数学建模在科技发展中的作用

数学建模在科技发展中的作用数学建模在科技发展中的作用数学建模在科技发展中的作用第一页，共45页。

以19、20世纪为例，数学催生了流体力学、电磁理论、相对论、量子力学、计算机、信息论、控制论、现代经济学、万维网和互联网搜索引擎、生物学、CT等重要理论或技术.20世纪上半世纪,数学虽然直接为工程技术提供一些工具,但基本方式是间接的:先促进其他科学的发展,再由这些科学提供工程原理和设计的基础.数学大多情况下只是幕后的无名英雄.

一、 数学研究成果往往是重大科学发明的催生素

2第二页，共45页。现在,数学无处不在,数学和工程技术之间,在更广阔的范围内和更深刻的程度上,直接地相互作用着,极大地推动了科学和工程科学的发展,也极大地推动了技术的发展.数学不仅是幕后的无名英雄,很多方面开始走向“前台”.但是对数学的极端重要性迄今尚未有共识,取得共识对加强一个国家的竞争力来说是至关重要的.

3第三页，共45页。戴维(E.David,曾任尼克松总统的科学顾问)在1984年说的一段话：“…对数学研究的低水平的资助只能来自对于数学研究带来的好处的完全不妥的评价,显然,很少有人认识到当今被如此称颂的‘高技术’本质上是数学技术.”

二、 高技术本质上是数学技术.4第四页，共45页。

钱学森教授1989年在中国数学会数学教育及科研座谈会上的讲话中说:“但是他(指美国Brown大学教授、应用数学家谢定裕)的题目叫“数学科技”,我想不叫“数学科技”,这是数学技术,即怎样给一个方法,能使科学的理论通过电子计算机解答具体的科学技术问题.这包括两个方面,第一就是要会用电子计算机,会指挥它去算.第二是电子计算机给出的解答,在荧光屏上显示出来,能够理解它,别让它给唬住了.我觉得后一个关于理解的问题,就是要从宏观的整体角度去认识,这也是数学问题.”5第五页，共45页。美国科学基金会数学部主任Eisenstein在评述该基金会把数学科学列为2002-2006该基金会五大创新项目(其他四个分别为:环境中的生物复杂性,信息技术研究,纳米科学和工程,以及21世纪的劳动力)之首时所说的,“该重大创新项目背后的推动力就是一切科学和工程领域的数学化(Mathematization).”

三、 21世纪是科学和工程数学化(Mathematization)的世纪.6第六页，共45页。

Eisenstein说.“还有，数学带给其他科学的‘附加值’现在是比过去更加看得见了.其他科学认识到的这种‘附加值’是该创新项目的主要推动力量.”****************************************************************“鉴于数学研究的范围无限广阔，这门科学，即使是现代数学，也还处于婴儿时期。在今后两千年内，在人类思想领域里具有压倒性的新情况，将是数学地理解问题占统治地位。”7第七页，共45页。数学模型(MathematicalModel)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述.数学建模(MathematicalModeling)则是获得该模型并对之求解、验证并得到结论的全过程.数学建模不仅是了解基本规律,而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模的系统的行为的强有力的工具.

四、什么是数学建模下面的框图是数学建模的具体过程：8第八页，共45页。观察、分析实际问题

↓

→→→→→→

↑

抽象、简化，确定变量和参数

利用某种“定律”建立变量和参数

间的确定的关系(数学问题,这个层次上的一个数学模型)

↓

↓

解析或“近似”地求解该数学问题（数学模型）

↓解释、验证、预测和发现新的现象

↑

↑

↑通不过↓通过

可应用该数学模型来预测或模拟(仿真)

9第九页，共45页。定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程

数学建模的难点观察、分析实际问题,作出合理的假设,明确变量和参数,形成明确的数学问题.不仅仅是翻译的问题;涉及的数学问题可能是复杂、困难的,求解也许涉及深刻的数学方法.如何作出正确的判断,寻找合适、简洁的(解析或近似)解法;如何验证模型.简言之:

合理假设、数学问题、解释验证.记住这12个字,将会终生受用.

