数模选修-灰色预测和灰色关联度分析

灰色系统理论及应用灰色系统灰色关联度分析灰色预测1灰色系统理论简介著名学者邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代初提出；诞生标志：邓教授第一篇灰色系统论文“TheControlProblemsofGreySystems〞，发表于北荷兰出版公司期刊System&ControlLetter,1982,No.5。2灰色系统理论的研究对象“局部信息,局部信息未知〞的“小样本、贫信息〞不确定性系统。灰色系统理论的研究内容灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。灰色系统理论的应用领域农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学等。3项目灰色系统概率统计模糊数学研究对象贫信息不确定随机不确定认知不确定基础集合灰色朦胧集康托集模糊集方法依据信息覆盖映射映射途径手段灰序列算子频率统计截集数据要求任意分布典型分布隶属度可知侧重点内涵内涵外延目标现实规律历史统计规律认知表达特色小样本大样本凭经验三种不确定性系统研究方法的比较分析(灰色系统理论、概率统计、模糊数学)4

黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。灰色系统内的一局部信息是的，另一局部信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。灰色系统、白色系统和黑色系统白色系统是指一个系统的内部特征是完全的，即系统的信息是完全充分的。5灰色系统根本原理1、差异信息原理：差异即信息，凡信息必有差异。2、解的非唯一性原理：信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的根本法那么。3、最少信息原理：灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少信息〞。4、认知根据原理：信息是认知的根据。5、新信息优先原理：新信息对认知的作用大于老信息。6、灰性不灭原理：“信息不完全〞是绝对的。6灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过20多年的开展，已根本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集〞为根底的理论体系、以灰色关联空间为依托的分析体系、以灰色序列生成为根底的方法体系，以灰色模型〔GM〕为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。7一、关联分析的背景客观世界中的事物往往现象复杂，因素繁多。我们往往需要对系统进行因素分析，这些因素中哪些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要开展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显的。一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事实上，因素间关联性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键和起点。10因素分析的根本方法过去主要采取回归分析、方差分析，主成分分析等方法，但是这种方法需要大量数据作为根底，计算量大。而灰色系统理论采用的关联分析方法可以克服这个弊端。灰色系统理论进行系统分析的方法：关联度分析法112.灰色关联分析法

灰色关联分析是灰色系统理论的一个分支．应用灰色关联分析方法对受多种因素影响的事物和现象从整体观念出发进行综合评价是一个被广为接受的方法．根本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。12应用举例问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪业还是养兔业？1314灰色关联分析法的步骤利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是：1．根据评价目确实定评价指标体系，收集评价数据。设n个数据序列形成如下矩阵：其中为指标的个数,152．确定参考数据列参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值〔或最劣值〕构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值．记作T163．对指标数据进行无量纲化

无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：

17常用的无量纲化方法有均值化法〔见〔12－3〕式〕、初值化法〔见〔12－4〕式〕和标准化变换等．18或采用内插法使各指标数据取值范围〔或数量级〕相同．例如，某地县级医院病床使用率最高为90%，最低为60%，我们可以将90%转化10，60%转化为1，其它可以通过内插法确定其转化值．如80%转化为多少？可进行如下计算：

解之得，即80%转化为7．194．逐个计算每个被评价对象指标序列〔比较序列〕与参考序列对应元素的绝对差值即〔〕为被评价对象的个数〕．5．确定

与两级最小差4．逐个计算每个被评价对象指标序列〔比较序列〕与参考序列对应元素的绝对差值即〔〕为被评价对象的个数〕．5．确定

与两级最小差

两级最大差

206．计算关联系数由〔12－5〕式，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数．217．计算关联度对各评价对象〔比较序列〕分别计算其个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联度，记为：228．如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系数求加权平均值即

9．依据各观察对象的关联度，进行排序，得出综合评价结果．233.灰色关联分析的应用举例

例1：利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价1．评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤．2．对原始数据经处理后得到以下数值，见下表

编号专业外语教学量科研论文著作出勤189875292787573839796647468884365866983868957648243．确定参考数据列：

4．计算，见下表编号专业外语教学量科研论文著作出勤110123702212416130203252431114635133006161042251255．求最值6．依据〔12－5〕式，取计算，得26 同理得出其它各值，见下表编号10.7781.0000.7780.6360.4670.3331.00020.636

