湖南省邵阳市邵阳县第一中学2024届高二上数学期末达标检测模拟试题含解析

湖南省邵阳市邵阳县第一中学2024届高二上数学期末达标检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是A. B.C. D.2．在四面体中，，，，且，，则等于（）A. B.C. D.3．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（）A. B.C. D.4．数列1，，，的一个通项公式可以是（）A. B.C. D.5．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B.C. D.6．若，则（）A B.C. D.7．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（）A.2 B.4C.6 D.88．直线在y轴上的截距为（）A.-1 B.1C. D.9．关于x的方程在内有解，则实数m的取值范围（）A. B.C. D.10．在数列中，，，则（）A.985 B.1035C.2020 D.207011．已知等比数列{an}的前n项和为S，若，且，则S3等于（）A.28 B.26C.28或-12 D.26或-1012．已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数定义域为，值域为，则______14．等差数列的前项和为，已知，则__.15．在递增等比数列中，其前项和，若，，则_________.16．已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设上存在极大值M，证明：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，C上的点M满足，且直线的斜率之积等于（1）求C的方程；（2）过点的直线l交C于A，B两点，若，其中，证明：18．（12分）已知是等差数列，其n前项和为，已知（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前n项和19．（12分）已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上（1）求圆C的方程；（2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长值20．（12分）在平面直角坐标系中，点，直线轴，垂足为H，，圆N过点O，与l的公共点的轨迹为（1）求的方程；（2）过M的直线与交于A，B两点，若，求21．（12分）设函数.（1）若在点处的切线为，求a，b的值；（2）求的单调区间.22．（10分）已知两动圆：和：，把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，取曲线上的相异两点、满足：且点与点均不重合.（1）求曲线的方程；（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角∴当最小时，最小，则当和抛物线相切时，最小设切点，由的导数为，则的斜率为.∴，则.∴，∴故选C点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.2、B【解析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】解：由题知，故选：B.3、A【解析】由题得，进而根据余弦定理求解即可.【详解】解：依题意，即，所以，所以，由于，所以故选：A4、A【解析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可.【详解】因为，所以该数列的一个通项公式可以是；对于选项B：，所以本选项不符合要求；对于选项C：，所以本选项不符合要求；对于选项D：，所以本选项不符合要求，故选：A5、A【解析】函数在区间上单调递增，转化为导函数在该区间上大于等于0恒成立，进而求出结果.【详解】由题意得：在区间上恒成立，而，所以.故选：A6、D【解析】直接利用向量的坐标运算求解即可【详解】因为，所以，故选：D7、B【解析】根据，，三点共线，结合点到准线的距离为2，得到，再利用抛物线的定义求解.【详解】如图所示：∵，，三点共线，∴是圆的直径，∴，轴，又为的中点，且点到准线的距离为2，∴，由抛物线的定义可得，故选：B.8、A【解析】把直线方程由一般式化成斜截式，即可得到直线在轴上的截距.【详解】由，可得，则直线在轴上的截距为.故选：A9、A【解析】当时，显然不成立，当时，分离变量，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】当时，可得显然不成立；当时，由于方程可转化为，令，可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取唯一的极大值，也是最大值，所以，所以，即，所以实数m的取值范围.故选：A.10、A【解析】根据累加法得，，进而得.【详解】解：因为所以，当时，，，……，，所以，将以上式子相加得，所以，，.当时，，满足；所以，.所以.故选：A11、C【解析】根据等比数列的通项公式列出方程求解，直接计算S3即可.【详解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，当时，，所以，当时，，所以，故选：C12、B【解析】由渐近线方程，设出双曲线方程，结合与椭圆有相同的焦点，求出双曲线方程.【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程为：∴设双曲线：∵双曲线与椭圆有相同的焦点∴，解得：∴双曲线的方程为.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得的值，进而得解.【详解】因为，由余弦函数的图像与性质可得，则，由值域为可得，所以，故答案为：3.【点睛】本题考查了余弦函数图像与性质的简单应用，属于基础题.14、【解析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质即可求出.【详解】因为等差数列的前项和为，，则，故答案为：33.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题.15、【解析】根据等比数列下标和性质得到，从而解出、，即可求出公比，从而求出，，即可得解；【详解】解：因为，所以，因为，所以、为方程的两根，所以或，因为为递增的等比数列，所以，所以所以或（舍去），所以，，所以故答案为：16、（1）在单调递增，单调递减；（2）详见解析.【解析】（1）求得，利用和即可求得函数的单调性区间；（2）求得函数的解析式，求，对的情况进行分类讨论得到函数有极大值的情形，再结合极大值点的定义进行替换、即可求解.【详解】（1）由题意，函数，则，当时，令，所以函数单调递增；当时，令，即，解得或，令，即，解得，所以函数在区间上单调递增，在区间中单调递减，当时，令，即，解得或，令，即，解得，所以函数在单调递增，在单调递减.（2）由函数，则，令，可得令，解得，当时.，函数在单调递增，此时，所以，函数在上单调递增，此时不存在极大值，当时，令解得，令，解得，所以上单调递减，在上单调递增，因为在上存在极大值，所以，解得，因为，易证明，存在时，，存在使得，当在区间上单调递增，在区间单调递减，所以当时，函数取得极大值，即，，由，所以【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）由椭圆定义可得到，再利用斜率公式及直线的斜率之积等于，列出方程，化简对比系数可得；（2）分直线l的斜率为0和不为0两种情况讨论，利用可得到T在定直线上，且该直线是的中垂线即可得到证明.【小问1详解】因为C上的点M满足，所以C表示焦点在x轴上的椭圆，且，即，，所以，设，则，①所以直线的斜率，直线的斜率，由已知得，即，②由①②得，所以C的方程为【小问2详解】当直线l的斜率为0时，A与重合，B与重合，，，成立.当直线l的斜率不为0时，设l的方程为联立方程组，消x整理得所以，解得或设，则，由，得，所以设，由，得，所以，所以，所以点T在直线上，且，所以是等腰三角形，且，所以，综上，【点睛】关键点点晴：本题第二问突破点是证明T在定直线上，且该直线是的垂直平分线，从而得到，考查学生的数学运算能力，转化化归思想.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，列出方程组，求得首项和公差，即可写出通项公式；（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，即可求得.【小问1详解】因为是等差数列，其n前项和为，已知，设其公差为，故可得：，，解得，又，故.【小问2详解】由（1）知，，又，故.即.19、（1）（2）【解析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.【小问1详解】由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为；【小问2详解】由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：20、（1）；（2）.【解析】(1)设出圆N与l的公共点坐标，再探求出点N的坐标，并由圆的性质列出方程化简即得.(2)设出直线AB的方程，与的方程联立，结合已知条件并借助韦达定理计算作答.【小问1详解】设为圆N与l的公共点，而直线轴，垂足为H，则，又，，于是得，因O，P在圆N上，即，则有，化简整理得：，所以的方程为.【小问2详解】显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为，，由消去x并整理得：，则，因为，则点A到x轴距离是点B到x轴距离的2倍，即，由解得或，则有，因此有，所以.21、（1），；（2）答案见解析.【解析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.【小问1详解】的定义域为，，因为在点处的切线为，所以，所以；所以把点代入得：.即a，b的值为：，.【小问2详解】由（1）知：.①当时，在上恒成立，所以在单调递减；②当时，令，解得：，列表得：x-0+单调递减极小值单调递增所以，时，的递减区间为，单增区间为.综上所述：当时，在单调递减；当时，的递减区间为，单增区间为.【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解