中考总复习十二平移、旋转和轴对称

平移、旋转和轴对称

一、单元知识网络：

二、考试目标要求：

通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.了解平行四边形、圆是中心对称图形.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.

具体目标：

（1）图形的平移

①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质。

②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。

③利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。

（2）图形的旋转

①通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心

连线所成的角彼此相等的性质。

②了解平行四边形、圆是中心对称图形。

③能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。

④欣赏旋转在现实生活中的应用。

⑤探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)。

⑥灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。

（3）图形的轴对称

①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。

②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并

能指出对称轴。

③探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。

④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称

进行图案设计。

三、知识考点梳理

知识点一、平移

1、平移概念：

把一个图形整体沿一方向移动，得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。

2、平移变换的性质

①对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连结的线段平行且相等，因为经过平移，图形的每个点都

沿同一个方向移动了相同的距离，平移变换前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四

边形（四点共线除外）.

②对应角分别相等，且对应角的两边分别平行，方向一致.

③平移后的图形与原图形全等，因为平移只改变图形位置，不改变图形的形状和大小.

3、平移作图步骤

①确定平移的方向和距离；

②根据对应点的连线平行（或在一条直线上）且相等作出图形各关键点的对应点；

③按原图形的连结方式顺次连结各点.

知识点二、旋转

1、旋转概念：

把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、中心对称与中心对称图形

中心对称：

把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点。

中心对称图形：

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.

3、旋转变换的性质

图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.

4、旋转作图步骤

①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.

②分析所作图形，找出构成图形的关键点.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.

④按原图形连结方式顺次连结各对应点.

5、中心对称作图步骤

①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.

②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.

知识点三、轴对称

1、轴对称与轴对称图形

轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点。

轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

2、轴对称变换的性质

①关于直线对称的两个图形是全等图形.

②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.

③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

3、轴对称作图步骤

①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点。

②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.

综上：

1、图形变换与图案设计的基本步骤

①确定图案的设计主题及要求；

②分析设计图案所给定的基本图案；

③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；

④对图案进行修饰，完成图案。

2、平移、旋转和轴对称之间的联系

一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍.

四、规律方法指导

1.数形结合思想

在运用平移、旋转和轴对称的性质解问题时需寻找对称点，构造变换后的图形，也可借助网格和直角坐标系来解决问题。

2.分类讨论思想

利用所学知识，掌握轴对称图形与中心对称图形、平移与旋转、中心对称图形与旋转对称图形之间的区别和联系，注意分类归纳总结，对知识灵活运用。

3.化归与转化思想

运用图形的全等变换可将不规则图形转化为规则图形.对图形的处理可以通过平移，对折和旋转使问题简化.

4.注意观察、分析、总结

学习本版块内容时，应将观察、分析、动手操作等活动贯穿于全部的学习中，灵活地探索图形之间的变换关系，利用动态的变化思考问题，将复杂的、不完整的图形转化成规则的几何图形，使解题达到化繁为简、化难为易的目的。经典例题精析

考点一、平移

1．如图，下列各组图形，可经平移变换，由一个图形得到另一个图形的是（）.

【考点】平移概念

【解析】平移是指一个图形沿某一方向的平行移动，所以选项B、选项C、和选项D都不可以由平移变换得到.

【答案】A.

2．一个图形经过平移变换后，有以下几种说法，其中不恰当的说法是（）.

A.平移后，图形的形状和大小都不改变

B.平移后的图形与原图形的对应线段相等，对应角相等

C.平移后的图形的形状不变，但大小可以改变

D.利用基本图形的平移可以设计出美丽的图案

【考点】运用平移的性质解题

【解析】图形的平移变换不改变图形的形状和大小，变换后的图形与原图形是全等图形.

【答案】C.

