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文档简介
广东省深圳建文外国语学校2024届高二上数学期末考试模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知m,n表示两条不同直线,表示两个不同平面.设有两个命题::若,则;:若,则.则下列命题中为真命题的是()A. B.C. D.2.直线的倾斜角为A. B.C. D.3.用3,4,5,6,7,9这6个数组成没有重复数字的六位数,下列结论正确的有()A.在这样的六位数中,奇数共有480个B.在这样的六位数中,3、5、7、9相邻的共有120个C.在这样的六位数中,4,6不相邻的共有504个D.在这样六位数中,4个奇数从左到右按照从小到大排序的共有60个4.已知数列是各项均为正数的等比数列,若,则公比()A. B.2C.2或 D.45.已知椭圆上一点到左焦点的距离为,是的中点,则()A.1 B.2C.3 D.46.已知m是2与8的等比中项,则圆锥曲线x2﹣=1的离心率是()A.或 B.C. D.或7.直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则面积的取值范围是A. B.C. D.8.圆心在x轴上且过点的圆与y轴相切,则该圆的方程是()A. B.C. D.9.等比数列的前项和为,前项积为,,当最小时,的值为()A.3 B.4C.5 D.610.已知等比数列中,,,则公比()A. B.C. D.11.已知定义在上的函数的导函数为,且恒有,则下列不等式一定成立的是()A. B.C. D.12.已知直线过点,,则该直线的倾斜角是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.必然事件的概率是________.14.如图:双曲线的左右焦点分别为,,过原点O的直线与双曲线C相交于P,Q两点,其中P在右支上,且,则的面积为___________.15.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,可形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断进行构造,又可以得到新的数列.现将数列1,2进行构造,第1次得到数列1,3,2;第2次得到数列1,4,3,5,2;依次构造,第次得到数列1,,,,…,,2;记则______,设数列的前n项和为,则______16.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是奇数的四位数,这样的四位数一共有___________个.(用数字作答)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图所示,椭圆的左、右焦点分别为、,左、右顶点分别为、,为椭圆上一点,连接并延长交椭圆于点,已知椭圆的离心率为,△的周长为8(1)求椭圆的方程;(2)设点的坐标为①当,,成等差数列时,求点的坐标;②若直线、分别与直线交于点、,以为直径的圆是否经过某定点?若经过定点,求出定点坐标;若不经过定点,请说明理由18.(12分)已知椭圆的离心率为,长轴长为,F为椭圆的右焦点(1)求椭圆C的方程;(2)经过点的直线与椭圆C交于两点,,且以为直径的圆经过原点,求直线的斜率;(3)点是以长轴为直径的圆上一点,圆在点处的切线交直线于点,求证:过点且垂直于的直线过定点19.(12分)各项都为正数的数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)求;(3)设,数列的前项和为,求使成立的的最小值.20.(12分)已知一张纸上画有半径为4的圆O,在圆O内有一个定点A,且,折叠纸片,使圆上某一点刚好与A点重合,这样的每一种折法,都留下一条直线折痕,当取遍圆上所有点时,所有折痕与的交点形成的曲线记为C.(1)求曲线C的焦点在轴上的标准方程;(2)过曲线C的右焦点(左焦点为)的直线l与曲线C交于不同的两点M,N,记的面积为S,试求S的取值范围.21.(12分)锐角中满足,其中分别为内角的对边(I)求角;(II)若,求的取值范围22.(10分)已知动点在椭圆:()上,,为椭圆左、右焦点.过点作轴的垂线,垂足为,点满足,且点的轨迹是过点的圆(1)求椭圆方程;(2)过点,分别作平行直线和,设交椭圆于点,,交椭圆于点,,求四边形的面积的最大值