10第十页，共45页。MathematicalContestinModeling(MCM,1985～)美国大学生数学建模竞赛InterdisciplinaryContestinModeling(ICM,1999～)美国大学生跨学科建模竞赛ChinaUndergraduateMathematicalContestinModeling(CUMCM,1992～)中国大学生数学建模竞赛

五、重要的数学建模赛事11第十一页，共45页。中国大学生参加美国大学生数学建模竞赛情况MCM–2010

总参赛队2254支，中国队1844支,占82%中国大学生数学建模竞赛情况CUMCM–2009

总参赛学校1137个，总参赛队15042支12第十二页，共45页。《物理学及偏微分方程》,李大潜、秦铁虎编著,(上册,1997;下册,2000),高等教育出版社.

六、物理方面的数学模型举例13第十三页，共45页。20世纪最大的科学成就莫过于Einstein(爱因斯坦)的狭义和广义相对论了,但是如果没有Riemann(黎曼)于1854年发明的Riemann几何,以及Cayley(凯莱),Sylvester(西勒维斯特)和Noether(诺特)等数学家发展的不变量理论,Einstein的广义相对论和引力理论就不可能有如此完善的数学表述.Einstein自己也不止一次地说过.

6.1相对论14第十四页，共45页。

1907年德国数学家H.Minkowski(1864～1909)提出了“Minkowski空间”,即把时间和空间融合在一起的四维空间.Minkowski几何为Einstein狭义相对论提供了合适的数学模型.“没有任何客观合理的方法能够把四维连续统分离成三维空间连续统和一维时间连续统.因此从逻辑上讲,在四维时空连续统(space-timecontinuum)中表述自然定律会更令人满意.相对论在方法上的巨大进步正是建立在这个基础之上的,这种进步归功于闵可夫斯基(Minkowski).”阿尔伯特·爱因斯坦

15第十五页，共45页。

有了Minkowski时空模型后,Einstein又进一步研究引力场理论以建立广义相对论.1912年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理,但是为了实现广义相对论的目标,还必须寻求理论的数学结构,Einstein为此花了3年的时间,最后,在数学家M.Grossmann的介绍下学习掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具—以Riemann几何和Ricci,Levi-Civita的绝对微分学,也就是Einstein后来所称的张量分析.

16第十六页，共45页。

从数学建模的角度看,广义相对论讨论的中心问题是引力理论,其基础是以下两个假设:

等效原理和广义协变性。（1）广义相对性原理,即认为物理学定律不依赖于表示时间、空间的四维微分流形(时空流形)的局部坐标的选取方法.这样,物理量用时空流形上的张量表示,而物理学定律用张量方程写出;

（2）等效原理,惯性力场及引力场的动力学效应是局部不可分辨的.

17第十七页，共45页。

从数学建模的角度看,广义相对论讨论的中心问题是引力理论,其基础是以下两个假设:

等效原理和广义协变性。（1）广义相对性原理,即认为物理学定律不依赖于表示时间、空间的四维微分流形(时空流形)的局部坐标的选取方法.这样,物理量用时空流形上的张量表示,而物理学定律用张量方程写出;

（2）等效原理,惯性力场及引力场的动力学效应是局部不可分辨的.

18第十八页，共45页。

由此借助关于弯曲空间的黎曼几何的数学工具可推导出广义相对论引力场方程,得到引力场中的时间和空间具有弯曲的性质,物质的运动分布使时空弯曲,引力会使光线偏转,以及引力场中的光谱红移,行星近日点的精确进动,雷达回波的延迟等推论.在1915年11月25日发表的一篇论文中Einstein终于导出了广义协变的引力场方程

就是Riemann度规张量.Einstein指出:“由于这组方程,广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成!”

19第十九页，共45页。广义相对论的数学表达第一次揭示了非欧几何的现实意义,成为历史上数学应用最伟大的例子之一.Einstein关于光线经过太阳引力场会弯曲的预言,在1919年5月29日由英国皇家学会科学考察队的天文学家爱丁顿爵士(SirArthurStanleyEddington,1882,12,28~1944,11,22)等人在几内亚湾普林西比岛对日全食的观察结果、所摄照片以及随后的计算所证实.

