人大版微积分第三版课件6-3

二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼兹公式一、引例第三节微积分基本定理通过上一节课的学习，我们知道利用定义计算定积分非常繁琐。如果被积函数较为复杂，其困难程度可想而知。因此，我们急需寻求一种新的计算方法；而本次课学习的牛顿–莱布尼兹公式恰恰为我们提供了一种计算定积分的好方法。一）新课引入：二）讲授新课：Problem:该问题用定积分可表示为求下述极限问题:Howtosolveit?It’snotveryeasy!一、引例(Introduction)

在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性

.考察定积分记积分上限函数二、积分上限函数及其导数积分上限函数的性质证由积分中值定理得定理2（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.积分上限的函数是表示函数关系的一种新的方法.用这种方法表示的函数在物理,化学,统计学中有广泛的应用.例如,以法国著名物理学家弗雷斯纳尔(AugustinFresnel,1788~1827)的名字命名的弗雷斯纳尔函数：这个函数最初出现在光波衍射理论中，现在它已经被应用于高速公路的设计．Problem:研究函数S(x)性质：单调性，极值点，凹凸性，拐点，渐进线．变限积分求导:变限积分求导:例1.

求例2.例3.Exercises:三、牛顿–莱布尼兹公式(N-LFormula)(积分形式)

证:根据定理1,故因此得记作定理2.函数

,则注意求定积分问题转化为求原函数的问题.N-LFormula微积分学的创立：创作起始年代发表年代牛顿16651687莱布尼兹16751684，1686

17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹分别在前人大量工作的基础上先后发现了微分和积分的关系。他们的发现标志着微积分学的最终创立。英国派代表人物：泰勒，马克劳林欧洲大陆派代表人物：伯努利兄弟FirstpublishedproofbyBarrow(1670)IsaacBarrowDiscoveredbyNewton(1666,unpublished);andbyLeibniz(1673)IsaacNewtonGottfriedLeibniz例6.

计算正弦曲线的面积.

解:哇!:Howeasyitis!NOTATION例6揭示了微积分基本定理的巨大威力．当法国数学家GillesdeRoberval在１６３５年首次获得正弦和余弦曲线下方的面积，这个问题在当时是富有挑战性的，它需要非凡的智慧，但到１６６０～１６７０年，当Barrow发现了微积分基本定理并被Newton和Leibniz深入研究后，这类问题becameveryeasy!(seeExample６)评论：数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的，复杂的东西抛到一边．例5.

计算解:例6.

计算解:例7求

解例8设求k的值,

使

例9求的极值

解例10．下面计算是否有错？解：注意到由定积分性质６