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用直线与平面,平面与平面的位置关系判断2个命题的真假,再利用复合命题的真值表判断选项的正误即可【详解】,表示两条不同直线,,表示两个不同平面:若,,则也可能,也可能与相交,所以是假命题,为真命题;:令直线的方向向量为,直线的方向向量为,若,则,则,所以是真命题,所以为假命题;所以为假命题,是真命题,为假命题,是真命题,所以为假命题故选:2、B【解析】分析出直线与轴垂直,据此可得出该直线的倾斜角.【详解】由题意可知,直线与轴垂直,该直线的倾斜角为.故选:B.【点睛】本题考查直线的倾斜角,关键是掌握直线倾斜角的定义,属于基础题3、A【解析】A选项,特殊位置优先考虑求出这样的六位数中,奇数个数;B选项,相邻问题捆绑法求解;C选项,不相邻问题插空法求解;D选项,定序问题使用倍缩法求解.【详解】用3,4,5,6,7,9这6个数组成没有重复数字的六位数,个位为3,5,7,9中的一位,有种,其余五个数位上的数字进行全排列,有种,综上:在这样的六位数中,奇数共有个,A正确;在这样的六位数中,3、5、7、9相邻,将3、5、7、9捆绑,有种排法,再与4,6进行全排列,故共有个,B错误;在这样的六位数中,4,6不相邻,先将3、5、7、9进行全排列,再从五个位置中任选两个将4,6排列,综上共有个,C错误;在这样的六位数中,4个奇数从左到右按照从小到大排序的共有个,D错误.故选:A4、B【解析】由两式相除即可求公比.【详解】设等比数列的公比为q,∵其各项均为正数,故q>0,∵,∴,又∵,∴=4,则q=2.故选:B.5、A【解析】由椭圆的定义得,进而根据中位线定理得.【详解】解:由椭圆方程得,即,因为由椭圆的定义得,,所以,因为是的中点,是的中点,所以.故选:A6、A【解析】利用等比数列求出m,然后求解圆锥曲线的离心率即可【详解】解:m是2与8的等比中项,可得m=±4,当m=4时,圆锥曲线为双曲线x2﹣=1,它的离心率为:,当m=-4时,圆锥曲线x2﹣=1为椭圆,离心率:,故选:A7、A【解析】分析:先求出A,B两点坐标得到再计算圆心到直线距离,得到点P到直线距离范围,由面积公式计算即可详解:直线分别与轴,轴交于,两点,则点P在圆上圆心为(2,0),则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛:本题主要考查直线与圆,考查了点到直线的距离公式,三角形的面积公式,属于中档题8、A【解析】根据题意设出圆的方程,列式即可求出【详解】依题可设圆的方程为,所以,解得即圆的方程是故选:A9、B【解析】根据等比数列相关计算得到,,进而求出与,代入后得到,利用指数函数和二次函数单调性得到当时,取得最小值.【详解】显然,由题意得:,,两式相除得:,将代入,解得:,所以,所以,,所以,其中单调递增,所以当时,取得最小值.故选:B10、C【解析】利用等比中项的性质可求得的值,再由可求得结果.【详解】由等比中项的性质可得,解得,又,,故选:C.11、D【解析】构造函数,用导数判断函数单调性,即可求解.【详解】根据题意,令,其中,则,∵,∴,∴在上为单调递减函数,∴,即,,则错误;,即,则错误;,即,则错误;,即,则正确;故选:.12、C【解析】根据直线的斜率公式即可求得答案.【详解】设该直线的倾斜角为,该直线的斜率,即.故选:C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】直接由必然事件的定义求解【详解】因为必然事件是一定要发生的,所以必然事件的概率是1,故答案为:114、24【解析】利用双曲线定义结合已知求出,,再利用双曲线的对称性计算作答.【详解】依题意,,,又,解得,,则有,即,连接,如图,因过原点O的直线与双曲线C相交于P,Q两点,由双曲线的对称性知,P,Q关于原点O对称,因此,四边形是平行四边形,,所以的面积为24.故答案为:2415、①.81②.【解析】根据数列的构造写出前面几次得到的新数列,寻找规律,构造等比数列,求出通项公式,再进行求和.