20第二十页，共45页。德国女数学家诺特(AmalieEmmyNoether)证明了一条重要的数学定理:动力学体系(动力系统)的每一种连续对称性都对应一个物理守恒量.时间的平移不变性对应于能量守恒定律,空间的平移不变性对应于动量守恒定律.“EmmyNoether埃米·诺特(纳脱)(1882,3,23～1935,4,14)发明了一条数学原理，叫作“纳脱定理”，这条定理成为量子物理学的基石.纳脱的计算帮助爱因斯坦得出他的广义相对论.爱因斯坦自己曾承认:“事实上,我是通过她才能在这一领域内有所作为的.”21第二十一页，共45页。Heisenberg(海森伯),WernerKarl(1901,12,5～

1976,2,1),

德国物理学家、哲学家和社会活动家,为创立量子力学作出贡献,创立矩阵力学和提出著名的“测不准(不确定性)原理”.由于“创立量子力学，而这种力学的应用导致了许多发现，包括氢的同质异形体的发现”而获得1932年Nobel物理学奖.被公认为20世纪创新的思想家之一.1920年进慕尼黑大学,1923年获博士学位.1925年7月完成了具有历史意义的论文“关于运动学和动力学关系的量子论的新解释”.

6.2量子力学22第二十二页，共45页。

他不考虑原子是什么,只考虑它们做什么.他用数组去描写原子的能量、跃迁等,发现了这些数组遵循的规则,并用这些规则来处理原子过程.海森伯的理论由三部分组成:量子论的运动学表达式;量子论的的动力学表达式;讨论了一个简单非谐振子的应用例子,其论述过程贯穿着对应原理的指导.在论文的结束语中,他希望通过对数学方法的更透彻的研究,

来决定他的这种“利用可观察量之间的关系”建立起的量子力学“在原则上是否令人满意”.

23第二十三页，共45页。Dirac(狄拉克),PaulAdrienMaurice(1902,8,8～1984),英国理论物理学家，量子力学的创始人之一.他相信数学上的近似法可以表达自然的基本规律.1933年及奥地利物理学家ErwinSchrodinger(薛定谔,1887-1961)一起“因创立原子理论的新形式”共获Nobel物理学奖.

24第二十四页，共45页。1931年狄拉克用他发现的描述电子运动和自旋的方程奠定了量子电动力学的基础,它把量子理论和狭义相对论结合起来.在获知海森伯的新的量子力学后不久发表多篇文章,用他新的观点丰富了这个理论.他的理论包括了“矩阵力学”和“波动力学”作为其特殊情形.从他的理论(Dirac方程等)推导出了存在正电子(反物质).

25第二十五页，共45页。

薛定谔1910年在维也纳大学物理系获博士学位.1926年上半年,“作为本征值问题的量子化”为总题目,连续发表6篇论文,发展了波动力学的理论,他建立了及光的波动方程类似的物质波波动方程。

普朗克说:“薛定谔方程奠定了近代量子力学的基础,就像Newton,Lagrange和Hamilton(1805～1865)创立的方程在经典力学中所起的作用一样.”26第二十六页，共45页。

量子力学的创始人之一波·狄拉克指出，创建物理理论时,“不要相信所有的物理概念”,那么应该相信什么呢?“相信数学方案，甚至表面上看去，它及物理学并无联系.”的确，本世纪初期的所有纯物理概念被物理学摒弃，而被物理学家作为武器的数学模型却逐渐有了物理内容，同时，也显示了数学的稳定性.”27第二十七页，共45页。麦克斯韦，Maxwell,JamesClerk(1831,6,13

～1879,11,5)……由于他对许多分支带有根本性的贡献，使他在物理学家中的名声仅次于牛顿.

虽然场的理论的起源应归功于英国物理学家

M.

法拉第,

但法拉第不是数学家，他没能发展这个概念.经过麦克斯韦之手，电场理论得到了精确的描述，成为以后所有场论的模式.

6.3电磁理论Maxwell'sEquations28第二十八页，共45页。

法拉第(MichaelFaraday,1791,9,2～1867,8,25)英国物理学家、化学家,发现电磁感应现象、电解定律以及光及磁的基本关系.

麦克斯韦说:“当我开始研究法拉第时,我发觉他考虑现象的方法也是数学的,尽管没有以通常的数学符号的形式来表示;我还发现,他们完全可以用一般的数学形式表示出来,而且可以和专业数学家的方法相媲美.”他决心把法拉第的天才思想用清晰准确的数学形式表示出来.

29第二十九页，共45页。麦克斯韦方程组(Maxwell'sEquations)

广义安培电路定律

法拉第磁感应定律

库仑定律或称电场的高斯定律

磁场的高斯定律

其中

r是电荷密度，J

是电流密度，E

是电场强度，B是磁通量密度，D

是电位移,

H是磁场强度.