3．如图，三角形ABC是等边三角形，D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE、EF、FD把三角形ABC分成四个完全相同的等边三角形。

（1）如果把三角形DBE、三角形FEC分别看作是由三角形ADF平移得到的，写出其平移的方向与距离，并

分别说明D、E、F三点在线段AB、BC、CA上的位置；

（2）三角形DEF能不能看作是由三角形ADF平移得到的？为什么？

【考点】平移的概念和性质

【思路点拨】如果一个图形是由另一个图形平移得到的，各对应点的平移方向相同，平移的距离相等，且这两个图形的形状、大小都不改变，即对应边、对应角都相等。

【答案】解：（1）三角形ADF平移到三角形DBE，平移方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段AD的长度；同样三角形ADF平移到三角形FEC，平移方向是点A到点F的方向，平移的距离是线段AF的长度。

因为平移后的图形的形状、大小不改变，所以AD=DB、AF=FC、BE=DF=EC。因此，D、E、F分别是边AB、边AC和边BC的中点。

（2）三角形DEF不能看作是由△ADF平移得到的图形。因为直线AD与直线DE不平行。

4．如图，五边形经过平移，它的顶点A移至点A′处，画出平移后的五边形。

【考点】利用平移的性质作图

【思路点拨】弄清图形平移前后的对应关系及平移方式是解决平移问题的关键。因为图形中每一点平移的方式是相同的。所以本例由其中一个对应点的平移方式就可以得出图形的平移的方向及平移的距离。

【答案】解：由图（1），可知将顶点A先向右平移9格，再向下平移1格就得点A′。以同样的方式平移顶点B、C、D、E得点B′、C′、D′、E′，分别联结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，就得到五边形ABCDE平移后的五边形A′B′C′D′E′（图（2））。

5．将图（1）中的顶点A沿箭头方向移到了A′，作出平移后的图形.

【考点】平移作图

【解析】“经过平移，对应点所连线段平行且相等”，A点与A′点的位置确定了平移的方向和长度，作出各关键点的对应点是解本题的关键.

设图（1）中各顶点分别为A、B、C、D、E、F、H，如图（2）.

作法：（1）过点B作线段BB′，使BB′∥AA′，BB′=AA′，则得点B的对应点B′.

（2）同样方法作C、D、E、F、H的对应点C′、D′、E′、F′、H′.

（3）连结A′B′、B′C′，C′A′，D′H′，E′F′，H′F′.

所以图形A′B′C′D′H′F′E′为所求的图形.

总结升华：图形的平移变换是中考的必考内容，特别是图形的平移和其它知识综合是中考的热点问题，因此我们在复习时更要把握好平移的相关概念及性质.

举一反三：

【变式1】如图，线段AB=CD，AB与CD相交于O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是（）.

A.AC+BD<ABB.AC+BD=ABC.AC+BD≥ABD.无法确定

【考点】运用平移的性质解题

【思路点拨】全面考虑AC和BD的位置关系，并且正确运用平移性质是解决问题的关键.CE是经AB平移得到，则CE=AB，CE与CD的夹角仍为60°.

【解析】∵AB=CE，AB∥CE，∴∠OCE=∠AOC=60°.

又∵CD=AB，∴CE=CD.

连结DE，则△CDE是等边三角形.∴CD=DE=CE=AB.

∵BD+BE>DE，∴BD+AC>AB.当AC∥BD时，BD+AC=AB，∴AC+BD≥AB.

【答案】C.

【变式2】如下图，将Rt△ABC沿斜边AB向右平移5cm，得到Rt△DEF，已知AB=10cm，BC=8cm，则图中阴影部分三角形的周长为____________.

【考点】图形的平移同其它知识综合解题

【思路点拨】正确地运用平移的性质和三角形的中位线定理可快速解答此题.三角形经平移后对应线段共线或平行.

【解析】如图，根据平移性质有：AD=5cm，

∵AB＝10cm，∴D点为AB的中点.

又∵DF是由AC平移所得，∴AC∥DF，∴DP为△ABC的中位线，

∴DP=AC.PB=BC.∴阴影部分三角形的周长为Rt△ABC周长的一半.

在Rt△ABC中，

∴Rt△ABC的周长为10＋8＋6＝24（cm）.

∴阴影部分三角形的周长为12cm.

【变式3】在平面直角坐标系中，把P（a，b）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，再把所得的点以x轴作轴对称变换，最终所得的点的坐标为（5，4），求点P的坐标.

