吉林一中 2023年数学高二上期末达标检测试题含解析

吉林一中2023年数学高二上期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和为石，则“衰分比”为（）A. B.C. D.2．已知双曲线C：-＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，若过原点倾斜角为的直线与双曲线C左右两支交于M、N两点，且MF1NF1，则双曲线C的离心率是（）A.2 B.C. D.3．“冰雹猜想”数列满足：，，若，则（）A.4 B.3C.2 D.14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.8 B.16C. D.5．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（）A.2 B.4C.6 D.86．某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发，沿处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为（）A.1分钟 B.分钟C.2分钟 D.分钟7．已知函数，则（）A.1 B.2C.3 D.58．如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（）A.当时，平面 B.当时，平面C.当为直角三角形时， D.当的面积最小时，9．在等差数列中，为其前项和，若．则（）A. B.C. D.10．已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，点是的右支上一点，且，，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.12．已知两个向量，，且，则的值为（）A.-2 B.2C.10 D.-10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．用秦九韶算法求函数，当时的值时，___________14．在等比数列中，若，是方程两根，则________.15．已知向量，，且，则实数______.16．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=3，AA1=4，P是侧面BCC1B1上的动点，且AP⊥BD1，记点P到平面ABCD的距离为d，则d的最大值为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.（1）求动点P的轨迹的方程；（2）过点的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.18．（12分）已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2,、分别为其左、右焦点．请从下列两个条件中选择一个作为已知条件,完成下面的问题:①过点且斜率为1的直线与椭圆E相切;②过且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P,且的面积为．(只能从①②中选择一个作为已知)（1）求椭圆E的方程;（2）过点的直线l与椭圆E交于A,B两点,与直线交于H点,若,．证明:为定值19．（12分）“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额（百元）的频率分布直方图如图1所示：（1）利用图1，求网民消费金额的平均值和中位数；（2）把下表中空格里的数填上，能否有的把握认为网购消费与性别有关.男女合计30合计45附表：P(χ2≥k0)0.100.050.012.7063.8416.635参考公式：χ2＝.20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线交于，其中的周长为的离心率为.（1）求的方程；（2）已知的重心为，设和的面积比为，求实数的取值范围.21．（12分）等差数列前n项和为，且（1）求通项公式；（2）记，求数列的前n项和22．（10分）在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设曲线与直线交于，两点，求线段的中点的直角坐标及的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可【详解】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，又由今共有粮食石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和为164石，则，，解得：，，故选：A2、C【解析】根据双曲线和直线的对称性，结合矩形的性质、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理进行求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为F2，过原点倾斜角为的直线为，设M、N分别在第三、第一象限，由双曲线和直线的对称性可知：M、N两点关于原点对称，而MF1NF1，因此四边形是矩形，而，所以是等边三角形，故，因此，因为，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性质可知：，由双曲线的定义可知：，故选：C【点睛】关键点睛：利用矩形的性质、双曲线的定义是解题的关键.3、A【解析】根据题意分别假设为奇数、偶数的情况，求出对应的即可.【详解】由题意知，因为，若为奇数时，，与为奇数矛盾，不符合题意；若为偶数时，，可得，符合题意.不符合故选：A4、C【解析】画出直观图，利用椎体体积公式进行求解.【详解】画出直观图，为四棱锥A-BCDE，其中BC=4，BE=2，AE=2，且BE，AE，DE两两垂直，故体积为.故选：C5、B【解析】根据，，三点共线，结合点到准线的距离为2，得到，再利用抛物线的定义求解.【详解】如图所示：∵，，三点共线，∴是圆的直径，∴，轴，又为的中点，且点到准线的距离为2，∴，由抛物线的定义可得，故选：B.6、C【解析】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，求得直线和圆的方程，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得的长，进而求得持续监测的时长.