吉林省重点中学2024届高二上数学期末考试模拟试题含解析

吉林省重点中学2024届高二上数学期末考试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）A.1 B.2C.4 D.82．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬动地球”.他在做数学研究时，有一个有趣的问题：一个边长为2的正方形内部挖了一个内切圆，现在以该内切圆的圆心且平行于正方形的一边的直线为轴旋转一周形成几何体，则该旋转体的体积为（）A. B.C. D.3．已知命题，则为（）A. B.C. D.4．在等腰中，在线段斜边上任取一点，则线段的长度大于的长度的概率（）A B.C. D.5．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日7．如图，已知最底层正方体的棱长为a，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，依此方法一直继续下去，则所有这些正方体的体积之和将趋近于（）A. B.C. D.8．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.B.C.D.9．在空间直角坐标系中，方程所表示的图形是（）A圆 B.椭圆C.双曲线 D.球10．方程所表示的曲线为（）A.射线 B.直线C.射线或直线 D.无法确定11．已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则（）A. B.C.1 D.12．已知{}为等比数列.，则＝（）A.—4 B.4C.—4或4 D.16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的前n项和为，且满足通项公式，则________14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，且，则的离心率为___________.15．如图，在四棱锥中，O是AD边中点，底面ABCD..在底面ABCD中，，，，.（1）求证：平面POC；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.16．若，且数列是严格递增数列或严格递减数列，则实数a取值范围是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数（1）若，求的单调区间和极值；（2）在（1）的条件下，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点；（3）若存在，使得，求的取值范围18．（12分）已知四棱锥的底面是矩形，底面，且，设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，H为EG的中点，如图.（1）求证：平面；（2）求直线FH与平面所成角的大小.19．（12分）已知函数（1）求函数单调区间；（2）函数在区间上的最小值小于零，求a的取值范围20．（12分）设命题p：实数x满足，其中；命题q：若，且为真，求实数x的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围21．（12分）已知椭圆：的一个焦点与曲线的焦点重合，且离心率为.（1）求椭圆的方程（2）设直线：交椭圆于M，N两点.①若且的面积为，求的值.②若轴上的任意一点到直线与直线（为椭圆的右焦点）的距离相等，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标22．（10分）某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，，…，所得到如图所示的频率分布直图（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.【详解】设等差数列的公差为，则，，联立，解得.故选：C.2、B【解析】根据题意，结合圆柱和球的体积公式进行求解即可.【详解】由题意可知：该旋转体的体积等于底面半径为，高为的圆柱的体积减去半径为的球的体积，即，故选：B3、C【解析】将全称命题否定为特称命题即可【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题，则，故选：C.4、C【解析】利用几何概型的长度比值，即可计算.【详解】设直角边长，斜边，则线段的长度大于的长度的概率.故选：C5、D【解析】根据题意得出的符号，进而得到的象限.【详解】由题意，，所以在第四象限.故选：D.6、C【解析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为，分析首次达到1万元的值，即得解【详解】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为.因为为增函数，且，所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故选：C7、D【解析】由已知可判断出所有这些正方体的体积构成首项为，公比为的等比数列，然后求和可得答案.【详解】最底层上面第一个正方体的棱长为，其体积为，上面第二个正方体的棱长为，其体积为，上面第三个正方体的棱长为，其体积为，所有这些正方体的体积构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，当，，所以所有这些正方体的体积之和将趋近于.故选：D.8、D【解析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案【详解】由函数图象知，此三次函数在上处与直线相切，在点处与相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线A：，将0代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故A错误B：，将0代入，此时导数为，不为，故B错误；C：，将2代入，此时导数为，与点处切线斜率为3矛盾，故C错误；D：，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是，3，符合题意，故D正确；故选：D.9、D【解析】方程表示空间中的点到坐标原点的距离为2，从而可知图形的形状【详解】由，得，表示空间中的点到坐标原点的距离为2，所以方程所表示的图形是以原点为球心，2为半径的球，故选：D10、C【解析】将方程化为或，由此可得所求曲线.【详解】由得：或，即或，方程所表示的曲线为射线或直线.故选：C.11、B【解析】由，，得，然后利用向量的加减法法则把向量用向量表示出来，可求出的值，从而可得答案【详解】解：因为，，所以所以,因为，所以，所以，故选：B12、B【解析】根据题意先求出公比，进而用等比数列通项公式求得答案.