【考点】图形的平移同其它知识综合解题

【思路点拨】我们可画出草图，观察点P进行变换后横纵坐标的变化情况，然后求解.

【解析】

解法1：将P（a，b）按题中要求平移后的坐标为（a-3，b+2），

此点关于x轴的对称点为（a-3，-b-2），根据题意，得

∴P点坐标为（8，-6）.

解法2：点（5，4）关于x轴的对称点坐标为（5，-4），

按题中要求相反方向平移此点得点P的坐标为（8，-6）.

总结升华：解法2中，逆向思考问题更简单.运用方程思想解答必须明确表示同一点的坐标其横坐标相同，纵坐标相同.

考点二、旋转

6．△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，∠AOB=45°，则∠AOD等于（）

A．B．C．D．

【考点】旋转的概念

【思路点拨】注意旋转角和旋转方向

【答案】D

7．如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在平面上可以作旋转中心的共有几个？分别进行说明，此时它的旋转角是几度？

【考点】中心对称和中心对称图形

【解析】可以作为旋转中心的点有3个，它们分别是D点、C点和CD的中点M点。

以点C为旋转中心时，图形绕着C点，逆时针旋转900能与正方形ABCD重合。

以点D为旋转中心时，图形绕着D点，顺时针旋转900能与正方形ABCD重合。

以点M为旋转中心时，图形绕着M点顺时针，或逆时针旋转1800都能与正方形ABCD重合。

总结升华：本题用于复习巩固旋转中心和旋转角概念。培养思维的完整性，学习分类讨论的数学方法。

8．在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC。△ADC顺时针旋转到△AD′C′位置时，∠BAC′=300。

问：（1）旋转中心是哪一点？

（2）旋转角是几度？

（3）连接DD′后，三角形AD′D是什么三角形？

（4）连接BC′后，△ABC′是什么三角形？

【考点】旋转的概念

【思路点拨】旋转过程中始终保持不动的点就是旋转中心。通过旋转得到的图形上的每一点与原图形的对应点的旋转角是一样的，即图形上的每个点同时按相同的方式旋转相同的角度。此外，在旋转的过程中，线段两端点的对应点所确定的线段是原线段的对应线段，角的两边旋转后的对应边所组成的角是原角的对应角。图形经过旋转，对应线段的长度、对应角的大小都保持不变。这是图形旋转的基本特征。

【解析】（1）∵图形在旋转过程中，点A的位置始终不变∴旋转中心是点A；

（2）∵C、C′是一对对应点∴∠CAC′就是旋转角。∠CAC′=∠BAC-BAC′=900-300=600；

（3）∵在旋转过程中，对应线段的长度不变即AD=AD′，旋转角∠DAD′=600

∴三角形AD′D是等边三角形；

（4）∵AC′是AC旋转后的对应线段，∴AB=AC=AC′∴三角形ABC′是等腰三角形

总结升华：

旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向.解题关键：旋转前后的图形全等.

举一反三：

【变式1】如图所示，下列四个图形都可以分别看成由一个“基本图案”经过旋转形成，则它们中旋转角相同的图形为（）．

A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）

【考点】旋转概念

【解析】（1）旋转角为120°（2）旋转角为72°（3）旋转角为90°（4）旋转角为90°．

【答案】D

【变式2】如图，每一对三角形ABC和A’B’C’的形状、大小完全相同。

（1）哪些图形是旋转对称图形？

（2）在旋转对称图形中，哪些图形是中心对称图形？并指出这些图形的对称中心。

【考点】中心对称图形和中心对称

【思路点拨】要学会区分旋转对称图形和中心对称图形这两种既有联系又有差异的不同类型图：如果旋转对称图形的旋转角等于1800，那么它就是中心对称图形，所以是中心对称图形一定是旋转对称图形；反之则不是。

【解析】（1）图形甲、乙、丙都是旋转对称图形。图形丁不是旋转对称图形。

（2）在图形甲、乙、丙这些旋转对称图形中，图形甲和乙是中心对称图形。

图形甲中，CC’的中点是对称中心；图形乙中，点C（C’）是对称中心。

【变式3】如图所示，正方形ABCD，图形的中心是点O（对角线的交点），P是BC边上一点。过点P作直线.

