触—

给导热带来额外的热阻当界面上的空隙中充满导热系数远小于固体的气体时，接触热阻的影响更突出—

接触热阻当两固体壁具有温差时，接合处的热传递机理为接触点间的固体导热和间隙中的空气导热，对流和辐射的影响一般不大53

当热流量不变时，接触热阻rc较大时，必然在界面上产生较大温差

当温差不变时，热流量必然随着接触热阻rc的增大而下降

即使接触热阻rc不是很大，若热流量很大，界面上的温差是不容忽视的54

待续551.2无内热源，λ不为常数的求解积分一次：再积分一次：代入边界条件：56温度分布求出两个常数572.3.5其它变面积或变导热系数问题求解导热问题的主要途径分两步：求解导热微分方程，获得温度场；根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量；对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。58此时，一维Fourier定律：当＝(t)时，59分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x无关(稳态)，得

60当随温度呈线性分布时，即＝0＋at，则实际上，不论如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将换成平均导热系数。61§2-4通过肋片的导热62一基本概念

1、肋片：指依附于基础表面上的扩展表面

2、常见肋片的结构：针肋直肋环肋大套片632）特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热，肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。即：Φ≠const。

4、分析肋片导热解决的问题

一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？

二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？

3、肋片导热的作用及特点

1）作用：增大对流换热面积及辐射散热面,以强化换热641通过等截面直肋的导热已知：矩形直肋肋根温度为t0，且t0>t

肋片与环境的表面传热系数为h.

，h和Ac均保持不变求：温度场t

和热流量

65分析：假设

1）肋片在垂直于纸面方向(即深度方向)很长，不考虑温度沿该方向的变化，因此取单位长度分析；

2）材料导热系数λ及表面传热系数h均为常数，沿肋高方向肋片横截面积Ac