0.778

0.636

0.467

0.636

0.368

0.778

31.000

0.636

1.000

0.538

0.538

0.412

0.636

40.538

0.778

0.778

0.778

0.412

0.368

0.538

50.778

0.538

0.538

1.000

0.778

0.368

0.778

60.778

1.000

0.467

0.636

0.538

0.412

0.778

277．分别计算每个人各指标关联系数的均值〔关联序〕：8．如果不考虑各指标权重〔认为各指标同等重要〕，六个被评价对象由好到劣依次为1号，5号，3号，6号，2号，4号．即28存在的问题及解决方法29?灰色预测与决策模型研究?党耀国刘思峰等著科学出版社本书中提及了一些其它的灰色关联度，如绝对关联度，相对关联度等等，并且针对各自的适用范围进行了讨论。所以如果是在数学建模的过程中，我们可以根据实际的需要，确定我们的关联度的计算公式。30生成数31将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处理称为生成.

客观世界尽管复杂,表述其行为的数据可能是杂乱无章的,然而它必然是有序的,都存在着某种内在规律,不过这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接从原始数据中找到某种内在的规律.对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律.常用的灰色系统生成方式有:累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等.321.累加生成累加生成,即通过数列间各时刻数据的依个累加以得到新的数据与数列.累加前的数列称原始数列,累加后的数列称为生成数列.累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可以看出灰量积累过程的开展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化.累加生成是对原始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成新的序列的一种手段.33342.一次累加生成算例例：x(0)=(3.2，3.3，3.4，3.6，3.8)求x(1)(k)解：3536对非负数据，累加次数越多那么随机性弱化越多，累加次数足够大后，可认为时间序列已由随机序列变为非随机序列。一般随机序列的屡次累加序列，大多可用指数曲线逼近。37存在的问题38解决的方法393.累减生成累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(InverseAccumulatedGeneratingOperation),累减生成可将累加生成复原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为∆.4041424344例令K＝0，X1(0)=0累减生成序列45图8-746474849没有累加生成时的误差为21.26%504.均值生成51525.级比生成535455第四节：GM模型56灰色理论的微分方程性模型称为GM模型，G表示grey〔灰〕，M表示model〔模型〕。GM〔1，N〕表示1阶的，N个变量的微分方程型模型GM〔1，1〕那么是1阶的，1个变量的微分方程型模型。灰色理论的GM模型的机理和特点，可归纳为：①一般系统理论只能建立差分模型，不能建立微分模型。而灰色系统理论建立的是微分方程型模型。差分模型是一种递推模型，只能按阶段分析系统的开展，只能用于短期分析，只能了解系统显漏的变化。而灰色理论，基于关联度收敛原理、生成数、灰导数、灰微分方程等观点和方法建立了微分方程型模型。57②系统行为数据列往往是没有规律的，是随机变化的。灰色理论用数据处理的方法〔灰色理论称为数据生成〕，将杂乱无章的原始数据整理成规律较强的生成数列再作研究。灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的，因此杂乱无章的数据后面，必然潜藏着某种规律，而灰数的生成，就是从杂乱无章的原始数据中去开拓、发现，寻找这种内在规律，这是一种现实规律，不是先验规律。③灰色理论通过多个GM〔1，N〕模型来解决高阶系统的建模问题。58④灰色理论通过模型计算值与实际值之差〔残差〕建立GM〔1，1〕模型，作为提高模型精度的主要途径。残差的GM〔1，1〕模型，一般只注重现实规律，最新数据的修正，因此残差GM〔1，1〕与主模型之间在时间上一般是不同步的。所以灰色预测模型经常是差分微分模型。⑤用灰色理论建模，一般都采用三种检验方式：a.残差大小〔或平均值、或最近一个数据的残差值〕的检验，按点检验。b.关联度检验，建立模型与指定函数之间近似性的检验。c.后验差检验，是残差分布统计特性的检验。⑥GM模型所得数据必须经过逆生成作复原后才能用。59设时间序列有n个观察值，通过累加生成新序列那么GM(1,1)模型相应的白化形式微分方程为：其中：α称为开展灰数；μ称为内生控制灰数。1.GM(1,1)模型60记61称为的紧邻均值生成序列