（1）试将正方形分割成形状相同、大小相等的两块；

（2）试将正方形分割成形状相同、大小相等的四块。

【思路点拨】正方形是旋转对称图形也是中心对称图形，其对称中心就是正方形对角线的交点，利用对称中心就能找到点P的对称点。

【解析】（1）如图1所示，连结PO的直线交AD边于点P’，则P’与P为对称点，所以四边形ABPP’与四边形CDP’P的形状相同、大小相等的两块（读者可将四边形ABPP’绕着点P旋转1800，看是否与四边形CDP’P重合）；

（2）如图2所示，在AB上取一点Q，使BQ=CP，连结QO直线交DC于点Q’，则四边形CPOQ’、BQOP、AP’OQ、DQ’OP’是形状相同、大小相等的四块。

图1图2

考点三、轴对称

9.补画下面的图形，使它成为一个轴对称图形。

【考点】轴对称图形的画法

【思路点拨】本题是一道开放性习题，答案不唯一，用于培养学生的发散思维，学生可以根据轴对称图形的定义，任意选择补画图形的方案，下图中分别用不同的方案给你示范补全了两个轴对称图形，你还可以设计一些其他的方案来补画此图。当然必须满足题目要求画成一个轴对称图形。

【答案】

10．下列图形中是轴对称图形的个数有（）

①等腰三角形；②矩形；③平行四边形；④等边三角形；⑤角；⑥线段；⑦圆；⑧菱形；⑨等腰梯形；

⑩直角三角形

A、9个B、8个C、7个D、6个

【考点】轴对称图形的概念

【思路点拨】按轴对称图形的定义，逐个鉴定，其中等腰三角形、矩形、等边三角形、角、线段、圆、菱形、等腰梯形8个图形都是轴对称图形。

【答案】B

11．如图，点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB和线段A′B以y轴为对称轴；线段A′B和线段A′B′以x轴为对称轴.

（1）与∠ABO相等的角有哪些？

（2）线段AB与线段A′B′平行吗？根据是什么？

（3）若AB中点M的坐标为（-1，2），则A′B，A′B′的中点N，P的坐标是什么？直接写出结果.判断点

M和点P有什么关系？

【考点】轴对称图形的性质

【思路点拨】由点A和A′对称和A′B和A′B′关于x轴对称得等腰三角形ABA′和等腰三角形BA′B′，利用等腰三角形的性质可正确解题.

【答案】（1）∠A′BO、∠A′B′O；

（2）AB∥A′B′，根据内错角相等，两直线平行；

（3）N（1，2），P（1，-2），点M和点P关于原点对称.

12．将一矩形纸片按图中（1）、（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（）.

【考点】翻折后图形的变化

【思路点拨】图中第1次折叠后，折痕线在左边，第2次折叠后，折痕线在下，这样沿左下角剪出一个小口，展开后小口必位于靠中间部分；两次对折后，纸变成了4层，因而左下角剪出的小口必连成矩形，位于中间；上面剪出的矩形应有4个，且关于折痕对称.

【答案】B.

总结升华：弄清图形轴对称前后的对应关系及对称方式是解决图形变换问题的关键。因为图形中每一点对称的方式是相同的。

举一反三：

【变式1】下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

【思路点拨】判断一个已知图形是不是轴对称图形或中心对称图形的关键是能否找到对称轴或对称中心，另外对于一些常见的几何图形要能对其对称性正确作出判断，而且要能掌握它的对称轴．对称中心分别是哪些直线和什么样的点，轴对称是中学数学的一个重要内容，也是中考的重要考点之一．

【解析】把图形沿某一直线对折，若直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形；若把图形绕某一点旋转后能与自身重合，则该图形为中心对称图形，因此，可知（C）是中心对称图形，它不是轴对称图形；（B）、（D）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

【答案】A

【变式2】下列说法正确的是()

A．等边三角形只有一条对称轴B．等腰三角形对称轴为底边上的高

C．直线AB不是轴对称图形D．等腰三角形对称轴为底边中线所在直线

【考点】考察图形对称轴

【解析】等边三角形有三条对称轴；等腰三角形对称轴为底边上的高所在的直线；直线AB是轴对称图形，对称轴是任意一条垂直于直线AB的直线。故选D

【答案】D

【变式3】如图，给出了一个图案的一半，其中虚线是这个图案的对称轴，

请作出这个图形的关于的轴对称图形，并说出这个图案的形状.