【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则，，可得，圆记从处开始被监测，到处监测结束，因为到的距离为米，所以米，故监测时长为分钟故选：C.7、C【解析】利用导数的定义，以及运算法则，即可求解.【详解】，，所以，所以故选：C8、D【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；【详解】解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，因为，所以，所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以对于A：若平面，则，则，解得，故A错误；对于B：若平面，则，即，解得，故B错误；当为直角三角形时，有，即，解得或（舍去），故C错误；设到的距离为，则，当的面积最小时，，故正确故选：9、C【解析】利用等差数列的性质和求和公式可求得的值.【详解】由等差数列的性质和求和公式可得.故选：C.10、A【解析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式、充分性、必要性的定义进行求解判断即可.详解】当时，有，显然由，但是由不一定能推出，故选：A11、B【解析】画出图形，利用已知条件转化求解，关系，利用，解得，即可得到双曲线的方程【详解】由题意双曲线的图形如图，连接与轴交于点，设，，因为，所以，因为，所以，则，因为点是的右支上一点，所以，所以，则，因为，所以，，由勾股定理可得：，即，解得，则，所以双曲线的方程为：故选：B12、C【解析】根据向量共线可得满足的关系，从而可求它们的值，据此可得正确的选项.【详解】因为，故存在常数，使得，所以，故，所以，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0【解析】利用秦九韶算法的定义计算即可.【详解】故答案为:014、.【解析】由题意求得，，再结合等比数列的性质，即可求解.【详解】由题意知，，是方程的两根，可得，，又由，，所以，，可得，又由，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15、【解析】利用向量平行的条件直接解出.【详解】因为向量，，且，所以，解得.故答案为：.16、##【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标之间的关系，以及坐标的范围，即可求得结果.【详解】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系如下所示：设，则，，∵，∴，解得，因为，所以c的最大值为，即点P到平面的距离d的最大值为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在，T(0，1)﹒【解析】(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨迹方程；(2)假设存在T(0，t)，设AB方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入＝0即可求出定点T.【小问1详解】由题可知，，则，由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆，∴，∴，∴P的轨迹方程为C：；【小问2详解】假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为，联立，化为，易知恒成立，∴(*)由题可知，将(*)代入可得：即∴，解，∴在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T.18、（1）（2）证明见解析【解析】(1)选①:直线与椭圆联立,利用判别式为0求解;选②:利用通径公式即可(2)用直线参数方程的几何意义求解【小问1详解】选①:由题知,过点且斜率为1的直线方程为联立,得由,得所以椭圆的方程为选②:由题知,所以由,得所以椭圆的方程为【小问2详解】证明:设直线的参数方程为(为参数)设A,B,H对应的参数分别为,显然将代入椭圆,得即.所以将代入直线,得由,得,所以由,得,所以所以所以为定值【点睛】关键点点睛：直线的参数方程作为一种工具，要充分发挥它的作用，参数的几何意义并不局限于加绝对值表示距离，还要注意方向性.请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分19、（1），（2）列联表见解析，没有【解析】（1）根据平均数的定义求平均数，由于前2组的频率和恰好为，从而可求出中位数，（2）根据频率分布表结合已知的数据计算完成列联表，然后计算χ2公式计算χ2，再根据临界值表比较可得结论【小问1详解】以每组的中间值代表本组的消费金额，则网民消费金额的平均值为0.频率直方图中第一组、第二组的频率之和为，中位数；【小问2详解】把下表中空格里的数填上，得列联表如下；男女合计252550203050合计4555100计算，所以没有的把握认为网购消费与性别有关.20、（1）（2）【解析】（1）已知焦点弦三角形的周长，以及离心率求椭圆方程，待定系数直接求解即可.（2）第一步设点设直线，第二步联立方程韦达定理，第三步条件转化，利用三角形等面积法，列方程，第四步利用韦达定理进行转化，计算即可.【小问1详解】因为的周长为，的离心率为，所以，，所以，，又，所以椭圆的方程为.【小问2详解】方法一：，，的面积为，的面积为，则，得，①设，与椭圆C方程联立，消去得，由韦达定理得，.令，②则，可得当时，当时，所以，又解得③由①②③得，解得.所以实数的取值范围是.方法二：同方法一可得的面积为，的面积为，则，得，①设，与椭圆C方程联立，消去得，由韦达定理得，.所以因为，所以解得②由①②解得.所以实数的取值范围是.21、（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件求，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式.（2）求得，利用裂项相消法即可求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，解得，所以，故数列的通项公式；【小问2详解】由（