静电学计算题

建立以0点为原点的平面坐标系其中"广0dE建立以0点为原点的平面坐标系其中"广0dEx4兀£Ro产XdB八人J6cos6=4兀£R0■n-6n4n&R—6 0静电学计算题127、一个半径为R的均匀带电圆弧，弧心角为a=60°，电荷线密度为入求环心0处的电场强度和电势.则dE=言-4脆R20兀4兀£R124兀£R12sn6128、将一无限长带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为人，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心0点的场强.取电量元dq取电量元dq=%Rd6，其电场强度元为dE=dE=人Rd64nsR20建立如图所示的坐标系’因为Ey=o建立如图所示的坐标系’因为Ey=odEXdO 八 cos64nsR0弭入d6 "2故E=—J4 cos6= n4nsR 4nsR129、带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为人=扁sin。，式中扁为一常数，。为半径R与乂轴所成的夹角，如图所示.试求环心。处的电场强度和电势.dE Xdl 入sin中d中4nsR2 4nsR0 0dE/dEcosp 考虑到电荷分布的对称性 Ex=0dE=dEsinp e=jdEsin?」兀气加抑何=方向沿>轴负向y y 0 4nsR 8sR130、真空中两条无限长直的相互平行的均匀带电线，相距为,、电荷线密度均为久。建立适当的坐标系，求（1）两线构成的平面上任一点的电场强度；（2）单位长度带电线所受的电场力。入r-2x在两线外电场强度为:入入r-2x在两线外电场强度为:入r+2x———i)£x(r+x)单位长度带电线所受的电场力F=（说明力的方向）设场点距带电线面，则在两线内电场强峥E=云e/；131、一无限长直均匀带电线，单位长度的带电量为人，求在带电线同侧与该带电线距离分别为R1,R2的两点A、B之间的电势差。（A、B与带电线共面）。解：因为场强分布E=久，所以u=jEdr=“圣匚=上ln鸟_2花0r r2兀％r2兀％R1132、面积为S的平行板电容器，两板间距为也求：（1）插入厚度为d/3，相对介电常数为r的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为d/3的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？解：（1）真空电容器c=£/，内部场强E=Q，电介质内部场强厂 _Q则c=Q=3£则c=Q=3£0£rS=3£rcU 2d£+d1+2£ 0插入电介质两极电势差u=Q.2d+-^.d£S3 ££S30 0r（2）插入厚度为g■的导电板，可看成是两个电容的串联，则c=c=3£点，得c=cCi3 1 2d c1+c2133、三平行金属板A.B、和C，面积都是200cm2,AB相距4.0mm，AC相距2.0mm，B、C两板都接地，如图所示。若A板带正电3.0X10-7C，略去边缘效应，求B板和C板上感应电荷。若以地的电势为零，求A板电势。(1) uc=UB，解：如题图示,令5左侧面电荷面密度加1(1) uc=UB，即…Eacdac=EabdAB；，，£r==、=2，

气 Eabdac得°=qA,°=~^~a。而q=-°S=-2q=-2x10-7C。q=~°S=TxUC2 3S 1 3S c13a B2(2)UA=EcdAc=^TdAc=2.3x103V0

134、计算如图所示长和宽均远大于间距的平行板电容器的电容.134与132题重复，建议更改为下题134、图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小.解：E= 4nsr2U=jbE•dr=a\ba4旋r204ns0abU=jbE•dr=a\ba4旋r204ns0ab八4nsUabQ—~b—arUab所以E— (b一a)r2要使内球表面附近的电场强度最小必须满足一—0

da此时E=4U

b135、图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为p,球壳内表面半径为R1无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势.解：空腔内任一点的场强E]=0rYRt带电球壳上的一点4/ 。、p兀(r3—R3)3' /p(r3—R3)E= 2 4兀8r20 T38r20R1YrYR2外表面半径为R2.设带电球壳外部空间“E4P一兀(R3—R3)3 4兀8r20p(R3—R3)2 138r2

03—R3) pdr=»(R2—R2)28 2 10则空腔内任一点的电势u=&.drJE・dr3—R3) pdr=»(R2—R2)28 2 101 2 r1 0 2 0136、一电量为q的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为R1、R2.求球壳内外和球壳上场强和电势的分布并画出E⑴和W）曲线.

当r>R2时:137、半径为人〔的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半径分别为R2、R3，使内球带电量q,球壳带电量Q,试求：1）电势分布的表示式；2）用导体连接球和球壳后的电势分布；3）外球壳接地后的电势分布。137与142题重复，建议更改为138、如图所示，在半经分别为R1^R2的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷Q和-Q,求两球面间的电势差。139、一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为e求：球心0处的电场强度。将半球面看做无数带电圆环组成，每个圆环对场点产生dE,则E=jEscos0=Ej?sin0cos0d0=^-"匕" ％0 %运用高斯定理，得rYR140、半径为R的球体内，分布着电荷体密度p=kr，式中r是径向距离，k运用高斯定理，得rYRrARErARE=-kR338r0380141、在半径为人〔的金属球之外包有一层均匀介质层（见图），外半径为R2。设电介质的相对电容率为8r，金属球的电荷量为Q。求：（1）介质层内、外的场强分布；（2）介质层内、外的电势分布；（3）金属球的电势。解：利用有介质时的高斯定理J解：利用有介质时的高斯定理Jd.d,=Z(1) 介质内(R1VrVR「场强：d=Qre= Qr ;4nr3内4n88r3介质外(rVR「场强： d=Qr君=Qr4nr3'外4n8r3o(2)介质外(r>R)电势U=”E.dr=_Q_，介质内(RVrVR)电势2 广外4兀80r 1 2U="E.dr+"E.dr =q(1_1)+Q=Q仁+^^^r内 r外 4兀88rR 4兀8R 4n88rR(3)金属球的电势 °r2 °2 °r2

