三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质专题分析近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。在求解关于y＝Asin(x＋)(A＞0，＞0)的问题时合理利用换元的思想可以清晰解题的思路。其中在解决图形的变换问题是这一部分的难点。教学目标与课时计划1．掌握三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等．2．会用五点法画出函数y＝sinx，y＝cosx，y＝Asin(x＋)(A＞0，＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质。专题解读一、知识要点1．函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象性质．性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx一周期简图最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z上是增函数减区间[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z对称性对称轴x＝kπ，k∈Z对称中心对称中心(kπ，0)，k∈Z2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(x＋)(A＞0，＞0)的简图．3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y＝Asin(x＋)(≠0)的最小正周期：；y＝Atan(x＋)(≠0)的最小正周期：．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号．二、例题例1求下列函数的定义域(1)；(2).解：(1)cosx≠0，定义域为(2)sin2x≥0，由正弦函数y＝sinx图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x轴，y轴正半轴上)可得2k≤2x≤2k＋，定义域为例2求下列函数的最小正周期(1)；(2)；；(4)y＝2sin2x＋2sinxcosx；(5)y＝｜sinx｜．解：(1)．(2)．(3)，所以.(4)，所以T＝．(5)y＝｜sinx｜的图象为下图，可得，T＝．【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用(正余弦)或(正切)求最小正周期．(2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题．例3(1)已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数(2)若函数f(x)＝2sin(2x＋)为R上的奇函数，则＝______．(3)函数的图象()解：(1)周期为，偶函数，选D(2)f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，所以2sin(－2x＋)＝－2sin(2x＋)对x∈R恒成立，即sincos2x－cossin2x＝－sin2xcos－cos2xsin，所以2sincos2x＝0对x∈R恒成立，即sin＝0，所以＝k，k∈Z．【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x＋)＝－sinx，sin(x＋2)＝sinx得到当＝2k＋或＝2k＋，k∈Z，即＝k，k∈Z时，f(x)＝2sin(2x＋)可以化为f(x)＝sinx或f(x)＝－sinx，f(x)为奇函数．(3)分析：首先考虑奇偶性，f(－x)＝lncos(－x)＝lncosx＝f(x)，为偶函数，排除掉B，D选项考虑(0，)上的函数值，因为0＜cosx＜1，所以lncosx＜0，应选A【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．例4求下列函数的单调增区间(1);(2)；(3)；(4)解：(1)y＝cosx的增区间为[2k＋，2k＋2]，k∈Z，由可得的增区间为，(2)先求出函数的增区间然后与区间[－，0]取交集得到该函数的增区间为和，(3)，转化为问题(1)，增区间为(4)原函数变为，需求函数的减区间，，得，的增区间为【评析】处理形如y＝Asin(x＋)＋k，(＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x的分数化正，然后再求相应的单调区间．求三角函数单调区间的一般方法：(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题．(2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可．例5求下列函数的值域(1)函数的最大值以及此时x的取值集合(2)(3)(4)y＝cos2x－2sinx解：(1)当时，，函数的最大值为3，此时x的取值集合为(2)结合正弦函数图象得：当时，该函数的值域为(－1，2](3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式．，设，则原函数变为，结合余弦函数图象得：，所以函数的值域为(－1，2]．(4)y＝－2sin2x－2sinx＋1，设t＝sinx，则函数变为y＝－2t2－2t＋1，t∈[－1，1]，因为结合二次函数图象得，当t＝1时，函数最小值为－3，当时，函数最大值为，所以函数的值域为【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法：(1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y＝Asin(x＋)＋k，y＝Acos(x＋)＋k，y＝Atan(x＋)＋k等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理．(2)转化为二次型：如Asin2x＋Bsinx＋C，Acos2x＋Bcosx＋C形式，结合一元二次函数的图象性质求值域．例6函数y＝sin(x＋)的图象(部分)如图所示，则和的取值是()A． B．C． D．解：，即，所以，当时，，所以，选C例7(1)将函数的图象如何变换可得到函数的图象(2)已知函数y＝sinx的图象，将它怎样变换，可得到函数的图象解：(1)(2)法一：y＝sinx法二：y＝sinx【评析】由y＝sinx的图象变换为y＝Acos(x＋)(＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同．例8(1)函数的一条对称轴方程为()A． B． C． D．(2)函数的对称轴方程和对称中心的坐标解：(1)法一：的对称轴为，即，当k＝－1时，，选C法二：将四个选项依次代入中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项当时，，选C(2)的对称轴为，即对称中心：此时所以对称中心的坐标为【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x轴的交点，处理选择题时可以灵活运用．例9已知函数的最小正周期为．(1)求的值．(2)求f(x)在区间上的值域．(3)画出函数y＝2f(x)－1在一个周期[0，]上的简图(4)若直线y＝a与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a的取值范围．解：(1)因为函数f(x)的最小正周期为，且＞0，所以，解得＝1(2)由(1)得，因为，所以，结合正弦函数图象，得因此，即f(x)的取值范围为(3)由(1)得列表0πx0πy－1020－2－1(4)由图象可得，－2＜a＜2且a≠－1．【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y＝Asin(x＋)(＞0)或y＝Acos(x＋)(＞0)的形式，利用换元法，结合y＝sinx、y＝cosx的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法．练习一、选择题1．设函数x∈R，则f(x)是(）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数2．把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是()A． B．C． D．3．函数的图象()A．关于点(，0)对称 B．关于直线对称C．关于点(，0)对称 D．关于直线对称4．函数y＝tanx＋sinx－｜tanx－sinx｜在区间内的图象大致是(）二、填空题5．函数的最大值是______．6．函数的最小正周期为______．7．函数的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y＝______．8．函数y＝cos2x＋cosx的值域为______．三、解