【考点】考察轴对称图形的作法

【思路点拨】找B、C关于直线的对称点

【答案】如图中虚线所示，这个图案是一个六角星.

【变式4】已知∠AOB和C、D两点，求作一点P使P到∠AOB两边的距离相等且使P到C、D两点的距离和最小。

【考点】轴对称图形的性质

【思路点拨】要使点P到∠AOB两边的距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，再由PC+PD最小，可作C关于角平分线的对称点C′，连结C′D与角平分线的交点即为所求的点P。

【答案】作法：

（1）作∠AOB的平分线OM。

（2）作C关于OM的对称点C′，

（3）连结C′D交OM于P，点P为所求作的点。

【变式5】小惠学习了轴对称的知识以后，忽然想起了过去做过的一道题目：有一组数排列成方阵，如图1所示，试计算这组数的和.小惠想，方阵就是正方形，正方形是轴对称图形，能不能利用轴对称的性质来解决方阵的计算问题呢？小惠试了试，竟然得到了一种非常巧妙的方法，你也试试看吧？

【思路点拨】观察方阵可以看出，一条对角线上的数都是5，若把这条对角线当作轴，把正方形对折一下，就会发现对称位置的两数之和都是10，问题就很简单了.

【解析】正方形的一条对角线上的数都是5，把这条对角线作为对称轴对折，对称位置的两数之和都是10，如图2，这样方阵中数的和＝10×10＋5×5＝125.中考题萃

一、选择题

1.（安徽省芜湖）下列几何图形中,一定是轴对称图形的有().

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.（河北省）有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90°，则完成一次变换．图-2，图-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（）

A．上B．下C．左D．右

3.（甘肃省白银九市）如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案.其中是轴对称图形但不是中心对称的图形为（）

A．①③B.①④C．②③D．②④

4.（甘肃省白银九市）如图,把矩形沿对折后使两部分重合,若，则=（)

A．110°

B．115°

C．120°

D．130°

5．(广东省深圳市)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

6.（河南省）如图，阴影部分组成的图案既是关于轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点成中心对称的图形．若点的坐标是，则点和点的坐标分别为（）

A．B．

C．D．

7.（湖北省宜昌市）如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（）．

A．120°B．90°C．60°D．30°

8.（湖南省怀化市）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是()

9.（江苏省无锡市）如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（）

A．B．C．D．

10.（四川省绵阳市）如图，是边长为1的正的中心，将绕点逆时针方向旋转，得，则与重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）

A．B．C．D．

二、填空题：

11.（福建省厦门市）如图，点是的重心，的延长线交于，，，，将绕点旋转得到，则_____________cm，的面积_____________cm2．

12.（广东广州）将线段AB平移1cm，得到线段，则对应点A与的距离为_____________cm．

13.（吉林省长春市）如图，在平面内将绕着直角顶点逆时针旋转得到．若，，则线段的长为_____________．

14.（江苏省扬州市）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段的长等于__________．

15.（辽宁省大连市）如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转到△P′AB，则∠PAP′的度数为．

16.（山东省泰安市）在如图所示的单位正方形网格中，将向右平移3个单位后得到（其中的对应点分别为），则的度数是．

17.（四川省宜宾市）将直角边长为5cm的等腰直角绕点逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是_____________．

18.（内蒙古鄂尔多斯）下图是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．

三、解答题

19.（江苏省徐州市）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为．

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转所得的△A2B2C2；

（3）△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称吗？若成轴对称，画出所有的对称轴；

（4）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标．

20.(海南省）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称.