U=“E-dr+"E-dr=JR —+卜Qd=Q（1+'『1）r内r外 R4兀££r2R4兀£r2 4兀88RR1 2 0r 2 0 0r1 2142、半径为人〔的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半径分别为R2、R3，使内球带电量q,球壳带电量Q,试求：电势分布的表示式；用导体连接球和球壳后的电势分布；外球壳接地后的电势分布。143、有两个无限长同心金属圆筒，内圆筒入的半径为R1，外圆筒B的半径为R2，在内圆筒上每单位长度有正电荷人，在外圆筒单位长度上有等量的负电荷，试求两圆筒间的电势差Uar和电容C。AB解：两金属圆筒间场强分布E=二，则U=jR2-^dr=土lnR—2础r AB R12兀£0r 2兀£0 R1。一一RC=之=2兀£ln「U0R2稳恒磁场计算题稳恒磁学计算题144、如下图所示，AB、CD为长直导线BC为圆心在。点的一段圆弧形导线，其半径为R.若通以电流［，求。点的磁感应强度. 144如下图所示，ABCD为长导线，8仁段为圆心在。点的一段圆弧形导线，其半径为R若通以电流I，求（1）。点的磁感应强度・（2）若在。点放置一充分小平面单匝闭合线圈，面积为S，通以I/2的电流，计算该线圈所受的安培力和最大安培力矩。解：将载流导线分成三段，标号如图。则解：将载流导线分成三段，标号如图。则（1）B1=（1）B1=0（1分），向外。（2分）~0—，向外（2分）122R 24R向外分K1（sin1-sin兰）=M

4s3R/2 2 4 12兀RB=B+B+B=-^X（2、；3+兀）（3分）1 2 3 24兀R

(2)F=0(1分)Mm广蜻Q容+兀）（加145、如图所示，一载流导线中间部分被弯成半圆弧状，其圆心点为0,圆弧半径为R。若导线的流过电流/，求圆心。处的磁感应强度。146、载流体如图所示，求两半圆的圆心点？处的磁感应强度。取定方向垂直纸面向里，根据毕奥萨法尔定律，有取定方向垂直纸面向里，根据毕奥萨法尔定律，有147、在真空中，有两根互相平行的无限长直导线相距0.1m，通有方向相反的电流，I]=20A,I2=10A，如图所示.试求空间磁感应强度分布，指明方向和磁感应强度为零的点的位置.148、图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为Q、b，导体内载有沿轴线方向的电流I，电流均匀地分布在管的横截面上•设导体的磁导率R0,试计算导体空间各点的磁感应强度。149、如图所示，一根无限长直导线，通有电流I，中部一段弯成圆弧形，求图中。点磁感应强度的大小。150、一根同轴电缆由半径为R1的长圆柱形导线和套在它外面的内半径为R2、外半径为^3的同轴导体圆筒组成，如图所示，传导电流沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的，求同轴电缆内外各处的磁感应强度的大小。151、有电流Z的无限长导线折成如图的形状，已知圆弧部分的半径为R，试求导线在圆心。处的磁感应强度矢量B的大小和方向？152、长直载流导线通以电流I，其旁置一长为m、宽为n的导体矩形线圈。矩形线圈与载流导线共面，且其长边与载流导线平行（两者相距为a），（1）求该线圈所包围面积内的磁通量；（2）若线圈中也通以电流I，求此载流线圈所受的合力。153、无限长载流导线七与直线电流&共面，几何位置如图所示.试求载流导线&受到电流七磁场的作用力.153如图3-3，无限长直线电流I与直线电流I共面，几何位置如图所示.试求直线电流I受到电流I磁场的作用力.1 2 2 1日I1 解：磁场分布B（尸）=布，电流兀受力dF=IdlB（r）=%Adl2nr i 2兀r而dl=dr/COS60=2dr则dF=IdlB（r）=Wrdr2 兀r结果bu11u11b结果F=JIdlB(r)=Jb0ftdr=0rTln(—)2 a兀r 兀a154、无限长载流导线七与直线电流&共面且垂直，几何位置如图所示.计算载流导线&受到电流七磁场的作用力和关于

