七年级数学思维探究(18)整式的乘除含试卷分析详解

牛顿（），英国数学家、物理学家、天文学家．牛顿对数学的最大贡献是创立了流数术（微积分），建立了二项式定理及“广义的算术”（代数学），他的名作《自然哲学数学原理》用数学与知识解释了哥白尼学说和天体运动的现象，阐明了运动三定理和万有引力定理，建立了求方程近似根的法则，后人以其突出的贡献，把他与阿基米德、高斯并称为历史上最伟大的数学家．18．整式的乘除解读课标数有乘、除、乘方运算，代数式也有相应的运算．整式的乘除法的各个运算之间存在着内在的联系，是可以相互转化的．多项式与多项式相乘可以通过转化变成单项式与多项式相乘，再通过转化变成单项式相乘，最后化为同底数幂的乘法进行运算；类似的，多项式除以多项式最后可化为同底数幂的除法进行运算．因此，幂的运算是整式乘除的基础．问题解决例1（1）若为不等式的解，则的最小正整数的值为_______．（2）已知，那么_______．试一试对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），就目前无法求出的值，恰当地运用条件，把高次项用低次多项式表示，如，等．例2把，，，这个数从小到大排列，正确的是（）．A．B．C．D．试一试指数，，，的最大公约数为，把不同指数的幂化成同指数的幂．例3设、、、都是正整数，并且，，，求的值．试一试设，，这样、可用的式子表示，、可用式子表示，通过减少字母的个数降低问题的难度．例4设．求：（1）的值；（2）的值．试一试通过展开式去求出每一项系数，这样做计算繁难．事实上，上列等式在的允许值范围内取任意值代入计算，等式都成立，注意的幂的特征，用赋值法求解．例5已知多项式能被整除，求的值．解法一用赋值法解设，其中为多项式．令代入上式，得，．解法二用待定系数法解设，即，对比得，，，．对称之美例6观察下列等式：，，，，，……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：①_______=______；②______________．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含、），并证明．分析与解观察规律，左边：两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边：三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律填空并进行一般式的证明．（1）①，；②，．（2）一般规律的式子为证明左边，右边，左边=右边．数学冲浪知识技能广场1．满足的的最小正整数为_______．2．如果，那么________．3．探索规律：，个位数字是；，个位数字是；，个位数字是；，个位数字是；，个位数字是；，个位数字是；…那么的个位数字是________，的个位数字是________．4．计算（1）________；（2）_________．5．如果，那么代数式的值为（）．A．B．C．D．6．已知，，，则、、的大小关系是（）．A．B．C．D．7．已知，，，则、、的关系是（）．A．B．C．D．8．化简得（）A．B．C．D．9．已知，试确定、、的值．10．探索、研究仪器箱按如图所示方式堆放（自下而上依次为第一层、第二层……），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数与层数之间满足关系式，，为整数．（1）例如：当时，，则_______，_______．（2）第层比第层多堆放多少个仪器箱？（用含的代数式表示）（3）如果不考虑仪器箱承受的压力，请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层？并说明理由（4）设每个仪器箱重（牛顿），每个仪器箱能承受的最大压力为，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．①若仪器箱仅堆放第一、二两层，求第一层中每个仪器箱承受的平均压力．②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层？为什么？思维方法天地11．如果，那么________．12．已知，则________．13．（1）与的大小关系是_______（填“>”、“<”或“=”）．（2）与的大小关系是________（填“<”、“>”或“=”）．14．已知，，则等于（）．A．B．C．D．15．满足的整数有（）个．A．B．C．D．16．若，则（）．A．B．C．D．17．是否存在整数、、满足若存在，求出、、的值；若不存在，说明理由．18．设、、、都是非零自然数，且，，，求的值．应用探究乐园19．已知，，是整数，且，，求的值．20．纪念活动中的数学题年，在美国举行了建国周年纪念活动．在某中学的黑板报《一日一题》栏中有一道有趣的题目：的最后两位数字是什么？黑板报前面围着一大群学生，大家议论纷纷，小马克看了看题目，伸出了舌头：“哟！的次方，年．美国第一任总统华盛顿宣布建立美利坚合众国，确实值得纪念．但是要把连乘次，才能找出最后的末尾两位数字，恐怕不知要算到何时；也不知要用掉多少草稿纸哩．”请读者研究一下这个数的特点，不用小马克的呆办法，而立即把答案说出来？

18．整式的乘除问题解决例1（1），，的最小值为；（2）例2D，，，．例3，，，，由得，即，因是质数，、是自然数，且，得，解得，，所以．例4（1）当时，得．故原式．（2）由展开并比较系数的符号，得，，，，，，则原式（显然）．数学冲浪1．2．3．；4．（1）（2）5．C6．A7．B，，得．8．C9．，，10．（1）；．（2），即第层比第层多堆放个仪器箱．（3），由条件得，当时，，故仪器箱最多可以堆放层．（4）①②仪器箱最多可以堆放层．11．12．令代入13．（1），．（2）提示：设．14．B①，②，①×②，得，得．15．D由且，得；由，得，；由且是偶数，得．16．A17．原式可化为，得，解得．18．参见例3得，，．19．方程两边同乘以，得．因为，要使上式左边为奇数，只有，即．则，即．要使上式左边为奇数，只有，即．从而有，即．故