（1）画出对称中心E，并写出点E、A、C的坐标；

（2）P(a,b)是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P2(a+6,b+2)，请画出上述平移后

的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标；

（3）判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系（直接写出结果）.

21.（浙江省嘉兴市）如图，正方形网格中，为格点三角形（顶点都是格点），将绕点按逆时针方向旋转得到．

（1）在正方形网格中，作出；

（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点所经过的路径长．

22.（浙江省温州市）如图，在直角坐标系中，的两条直角边分别在轴的负半轴，轴的负半轴上，且．将绕点按顺时针方向旋转，再把所得的像沿轴正方向平移1个单位，得．

（1）写出点的坐标；

（2）求点和点之间的距离．

23.(湖北省荆门市)将两块全等的含30°角的三角尺如图（1）摆放在一起，它们的较短直角边长为3．

（1）将△ECD沿直线l向左平移到图（2）的位置，使E点落在AB上，则CC′=______；

（2）将△ECD绕点C逆时针旋转到图（3）的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数=_____；

（3）将△ECD沿直线AC翻折到图（4）的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′．

24.（山东省枣庄市）把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点，与D1E1相交于点F．

（1）求的度数；

（2）求线段AD1的长；

（3）若把三角形D1CE1绕着点顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是

边上？说明理由．

答案解析∶

1.D

2.C（提示：变换规律是4次变换为一个循环，第9次变换和第1次变换相同）

3.A

4.B（提示：由对折可知，∠BFE=65°）

5.B6.C7.A8.D9.D

10.C（提示:重叠部分的面积等于△ABC面积）

11.2，18（提示：根据重心性质可知CG=2DG=GE）

12.1

13.3(提示：CE=CA=2)

14.（提示：△APP′是等腰直角三角形）

15.

16.（提示：连结BA′，通过过网格可以看出∠BA′A=）

17.（提示：可知旋转后得∠BAC′=30°）

18.图中的阴影正方形

19.（1）如图；（2）如图；（3）成轴对称，对称轴如图；（4）成中心对称，对称中心坐标．

20.（1）如图，E(-3，-1)，A(-3，2)，C(-2，0)；

（2）如图，A2(3，4)，C2(4，2)；

（3）△A2B2C2与△A1B1C1关于原点O成中心对称.

21.（1）如图

（2）旋转过程中动点所经过的路径为一段圆弧．

，，．

又，动点所经过的路径长为．

22.（1）点的坐标是，点的坐标是．

（2）连结，在中，

，，

，

23.（1）3；

（2）30°；

（3）证明：在△AEF和△BF中，

∵AE=ACEC，B=CBC，

又AC=C，EC=BC，∴AE=B．

又∠AEF=∠BF=180°60°=120°，∠A=∠CE=30°，

∴△AEF≌△BF．∴AF=F．

24．解：（1）如图所示，，，

∴．

又，

∴．

（2），∴∠D1FO=60°．

，∴．

又，，∴．

，∴．

又，∴．

在中，．

（3）点在内部．

理由如下：设（或延长线）交于点P，则．

在中，，

，即，∴点在内部．学习成果测评

基础达标

一、选择题

1、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰梯形D．菱形

2、在下列现象中，是平移现象的是（）

①方向盘的转动②电梯的上下移动③保持一定姿势滑行④钟摆的运动

A、①②B、②③C、③④D、①④

3、如图，用放大镜将图形放大，应该属于（）

A.相似变换B.平移变换C.对称变换D.旋转变换

4、观察下列“风车”的平面图案，其中是中心对称图形的有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

5、如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形可由△OBC平移得到的是（）

A、△OCDB、△OABC、△OAFD、△OEF

6、下列说法中正确的是（）

A、图形平移的方向只有水平方向和竖直方向

B、图形平移后，它的位置、大小、形状都不变

C、图形平移的方向不是唯一的，可向任何方向平行移动

D、图形平移后对应线段不可能在一直线上

7、下图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数

为（）

A、30°B、60°C、120°D、180°

8、在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（）

9、下列四副图案中，不是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

10、如下图AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=4，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在C′的位置上，

那么BC′为（）

A．1B．C．2D．

二、填空题

11、若Q（a，b）在第三象限内，则Q关于y轴对称点的坐标是_______，它在第_______象限。

12、如图，一张长方形纸片ABCD，其长AD=a，宽AB=b(a＞b)，在BC边上选取一点M，将ABM沿AM翻折后

B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值是_____________.