。点的力矩;试分析&施加到11上的作用力.解：在ab上取dr，它受力dF1ab向上，大小为dF=Idr。点的力矩;试分析&施加到11上的作用力.ddF对O点力矩dM=rxFdM方向垂直纸面向外，大小为dM=*=蚪dr兀bu11bu11M=JbdM=^2i2Jbdr=，^12(b-a)施加到I]上的作用力不等于11施加到72上的作用力。解： FB=IAIdxB方向垂直AB向左F=jCIdrxB方向垂直解： FB=IAIdxB方向垂直AB向左F=jCIdrxB方向垂直AC向下，大小为ACA2F=j*IdrU4=%44In5AC22nr 2兀d同理F方向垂直BC向上，大小F=jd+a[⑴异1BC BLd22兀rdl=dr

cos450F=jd+auoI2I1drBCa2兀rcos450uIId+a='()T「2In ■-2兀 d线圈平面与磁场方向平行.如图所示，使线(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时156、边长为Z=0.1m的正三角形线圈放在磁感应强度B=1T的均匀磁场中，圈通以电流7=10A，求：线圈每边所受的安培力；对O。/轴的磁力矩大小;线圈平面与磁场方向平行.如图所示，使线(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功.TOC\o"1-5"\h\z、解：(1)Fbc=IlxB=0r 、 rF=IlxB方向1纸面向外，大小为F=IlBsin1200=0.866Nr 、 rF=IlxB方向1纸面向里，大小F=IlBsin1200=0.866N一― ■,..... 一-⑵Pm=ISM=P^xB沿OO方向，大小为M=ISB=^~~~B=4.33x10-2 N*m(3)磁力功A=I(①2-也) •.•①]=0 %=f12BAA=12B=4.33x10-2J157、一平面塑料圆盘，半径为R，表面带有面密度为^剩余电荷.假定圆盘绕其轴线AA'以角速度①(rad・s-】转M_兀b«R4B动，磁场B的方向垂直于转轴AA'.试证磁场作用于圆盘的力矩的大小为=4 .（提示：将圆盘分成许多同心圆环来考虑.）—解：取圆环dS=2兀rdr，它等效电流dI=皿=4dq_^ES-grdrT2兀一2兀等效磁矩dP=nr2dI=兀们63dr

m、 、 、受到磁力矩dM=dpxB，方向上纸面向内，大小为dM=dPxB=兀3。r3drBM=jdM=nwoBjRr3dr=0158、在磁感应强度为B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电流为I，如图所示.建立适当的坐标系，求其所受的安培力.159、如图所示，在长直导线内通以电流I1=20A，在矩形线圈中通有电流I2=10A，两者共面，且矩形线圈之纵边与长直导线平行.已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0cm，求：（1）长直导线的磁场对矩形线圈每边所作用的力；（2）矩形线圈所受合力和合力矩.电磁感应计算题160、两相互平行无限长的直导线，流有大小和方向如图所示的电流，金属杆CD与两导线保持共面，相对位置如图。杆以速度。沿着平行于直载流导线的方向运动，求：杆中的感应电动势，并判断两端哪端电势较高？「八一一「「U3/u u2Iv ] 3uIaUIb解.e=JD(VxB)-dl=Ja—% + % dr="0In-^oInCDC a 2兀r 2兀(a+b+c—r) 2兀 a+c兀b+c161、如图所示，AB、CD为两均匀金属棒，有效长度均为1m，放在B=4T、方向垂直纸面向里的均匀磁场中.AB、CD可以在平行导轨上自由滑动.当两棒在导轨上分别以％=4m/s,々=2m/s的速度向右作匀速运动时，求：ABCD导体框中，电动势的大小及感应电流的方向.解：e=vBL=16(V)eba=v2BL=8(V)e=e+e=16—8=8(V) 方向顺时针XXXXXXXX专XXXXXXXXXXXXXXX专XXXXXXXX—X*X1XXXXX162、如图所示，长直导线中通有电流1=0.3A，在与其相距6=0.6cm处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长l=3cm，宽a=3cm。不计线圈自感，若线圈以速度。=5m/s沿垂直于长导线的方向向右运动，线圈中的感生电动势多大？解：e=jVxb)dl=NvBl=Nvl~ode2=jVxB)dl=Nvl2"/弓)e=ef=NvlU。' a =1，25x10-5(V) 方向顺时针1 2 2兀d(a+d)

163、真空中的两条无限长直导线平行放置，一载流导体环（半径为R）与两导线共面放置，如图所示。（1）求。点之磁感应强度（2）若圆环以匀速率。铅直向上运动，求其上的动生电动势。c日I日I解⑴B=2X况方R=茄方向垂直纸面向夕卜（2）根据法拉第电磁感应定律，因为磁通量不变，所以£=0由于磁场分布规律B（r）=164、电流为/的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120O几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度。平行于长直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。由于磁场分布规律B（r）=解：构造闭合回路ABCDA，依据电磁感应定律，闭合回路动生电动势为0,因而口I,口I 口/口Iv201，贝ijd8-v■^^―dr，得到8 =J^v20-dr=—ln(2.5)说明电势指向165、导线AB长为Z，绕过。点的垂直轴以匀角速①转动，AO=l/3,磁感应强度B