高考复习2数学课件

第二节一元二次不等式及其解法

（1）不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R的充要条件是什么？提示:（2）不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)对一切x∈R恒成立的充要条件是什么？提示:（3）不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为

的充要条件是什么？提示:1.不等式x2>x的解集是（）(A)(-∞,0)(B)(0,1)(C)(1,+∞)(D)(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】选D.由x2>x得x（x-1）>0，所以解集为(-∞,0)∪(1,+∞).2.若a＜0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2＞0的解集是（）（A）（-∞,-a)∪（5a,+∞)（B）（-∞,5a)∪（-a,+∞)（C）(5a,-a)（D）(a,-5a)【解析】选B.由x2-4ax-5a2＞0得（x-5a）(x+a)＞0，∵a＜0,∴x＜5a或x＞-a.3.已知函数则不等式f(x)≥x2的解集是（）（A）［-1,1］（B）［-2,2］（C）［-2,1］（D）［-1,2］【解析】选A.因为f(x)≥x2，所以或则或则或即-1≤x≤0或0<x≤1，所以-1≤x≤1.4.不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是_____．【解析】不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立,即(a+2)x2+4x+a-1>0对一切x∈R恒成立.若a+2=0,显然不成立；若a+2≠0，则或a>2a>2答案:（2，+∞）5.若关于x的不等式的解集是{x|0＜x＜2}，则实数m的值是______.【解析】由得x2-4x+2mx＜0即x［x-(4-2m)］＜0,∵不等式的解集为{x|0＜x＜2},∴4-2m=2,∴m=1.答案:1解一元二次不等式注意的问题：（1）在解一元二次不等式时，一般要先把二次项系数化为正数；（2）二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况.（3）一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号；（4）一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同；（5）解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.

一元二次不等式的解法【例1】已知函数解不等式f(x)>3．【审题指导】对x分x≥0、x<0进行讨论，从而把f(x)>3变成两个不等式组.【自主解答】因为所以f(x)>3或或或x>1所以原不等式的解集为{x|x>1}.【规律方法】解一元二次不等式的一般步骤（1）对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；（2）计算相应的判别式；（3）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；（4）根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集.提醒：也可以这样解一元二次不等式，首先将二次项系数转化为正数，再看能否因式分解，若能，则可得方程的两根，且大于号取两边，小于号取中间；若不能，当Δ≥0时，利用求根公式求解方程的根，而后写出解集.【互动探究】若题中函数解析式不变，不等式变为f(x)<3x+2，又该如何求解？【解析】【变式训练】解下列不等式：(1)2x2-2x+3<0;(2)-3x2-2x+8≤0;(3)10x-1≥25x2.【解析】（1）∵Δ=(-2)2-4×2×3=-20<0,∴方程2x2-2x+3=0没有实根，∴2x2-2x+3<0的解集为；（2）原不等式等价于3x2+2x-8≥0(x+2)(3x-4)≥0x≤-2或故不等式的解集为{x|x≤-2或}.（3）原不等式等价于25x2-10x+1≤0(5x-1)2≤0,∴只有当5x-1=0，即时，不等式成立.故不等式的解集为{x|}.

含参数的不等式的解法【例2】解关于x的不等式x2-(a+1)x+a≤0.【审题指导】x2-(a+1)x+a≤0可化为(x-a)(x-1)≤0,要对a与1的大小进行分类讨论.【自主解答】原不等式可化为(x-a)(x-1)≤0.(1)当a＞1时，1≤x≤a，(2)当a=1时，x=1，(3)当a＜1时，a≤x≤1.【规律方法】解答分类讨论问题的方法和步骤：（1）确定讨论对象；（2）确定分类标准，进行合理分类，不重不漏；（3）对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；（4）归纳总结，综合得出结论.【变式训练】解关于x的不等式(1-ax)2<1【解析】由(1-ax)2<1得a2x2-2ax+1<1,即ax(ax-2)<0.（1）当a=0时，不等式转化为0<0，故x无解.（2）当a<0时，不等式转化为x(ax-2)>0,即x()<0.∴不等式的解集为{x|<x<0}.(3)当a>0时，原不等式可化为x(ax-2)<0,又>0,∴原不等式的解集为{x|0<x<}.综上所述，当a=0时，原不等式的解集为；当a<0时，原不等式的解集为{x|<x<0};当a>0时，原不等式的解集为{x|0<x<}.