13、如图，AC⊥AB，BE⊥AB，AB=10，AC=2.用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P在线段AB上滑

动，一直角边始终经过点C，另一直角边与BE相交于点D，若BD=8，则AP的长为________.

14、考察甲、乙、丙各图中的阴影部分的分布规律，按此规律在图丁中画出其中的阴影部分。

15、如图，△ABC是等边三角形，且△ABE≌△ACD，则我们可以将△ACD看做是△ABE绕______点，逆时

针旋转______度而得到的。

16、把△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则

∠A的度数是__________。

三、解答题

17.如图，在平面直角坐标系中，先把梯形ABCD向左平移6个单位长度得到梯形A1B1C1D1.

（1）请你在平面直角坐标系中画出梯形A1B1C1D1；

（2）以点C1为旋转中心，把（1）中画出的梯形绕点C1顺时针方向旋转得到梯形A2B2C2D2，请你

画出梯形A2B2C2D2．

18、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合．如果AP=3，那么PP′的长等于多少？

19、已知：一条直线经过点A（0，4）、点B（2，0），如图，将这条直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB＝DC．

求：以直线CD为图象的函数解析式．

20、如图所示，已知P为正方形ABCD内一点，PA=l，PB＝2，PC＝3，以点B为旋转中心，将△ABP顺时针旋转使A点和C点重合，这时P点旋转至G点，试画出旋转后的图形，然后猜一猜△PCG的形状，并说明理由，最后算一算∠APB的度数．

能力提升

1、如图所示，△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，△EDC是由△ADB旋转180°所得，则AB边的取值范围

是（）．

A．l＜AB＜29B．4＜AB＜24C．5＜AB＜19D．9＜AB＜19

2、如图．在计算机屏幕上有一个矩形画刷ABCD，它的边AB＝l，．把ABCD以点B为中心按顺

时针方向旋转60°，则被这个画刷着色的面积为________。

3、已知如图，Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线DE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点

D处，则∠A的度数等于_______.

4、如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么

DH的长为________.

5、将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为____.

6、两个形状大小一样的三角板，可以拼出各种不同的图形．下面各图已画出其中一个三角板，请你补出另一个三角板，使每个图形分别成不同的中心对称图形．

7、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，

CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到

的结论还成立吗？简要说明理由.

8、将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片和．将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点．

（1）当旋转至如图②位置，点，在同一直线上时，与的数量关

系是_____________．

（2）当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

综合探究

1、如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）

（图1）（图2）（图3）

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。

（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；

（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置,A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度;

（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH

（图4）（图5）（图6）

2、如图（1），在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4.

（1）求点C的坐标；

（2）如图（2），将△AＢＣ绕点C旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线OA于点E，A′B′分别交

直线OA、CA于点F、G，则除△A′B′C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形？请直接写出答案；

（3）在（2）的基础上将△A′CB′绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线

CE的函数表达式.

基础达标

一、选择题

1、D2、B3、A

4、B（提示：是中心对称图形的有第一个和第三个；规律：奇数个基础图形一定不是中心对称图形）

5、C

6、C（提示：图形平移的方向可向任何方向平行移动，除位置外，大小、形状都不变）

7、B8、B9、A

10、C（提示由折叠可知，∠ADC′=∠ADC=60°，得∠BDC′=60°，因为AD是△ABC的中线，所以

BD=CD=DC′，可得△BDC′是等边三角形，所以BC′=BD=BC=2）

二、填空题

11、（-a，b），四

12、（提示：B′为长方形纸片ABCD的对称中心，可得AB=AB′=AC，所以在Rt△ABC中，

BC=AB，即=）

13、2或8（提示：可证△AP