麦克斯韦方程组概括了当时已知的有关电磁现象的一切实验结果,并根据这个理论得出结论:存在电磁波,它在真空中的传播速度等于光速,光的本质是电磁波,电磁波会产生压力等.1883年实验证实了他的理论.30第三十页，共45页。7.1信息时代和C.E.Shannon(香农)通信的数学理论、密码学

七、计算机方面的数学模型举例

1936年在Michigan大学获数学和电气工程两个学士学位.然后他去了MIT.1936年在贝尔实验室完成了最出色的硕士论文,1938年以《继电器和开关电路的符号发现》为题发表.在该文中他指出19世纪GeorgeBoole的《LawsofThoughts》中的逻辑代数为开关电路提供了极其完美的数学模型(实际上为后来的数字电路和计算机的“逻辑设计提供了数学模型”).

31第三十一页，共45页。

1940年获得美国综合工程协会著名的AlfredNoble.1938年Shannon决定为孟德尔的遗传法则在数学上找一个合理的立足点,其结果就是他在MIT的数学博士论文《现代遗传学代数》(1940).1940～41年他到普林斯顿高等研究院在著名数学家HermannWeyl门下学习,在那里他开始考虑从一个全新的更合适的数学基础上来重新看待通信.…他的传世功绩是他在1948年发表的《通信的数学理论(AMathematicalTheoryofCommunication)》及其所掀起的持续的信息技术革命.

32第三十二页，共45页。

Shannon首次把特定系统的信息传输作为研究对象,揭示信息的接受、传输、加工、发送和反馈中的规律,并用量化的理论描述它,从而把古代通信的实践和现代通信技术中共性的原理和概念融合为一体,给通信技术的发展和人们观念的更新提供理论指导.

33第三十三页，共45页。7.2WWW万维网

Timothy(Tim)JohnBerners-Lee爵士

(英国计算机科学家,1955,06,08~),1980年作为CERN(theEuropeannuclearresearchlab,欧洲核子研究中心)的独立合约人为了推进研究人员之间分享和更新信息,

提出了一个在超文本(hypertext)概念的基础上的课题建议,在RobertCailliau的帮助下建立了一个称为Enquire的原型系统.1984年作为研究员回到CERN利用在Enquire中用到的类似的思想创建了万维网,并设计制造了第一个浏览器,称为WorldWideWeb和称为httpd的第一个webserver(服务器).

34第三十四页，共45页。

互联网(Internet)的起源是1969年美国国防部建立的称为ARPANET(阿帕网)的分散型网络模型.

35第三十五页，共45页。7.3Google(谷歌)

LawrenceE.Page(LarryPage,拉里•佩奇,1973,03,26~)他是Stanford大学计算机科学专业研究生,他父亲是计算机科学家和人工智能专家.网络真正吸引Page的是它的数学特征,每台电脑都是一个节点,而网页上的链接就是节点间的联系,这就是数学上的图.整个互联网就是有史以来人们创造的最大的图,可以有几十亿个节点.

36第三十六页，共45页。

SergeyMikhailovichBrin(谢尔盖•布兰,1973,08~)他也是Stanford大学计算机科学专业研究生,他父亲是数学家和经济学家,1979年逃离苏联,移民美国.

他们于1998年创建了Google(谷歌)公司,2000年就成为全球最大的搜索引擎.主要靠两个数学模型:称为PageRank的算法和一个新的广告拍卖数学模型.37第三十七页，共45页。

八、生物学方面的数学模型举例生态学(Ecology)差分和常、偏微分方程流行病学(Epidemiology)差分和常、偏微分方程计算机X射线断层造影术(ComputerTomography=CT)Radon(拉东)变换(多变量函数的及Fourier变换有关的一种积分变换),1917年由J.Radon引入科马克(AllanM.Cormack,美国)和豪恩斯费尔德(GodfreyN.Hounsfield,英国)因为研究发明此方法而获1979Nobel生理学或医学奖.

38第三十八页，共45页。SirAlanLloydHodgkin，艾倫·勞埃德·霍奇金爵士,1914,02,05~1998,12,20,SirAndrewFieldingHuxley，安德鲁·赫胥黎爵士，都是英国生理学家和生物物理学家,由于1950年代研究神经轴突的动作电位而共同获得1963年諾貝爾生理學或醫學獎)利用他们自己对神经元的测量研制了解释神经元行为的一个动力学数学模型.39第三十九页，共45页。

九、经济学方面的数学模型举例Nobel经济学奖基本上是在对经济行为的观察、洞察、分析和提炼机理的基础