那么62设为待估参数向量，可利用最小二乘法求解。解得：那么微分方程可表示为63对其做累减复原，即可得到原始数列的灰色预测模型为:求解微分方程，即可得预测模型：64由灰色预测方法原理,-a主要控制系统开展态势的大小,即反映预测的开展态势,被称为开展系数;u的大小反映了数据变化的关系,被称为灰色作用量,其中:①当-a<0.3时,GM(1,1)模型可用于中长期预测;②当0.3<-a<0.5时,GM(1,1)模型可用于短期预测,中长期预测慎用;③当0.5<-a<1时,应采用GM(1,1)改进模型,包括GM(1,1)残差修正模型;④当-a>1时,不宜采用GM(1,1)模型,可考虑其他预测方法。65一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。二、模型检验〔1〕残差检验按预测模型计算并将累减生成然后计算原始序列与的绝对误差序列及相对误差序列。给定a,当成立,称模型为残差合格模型.a取0.01、0.05、0.1分别为：优、合格、勉强合格66〔2〕关联度检验根据前面所述关联度的计算方法算出与原始序列的关联系数，然后计算出关联度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满意了。6768〔3〕后验差检验a.计算原始序列标准差:b.计算绝对误差序列的标准差：c.计算方差比：d.计算小误差概率：69精度检验等级参照表相对误差

关联度均方差比值小误差概率一级二级三级四级0.010.050.100.200.900.800.700.600.350.500.650.800.950.800.700.60假设相关误差，关联度、后验差检验在允许范围之内，那么可用所建模型进行预测，否那么应进行残差修正。70例：某县皮棉产量如表，试建立GN(1.1)预测模型，并预测第8期皮棉产量。序号123456产量(百万担)2.673.133.253.363.563.72解：令X0(1)、X0(2)、X0(3)、X0(4)、X0(5)、X0(6)对立于原始序列数据第一步，构造累加生成序列：生成序列X1={2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69}第二步，构造数据矩阵B和数据向量Yn：71第三步，计算BTB，(BTB)-1Yn：即a=-0.043879u=2.92566372第四步，得出预测模型：第五步：残差检验：〔1〕计算：73〔2〕累减生成序列：原始序列〔3〕计算绝对误差及相对误差序列：绝对误差序列Δ0{0，0.02，0.04，0.02，0.01}相对误差序列Φ＝{0/2.67×100%，0.02/3.13×100%，0/3.25×100%，0.04/3.36×100%，0.02/3.56×100%，0.01/3.72×100%}={0.064%,0,1.19%,0.56%,0.27%}相对误差小于1.19%，模型精确度高。74第六步，进行关联度检验：〔1〕计算序列X0与X0的绝对误差Δ(i)：75〔2〕计算关联系数：由于只有两个序列，故不再寻第二级最小及最大：〔3〕计算关联度：r=0.67是满足p=0.5时的检验准那么r>0.6的。76第六步，后验差检验：〔1〕计算〔2〕计算X0序列均方差：〔3〕计算残差的均值：〔4〕计算残差的均方差：77〔5〕计算C：〔6〕计算小误差概率：S0＝0.6745×0.3671＝0.2476第八步，模型经检验合格后可用于预测，预测公式为：本例中i

=7即该县第八期皮棉产量为4.23百万担。78GM(1,1)模型应用实例的MATLAB实现79解

(1)累加生成数列为：

年份199920002001200220032004销售额2.673.133.253.363.563.72建立GM〔1，1〕预测模型，并预测2005，2006年产品销售额原始数据列为：

{2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72}

{2.67005.80009.050012.410015.97009.6900}X0=[2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72];X1(1)=X0(1)fork=2:6X1(k)=X1(k-1)+X0(k)end80(2)构造数据矩阵B和数据向量Y：

z=

04.23507.425010.730014.190017.8300loadhslitifork=2:6z(k)=(1/2)*(X1(k)+X1(k-1))endB=-4.23501.0000-7.42501.0000-10.73001.0000-14.19001.0000-17.83001.0000Y=3.13003.25003.36003.56003.7200B=[(-z(2:6))'ones(5,1)]Y=(X0(2:6))'81(3)计算系数