【详解】由题意，设公比为q，则，则.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由时，，可得，利用累乘法得，从而即可求解.【详解】因为，所以时，，即，化简得，又，所以，检验时也成立，所以，所以，故答案：.14、【解析】由双曲线定义可得a，代入点P坐标可得b，然后可解.【详解】由题知，故，又点在双曲线上，所以，解得，所以.故答案为：15、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意，证明BCOA是平行四边形，从而可得，然后根据线面平行的判断定理即可证明；（2）证明BCDO是平行四边形，从而可得，由题意，可建立以为轴建立空间直角坐标系，求出平面ABP的法向量，利用向量法即可求解直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.【小问1详解】证明：由题意，又，所以BCOA是平行四边形，所以，又平面POC，平面POC，所以平面POC；【小问2详解】解：，，所以BCDO是平行四边形，所以，，而，所以，以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设平面ABP的一个法向量为，则，取x=1，则，，所以，设直线PC与平面PAB所成角为，则，所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.16、【解析】根据数列递增和递减的定义求出实数a的取值范围.【详解】因为数列是严格递增数列或严格递减数列，所以.若数列是严格递增数列，则，即，即恒成立，故；若数列是严格递减数列，则，即，即恒成立，由，故；综上，实数a的取值范围是故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）递减区间是，单调递增区间是，极小值（2）证明见解析（3）【解析】（1）对函数进行求导通分化简，求出解得，在列出与在区间上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而．在对进行分类讨论，再利用函数的单调性得出结论.（3）构造函数，在对进行求导，在对进行分情况讨论，即可得的得到答案.【小问1详解】函数的定义域为，，由解得与在区间上的情况如下：–↘↗所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值，无极大值【小问2详解】由（1）知，在区间上的最小值为因为存在零点，所以，从而当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点【小问3详解】设，①若，则，符合题意②若，则，故当时，，在上单调递增所以，存在，使得的充要条件为，解得③若，则，故当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增所以，存在，使得的充要条件为，而，所以不合题意综上，的取值范围是【点睛】本题考查求函数的单调区间和极值、证明给定区间只有一个零点问题，以及含参存在问题，属于难题.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接CH，延长交PD于点K，连接BK，根据E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，易得，再利用线面平行的判定定理证明.（2）建立空间直角坐标，求得的坐标，平面PBC一个法向量，代入公式求解.【详解】（1）如图所示：连接CH，延长交PD于点K，连接BK，因为设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，所以H为CK的中点，所以，又平面平面，所以平面；（2）建立如图所示直角坐标系则，所以，设平面PBC一个法向量为：，则，有，令，，设直线FH与平面所成角为，所以，因为，所以.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）对求导并求定义域，讨论、分别判断的符号，进而确定单调区间.（2）由题设，结合（1）所得的单调性，讨论、、分别确定在给定区间上的最小值，根据最小值小于零求参数a的范围.【小问1详解】由题设，且定义域为，当，即时，在上，即在上递增；当，即时，在上，在上，所以在上递减，在上递增；【小问2详解】由（1）知：若，即时，则在上递增，故，可得；若，即时，则在上递减，在上递增，故，不合题设；若，即时，则在上递减，故，得；综上，a的取值范围.20、(1)(2)【解析】解二次不等式，其中解得，解得：，取再求交集即可；写出命题所对应的集合，命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，列不等式组可求解【详解】解：(1)由，其中；解得，又，即，由得：，又为真，则，得：，故实数x的取值范围为；由得：命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，A是B的真子集，所以，即故实数m取值范围为：.【点睛】本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题21、（1）（2）①；②证明见解析，定点的坐标为【解析】（1）由所给条件确定基本量即可.（2）①代入消元，韦达定理整体思想，列出关于的方程从而得解；②由已知可知，得到关于、的一次关系式可得证.【小问1详解】由已知椭圆的右焦点坐标为，，所以，椭圆的方程：【小问2详解】①将与椭圆方程联立得.设，，则，解得，∴，，点到直线的距离为，∴，解得（舍去负值），∴.②设，，将与椭圆方程联立，得，当时，∴，，，若轴上任意一点到直线与的距离均相等，则轴为直线与的夹角的平分线，∴，即，∴.∴，解得.∴.∴直线恒过一定点，该定点的坐标为.22、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.【解析】（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1求解.

（2）根据频率分布直方图，得到成绩不低于60分的频率，再根据该校高一年级共有学生640人求解.

（3）由频率分布直方图得到成绩在[40，50)和[90，100]分数段内的人数，先列举出从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生的基本事件总数，再得到两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”的基本事件数，代入古典概型概率求解.【详解】（1）∵图中所有小矩形的面积之和等于1，∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.

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