一元二次不等式恒成立问题【例】已知函数f(x)=mx2-mx-1,（1）若对于x∈R,f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对于x∈［1,3］,f(x)<5-m恒成立，求实数m的取值范围；【审题指导】（1）需对m的取值分m=0、m≠0进行讨论；（2）转化为最值问题，分离参数.【规范解答】（1）由题意可得m=0或m=0或-4<m<0-4<m≤0.故m的取值范围为（-4,0].(2)∵f(x)<-m+5m(x2-x+1)<6,∵x2-x+1>0,

对于x∈［1,3］恒成立，记x∈［1,3］,则g(x)在［1,3］上为减函数，∴［g(x)］min=g(3)=∴m<所以m的取值范围为（-∞,）.【规律方法】1.解决恒成立问题,一定要分清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数；2.对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.【变式备选】已知函数f(x)=mx2-mx-1,若对于m∈［1,3］,f(x)<5-m恒成立，试求实数x的取值范围.【解析】∵f(x)<-m+5(x2-x+1)m-6<0,∴(x2-x+1)m-6<0对于m∈［1,3］恒成立，记g(m)=(x2-x+1)m-6,m∈［1,3］,因为x2-x+1>0,则g(m)在［1，3］上为增函数，∴［g(m)］max=g(3)=3(x2-x+1)-6<0,∴x2-x-1<0,所以x的取值范围为().

一元二次不等式的实际应用【例3】国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每销售收入100元纳税8元（称税率为8个百分点，即8%）.为了减轻农民负担，决定降低税率.根据市场规律，税率降低x（x>0)个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.【审题指导】先表示税率调低后的税收收入，再列出不等关系式，其中税收收入=销售总额×税率.【自主解答】设税率调低后的税收总收入为y元，则y=2400m(1+2x%)×(8-x)%由题意知，0<x≤8,要使税收总收入不低于原计划的78%，有y≥2400m×8%×78%,整理得x2+42x-88≤0,解得-44≤x≤2,又0<x≤8,∴0<x≤2,所以x的取值范围是（0,2］.【规律方法】解不等式应用题的步骤【变式训练】某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R(x)满足假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律:（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？【解析】依题意得G（x)=x+2,设利润函数为f(x),则f(x)=R(x)-G(x)，所以(1)要使工厂有盈利，则有f(x)>0,因为f(x)>0或或5<x<8.2或5<x<8.21<x≤5或5<x<8.21<x<8.2.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内.（2）0≤x≤5时，f(x)=-0.4(x-4)2+3.6故当x=4时，f(x)有最大值3.6.而当x>5时f(x)<8.2-5=3.2所以当工厂生产400台产品时，盈利最大，此时只需求x=4时，（万元/百台）=240（元/台）.

恒成立问题的命题新背景【典例】（2010·天津高考）设函数,对任意x∈［1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是_______.【审题指导】将恒成立问题转化为函数的最值问题.【规范解答】因为f(mx)+mf(x)=x∈［1,+∞),显然m≠0,（1）当m>0时，∵x≥1,因为当x∈［1,+∞)时,2x2-1∈［1,+∞)，故此式对于任意x∈［1,+∞)不恒成立.（2）当m<0时，因为2x2-1的最小值为1，故<1m<-1或m>1,∴m<-1.综上m的取值范围是(-∞,-1).答案:(-∞,-1)【创新点拨】本题创新点在于把恒成立问题与函数问题巧妙地结合起来，解决本题先把参数分离，从而把恒成立问题转化为函数的最值问题，中间用了分类讨论的思想方法.一般的恒成立问题若是一元二次不等式对x∈R恒成立问题，可直接用Δ法；若是可构造我们熟悉的函数，通过变量分离的方法转化为求函数的值域问题，应用这一方法的关键是分清参数与变量.【变式训练】不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）(A)(-∞,-1］∪［4,+∞)(B)(-∞,-2］∪［5,+∞)(C)［1,2］(D)(-∞,1］∪［2,+∞)【解析】选A.因为-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4,不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意x恒成立，所以a2-3a≥4即a2-3a-4≥0,解得a≥4或a≤-1.1.(2011·泉州模拟)下列不等式中与lg(x-2)≤0同解的是()(A)(x-3)(2-x)≥0(B)(C)(D)(x-3)(2-x)>0【解析】选B.因为lg(x-2)≤0的解是2<x≤3；对于A：(x-3)(2-x)≥0的解是2≤x≤3;对于B：的解是2<x≤3；对于C：的解是2≤x<3；对于D：(x-3)(2-x)>0的解是2<x<3.2.（2010·浙江高考）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是____．【解题提示】把一到十月份的销售总额求和，列出不等式，求解．【解析】七月份：500(1+x%)，八月份：500(1+x%)2．所以一至十月份的销售总额为：3860+500+2［500(1+x%)+500(1+x%)2］≥7000，解得1+x%≤-2.2（舍）或1+x%≥1.2,∴xmin=20.答案:203.(2011·苏州模拟)设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，则实数a的取值范围是____.【解析】∵f(x+3)=f(x),∴f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)<-1.(3a-2)(a+1)<0，答案:(-1,)一、选择题（每小题4分，共20分）1.（2010·浙江高考）设P={x|x<1},Q={x|x2<4},则P∩Q=（）(A){x|-1<x<2}(B){x|-3<x<-1}(C){x|1<x<2}(D){x|-2<x<1}【解析】选D.∵Q={x|-2<x<2}，∴P∩Q={x|-2<x<1}.2．设M={x|x2-x≤0},N={x|≤1},则M∩N=()(A)