【详解】第1次得到数列1,3,2,此时;第2次得到数列1,4,3,5,2,此时;第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此时;第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此时,故81,且故,又,所以数列是以为首项,公比为3的等比数列,所以,故,所以故答案为:81,16、504【解析】分两种情况求解,一是四个数字中没有奇数,二是四个数字中有一个奇数,然后根据分类加法原理可求得结果【详解】当四个数字中没有奇数时,则这样的四位数有种,当四个数字中有一个奇数时,则从5个奇数中选一个奇数,再从4个偶数中选3个数,然后对这4个数排列即可,所以有种,所以由分类加法原理可得共有种,故答案为:504三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)①或;②过定点、,理由见解析.【解析】(1)由焦点三角形的周长、离心率求椭圆参数,即可得椭圆方程.(2)①由(1)可得,结合椭圆的定义求,即可确定的坐标;②由题设,求直线、的方程,进而求、坐标,即可得为直径的圆的方程,令求横坐标,即可得定点.【小问1详解】由题设,易知:,可得,则,∴椭圆.【小问2详解】①由(1)知:,令,则,∴,解得,故,此时或②由(1),,,∴可令直线:,直线:,∴将代入直线可得:,,则圆心且半径为,∴为直径的圆为,当时,,又,∴,可得或.∴为直径的圆过定点、.【点睛】关键点点睛:第二问,应用点斜式写出直线、的方程,再求、坐标,根据定义求为直径的圆的方程,最后令及在椭圆上求定点.18、(1);(2);(3).【解析】(1)由题意中离心率和长轴长可求出,即可求出椭圆方程.(2)设出与的坐标即直线的方程,把直线与椭圆方程进行联立写出韦达定理,由题意以为直径圆经过原点可得,化简即可求出直线的斜率.(3)由题意可得圆的方程,设,由和直线的方程化简,即可得到答案.【小问1详解】,,椭圆C的方程为.【小问2详解】由题意知直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为.设.把直线的方程与椭圆的方程进行联立得:..由以为直径圆经过原点知,..经检验,满足,所以.【小问3详解】由题意可得圆的方程为,设,由得.①.当时,,直线的方程为.直线过椭圆的右焦点.当时,直线的斜率为且过,②把①代入②中得.故直线过椭圆的右焦点.综上所述,直线过椭圆的右焦点.19、(1)(2)(3)【解析】(1)直接利用数列的递推关系式,结合等差数列的定义,即可求得数列的通项公式;(2)化简,结合裂项相消法求出数列的和;(3)利用分组法求得,结合,即可求得的最小值.【小问1详解】解:因为各项都为正数的数列的前项和为,且满足,当时,解得;当时,;两式相减可得,整理得(常数),故数列是以2为首项,2为公差的等差数列;所以.【小问2详解】解:由,可得,所以,所以.【小问3详解】解:由,可得,所以当为偶数时,,因为,且为偶数,所以的最小值为48;当为奇数时,,不存在最小的值,故当为48时,满足条件.20、(1);(2)﹒【解析】(1)根据题意,作出图像,可得,由此可知M的轨迹C为以O、A为焦点的椭圆;(2)分为l斜率存在和不存在时讨论,斜率存在时,直线方程和椭圆方程联立,用韦达定理表示的面积,根据变量范围可求面积的最大值﹒【小问1详解】以OA中点G坐标原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图:∴可知,,设折痕与和分别交于M,N两点,则MN垂直平分,∴,又∵,∴,∴M的轨迹是以O,A为焦点,4为长轴的椭圆.∴M的轨迹方程C为;【小问2详解】设,,则的周长为当轴时,l的方程为,,,当l与x轴不垂直时,设,由得,∵>0,∴,,,令,则,,∵,∴,∴.综上可知,S的取值范围是21、(I);(II)【解析】(I)由正弦定理边角互化并整理得,进而由余弦定理得;(II)正弦定理得,故,再根据三角恒等变换得,由于锐角中,,进而根据三角函数性质求得答案.【详解】解:(I)由正弦定理得所以,即,所以,因为锐角中,,所以;(II)因为,,所以所以,因为,所以,所以,所以,所以22、(1);(2)【解析】(1
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