河南省新乡市铁路高中2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题（含答案）

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知，，且，则x的值为（）

A.B.C.6D.

2.已知是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（）

A.垂直B.平行或直线在平面内

C.相交但不垂直D.不能确定

3.已知，，，若向量，，共面，则实数等于（）

A.1B.2C.3D.4

4.如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（）

A.B.

C.D.

5.如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）

A.B.C.D.

6.定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以，，的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（）

A.B.4C.D.

7.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点C到平面的距离为（）

A.B.C.D.

8.已知在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当，均最短时，（）

A.B.C.D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.关于空间向量，以下说法不正确的是（）

A.向量，，若，则

B.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

C.设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底

D.若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线

10.《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（）

A.

B.

C.向量在向量上的投影向量为

D.向量在向量上的投影向量为

11.如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则（）

A.异面直线和所成的角为

B.点A到平面的距离为

C.若P，Q分别为线段，的中点，则平面

D.线段长度的最小值为

12.在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（）

A.当时，平面

B.当时，存在唯一点P使得所在直线与直线的夹角为

C.当时，的最小值为

D.当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）

13.已知，，P是x轴上的动点，当时，点P的坐标为______.

14.如图，已知四棱柱的底面是边长为1的正方形，且，，则______.

15.已知在正四棱台中，上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，侧棱与下底面所成的角均为60°，则异面直线与所成角的余弦值为______.

16.在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，.点M是侧面内的动点（不含边界），，则与平面所成角的正切值的取值范围为______.

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知空间三点，，，设，.

（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；

（2）若向量与共线，求实数的值.

18.如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19.如图，在棱长为3的正方体中，点E是棱上的一点，且，点F是棱上的一点，且.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求直线到平面的距离.

20.在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，，平面底面，.

（1）证明：；

（2）求平面与平面夹角的正弦值.

21.如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.

（1）求平面与平面夹角的余弦值；

（2）在线段（含端点）上，是否存在一点P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

22.如图，在四棱锥中，，，，，，.E是棱上一点，平面.

（1）求证：E为的中点；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积.

条件①：点D到平面的距离为；

条件②：直线与平面所成的角为.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

高二数学答案

一、单选题

1.D2.B3.A4.A5.C6.D7.C8.A

二、多选题

9.AC10.BD11.BCD12.ACD

三、填空题

1314.15.16.

四、解答题

17.【答案】（1）或.（2）.

【详解】（1）由已知可得，，

∴，.若与互相垂直，则，

即，

解得或.（2）由（1）知，，

则，，

由题意可设，所以解得或因此实数的值为.

18.【答案】（1）60°；（2）证明见解析．

【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：

，，，，，

∴，，，．

（1），

∴

∴异面直线EF和所成的角为60°．

（2）

∴，即

，

∴即．

又∵，平面且

∴平面．

19.【答案】（1）（2）

【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，

，，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为；

（2）连接，显然，因为，．

所以，于是，

因为平面，平面，

所以平面，

因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，

设平面的法向量为，

，，

则有，

，

点到平面的距离为：

.

20.【答案】（1）证明见解析（2）

【详解】（1）证明：取中点，连接，，如图所示：

∵，，是等腰直角三角形，

∴，，且，

∵平面底面，平面底面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵，

∴，

∴，（符合勾股定理），

∴，

∵，，平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）由（1）知，可以建立分别以，，为x，y，z轴的空间直角坐标系，

则，，，，

又因为斜三棱柱中，，

所以，

所以，，，

设平面的法向量，

则，令，则，

∴平面的法向量，

设平面的法向量，

则，令，则，，

∴平面的法向量，

设二面角的平面角为，

则.

所以，

故二面角的正弦值为.

21.【答案】（1）（2）存在，

【详解】（1）过作于，由于，则，由于，且四边形是等腰梯形，所以，在三角形中，由余弦定理可得，所以，故，

以为坐标原点，，为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，

∴，，，，，，

，，

设面的法向量，

则，即，取，得．

设面的法向量，，，

则，即，则取，得．

∵，

由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，

∴二面角的余弦值为．

（2），，，，面，

面．

设，

若平面，则，所以，

所以

22.【答案】（1）证明见解析（2）条件选择见解析，

【详解】（1）过点作交于点，连接，如图所示：

因为，所以．

所以B，C，E，F四点共面．

又因为平面，平面平面

所以

所以四边形是平行四边形

所以，，

由，，

所以，，所以，，

所以为的中位线，

所以为的中点．

（2）过作于，连接．

因为，又因为，

且，

所以平面．

又平面，

所以平面平面．