(B){1}(C){x|0＜x≤1}(D){x|x≥1}【解析】选B.∵M={x|0≤x≤1},N={x|≥0}={x|x＜0或x≥1},∴M∩N={1}.

3．函数的定义域为（）(A)(-4,-1)(B)(-4,1)(C)(-1,1)(D)(-1,1］【解析】选C.由

故选C.4.（2011·长春模拟）不等式组有解，则实数a的取值范围是（）(A)(-1,3)(B)(-∞,-1)∪(3,+∞)(C)(-3,1)(D)(-∞,-3)∪(1,+∞)【解析】选A.由题意得a2+1<2a+4,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.5．设函数则不等式f(x)>3的解集是（）（A）(-3,1)∪(3,+∞)（B）(-3,1)∪(2,+∞)（C）(-1,1)∪(3,+∞)（D）(-∞,-3)∪(1,3)【解题提示】转化为不等式组求解.【解析】选A.因为或

0≤x<1或x>3或-3<x<0-3<x<1或x>3.故选A.二、填空题（每小题4分，共12分）6.（2011·漳州模拟）不等式（1-x）（x+3）＜0的解集为______.【解析】(1-x)(x+3)＜0(x-1)(x+3)＞0x＜-3或x＞1.答案:{x|x＜-3或x＞1}7．若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m)，则m=____【解题提示】由ax2-6x+a2<0的解集是(1,m)可得1，m是方程ax2-6x+a2=0的根，且m＞1，利用根与系数的关系可求m.【解析】因为ax2-6x+a2<0的解集是(1,m)，所以1，m是方程ax2-6x+a2=0的根，且m＞1，所以答案:28．函数的定义域为R，则实数m的取值范围为________.【解析】由题意得(1-m)x2+(m-1)x+1＞0的解集为R，则m满足1-m=0或∴m=1或-3＜m＜1,∴-3＜m≤1.答案:（-3，1]三、解答题（每小题9分，共18分）9.某商品在最近30天内的销售价格f(t)与时间t（单位：天）的函数关系是f(t)=t+10(0＜t≤30,t∈N)；销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)=-t+35(0＜t≤30,t∈N),记日销售金额为Φ(t)（单位：元）,若使该种商品日销售金额不少于450元，求时间t满足的条件.【解题提示】通过日销售金额=销售量×销售价格，转化为一元二次不等式和二次函数的最值问题来求解.【解析】由题意知Φ(t)=f(t)g(t)=(t+10)(-t+35)=-t2+25t+350(0＜t≤30,t∈N),由Φ(t)≥450得-t2+25t+350≥450t2-25t+100≤05≤t≤20.所以若使该种商品日销售金额不少于450元，则时间t满足t∈［5,20］(t∈N).10.(2011·莆田模拟)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.【解题提示】ax2-(a+1)x+1<0(ax-1)(x-1)<0,需对a进行分类讨论.【解析】因为ax2-(a+1)x+1<0(ax-1)(x-1)<0……(▲)(1)当a=0时，(▲)

-x+1<0

x>1;(2)当a<0时，(▲)(x-)(x-1)>0

x<或x>1；(3)当a>0时，(▲)(x-)(x-1)<0.因为①当即a>1时，<1,(▲)

<x