空间直线和平面总结

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［知识串讲］

空间直线和平面：（一）知识结构

（二）平行与垂直关系的论证

1、线线、线面、面面平行关系的转化：面面平行性质?//?????a,??????a?b?//baa//b??ba??,b??????a//?a??,b??Ab?aa?b?Aa//?,b//????????公理4(a//b,b//ca//c)线线∥线面平行判定线面平行性质线面∥??//?面面平行判定1面面平行性质面面∥面面平行性质1?//???//????a????????b?a//??a//b?//??a???????//??a//?

2.线线、线面、面面垂直关系的转化：

??a?b?O??l?a,l?b?a,b???l????????a???a??面面⊥三垂线定理、逆定理线线⊥PA??,AO为PO在?内射影a??则a?OA?a?POa?PO?a?AOl??线面垂直判定1线面垂直定义线面⊥???面面垂直判定面面垂直性质，推论2??a????l?a??????b??a??a??,a?b???????????????a???a??面面垂直定义????l，且二面角??l???成直二面角??????

3.平行与垂直关系的转化：

a//b?a??a???a???b??a??????//?线线∥线面垂直判定2线面垂直性质2a???b???线面⊥面面平行判定2面面平行性质3面面∥??a//b?//??a???a???

4.应用以上“转化〞的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。〞5.唯一性结论：

（三）空间中的角与距离1.三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（??0?时，b∥?或b??）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°

2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算〞

即：（1）找出或作出有关的角；

（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。

3.空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。4.点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。

常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。

例.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么AM与CM所成角的余弦值为（）

A.32B.102C.35D.25

分析：如图，取AB中点E，CC1中点F连结B1E、B1F、EF则B1E//AM，B1F//NC∴∠EB1F为AM与CN所成的角

又棱长为1

?B1E?556，B1F?，EF?222

B1E2?B1F2?EF22?cos?EB1F??2BE?BF511

∴选D

例3.已知直线l?平面?，直线m?平面?，有下面四个命题：

①??/??l?m③l//m????A.①与②

B.③与④

②????l//m④l?m??//?

C.②与④

D.①与③

其中正确的两个命题是（）

对于①分析：

l???l???????l?m?//??m????①正确

l????对于②a????/l//m，如图m????

∴②错

对于③

l???m??????????l//m?m????③正确

l????对于④l?m??/?//?，如图m????∴①③正确，选D

∴④错

例4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//面EDB。（2）PB⊥平面EFD。证：（1）连AC，AC交BD于O，连EO∵底面ABCD是正方形∴点O是AC中点又E为PC中点∴EO//PA

又EO?面EDB，且PA?面EDB∴PA//面EDB（2）∵PD⊥底面ABCD∴BC⊥PD

又BC?DC且PD?DC?D∴BC⊥面PDC

∴BC⊥DE

又E为等直角三角形中点?DE?PC且PC?BC?C∴DE⊥面PBC

∴DE⊥PB又已知EF?PB且EF?DE?E∴PB⊥面DEF

例5.正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥BC1。

证明：设E、E1分别是BC、B1C1的中点，连AE，A1E1，B1E，E1C则AE?面B1BCC1，A1E1?面B1BCC1及EB1//E1C

AE?面B1BCC1?EB?BC1???1?E1C?BC1?AB1?BC1?EB1//E1C???A1C?BC1?AE?面BBCC1111?

注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。

例6.以下正方体中，l是一条体对角线，M、N、P分别为其所在棱的中点，如何证明l⊥面MNP。

（1）D1PC1MA1B1NlDCAB（2）D1C1A1B1lN（3）D1C1A1P1BNlDCMAB

MDCPAB

分析：①l在侧面的射影显然与MP、MN垂直?MP?l，MN?l?l?面MNP

②显然l分别与MN在底面上射影垂直及与MP垂直?l?面MNP

③如图，取棱A1A、DC、B1C1的中点，分别记为E、F、G，显