alfa=-0.04402.9256alpha=inv(B'*B)*B'*Y(4)得出预测模型

u=alpha(2)/alpha(1)v=X0(1)-uu=-66.5503v=69.220382(5)进行参差检验

得u=alpha(2)/alpha(1)v=X0(1)-uforn=0:6X2(n+1)=v*exp(-alpha(1)*n)+uendX2u=-66.5503v=69.22031〕根据预测公式，计算X2=2.67005.78099.031512.428315.977719.686723.562383得X3(1)=X2(1)form=1:6X3(m+1)=X2(m+1)-X2(m)end2〕累减生成序列X3=2.67003.11093.25073.39683.54943.70893.8756而原始数据为{2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72}

3〕计算绝对参差和相对参差序列绝对残差序列

daita0=0.00000.01910.00070.03680.01060.0111daita0=abs(X0-X3(1:6))84相对参差序列

kesi=0.00000.00610.00020.01090.00300.0030kesi=daita0./X0平均相对参差

meankesi=mean(kesi)meankesi=0.0039<0.01而模型精确度高85〔6〕进行关联度检验1〕计算绝对残差序列2〕计算关联系数aita=(min(daita0)+0.5*max(daita0))./(daita0+0.5*max(daita0))aita=1.00000.49010.96450.33330.63480.62443〕计算关联度=0.6745>0.6的检验准那么meanaita=mean(aita)=0.674586〔7〕进行后验差检验1〕计算X0均值、均方差X0mean=mean(X0)=0.2817X0std=std(X0)=0.3671daita0mean=mean(daita0)=0.0130daita0std=std(daita0)=0.0137C=0.03724〕计算小参差概率2〕计算参差均值、均方差3〕计算C=daita0std/X0stdS0=0.6745*X0stdS0=0.2476e=0.01300.00610.01240.02370.00250.0020e=abs(daita0-daita0mean)对所有的e都小于S0，故小参差概率P=length(find(e<S0))/length(e)C=0.0372<0.35,故预测模型是合格的。而同时87(8)预测

得即2005年的产品销售额预测值为4.0498亿元。u=-66.5503v=69.2203X2006=4.0498X2005=X3(7)X2(8)=v*exp(-alpha(1)*7)+uX3(8)=X2(8)-X2(7)X2006=X3(8)即2005年的产品销售额预测值为3.8756亿元。即2006年的产品销售额预测值为4.0498亿元。88GM(1,1)残差模型假设用原始经济时间序列模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的GM(1,1)模型进行残差修正或提高模型的预测精度。修正的方法是建立GM(1,1)的残差模型。建立的GM(1,1)89可获得生成序列的预测值假设用原始序列建立的GM(1,1)模型对于残差序列若存在，使得当时，的符号一致，且那么称残差序列为可建模残差尾部。90的累加生成序列，并建立相应的GM(1,1)模型

计算残差序列得修正模型其中正负号取值与残差尾部符号一致91有关建模的问题说明〔1〕给定原始序列X0中的数据不一定要全部用来建立模型，对原始序列的取舍不同，可得模型不同，即a、u的值不同。〔2〕建模的数据取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳跃出现。〔3〕一般建模数据序列应当由最新数据及其相邻数据构成，当再出现新数据时，可采取两种处理方法：一是将新信息参加原始序列中，重估参数；二是去掉原始序列中最老的一个数据，再加上最新数据，所形成序列和原序列维数相等，再重估参数。92灰色预测93预测方法有300种，通常用回归分析法、德尔菲法、趋势外推法、最小方差预测法、马尔可夫预测法、模型法、指数平滑法、残差辨识方法等。三种类型：回归—马尔可夫称统计型灰色预测与模型法属连续型指数平滑与残差辨识那么属递推型灰色系统模型的预测，称灰色预测。灰色预测可分为五类：94①数列预测对系统行为特征值大小的开展变化进行预测，称为系统行为数据列的变化预测，简称数列预测。例如◆粮食产量的预测◆商品销售量开展变化的预测◆年平均降水量开展变化的预测◆人口的预测◆货运量的预测◆外贸额开展变化的预测这种预测的特点是：对行为特征量等时距地观测。预测的任务是：了解这些行为特征量在下一个时刻有多大。