数概第三章3重点题型

1X,Y~ ~ 2

Y

1 P{XY}0,P{XY}14,P{XY0得出0 XY p01 51413 由联合分布律与边缘分布律的关系,很易得出a14

c=131,P{X11,P{X1-034443a+b+c=4 b b=--=--= t=1-b=1-1= u=1-b= 5-a-t= v -- p01 351413 X,Y显然不独立,因为有

·=„ P{X=0}·P{Y=0}„P{X=0,Y=X=1的条件下，Y Y～ Z～ 1/ 1/ 1/2、X与Y同分布 1/ 1/ 1/ 2）在X=1条件下分布律3）Y=0条件下条件分布律4）X与Y5）P{X+Y=1}.F{XY}.XX01Y 2）P{Y=0X X=-1Y=-1}=0„PX=-1Y=-1}=1·

X与Y 5）P{X+Y=1}=PX=0Y=1}+PX=1Y=0}=1·1= U

,Y=- U£ U U

求1）(X,Y)分布律；2）X、Y边际分布律；X1条件下YZX+YXY11014Z=X 1/41/21/Z=X 1/41/21/)

x>0,y>

(1) y解:(1)F(x,y)

xf(x,y)dxdy=

0

x>0,y> F(x,y)=

x>0,y>. x>

y> (3)将(X,Y看作是平面上随机点的坐标,即有{Y£X{(X,Y˛

P{Y£X}=P{(x,y)˛G=f(x,y)dxdy=+¥+¥2e-(2x+y)dxdy=+¥dy+¥2e-(2 e-y[-e-2x]+¥dy

e-3ydy=1

x2£y, ,,Y=1时X的条件概率密度（求条件概率密度 yx),特别,分别写出当X=1 Y

X=1 =

PY 11Cx2ydy (1)-¥-4

得,-1 C=1

\C=4 121x2ydy =x2

= x 0£y£1=2y2 0£y 当0<y1时,21 4xf(x,y)

£x x2y2 -£xfXY(xy)= =7y

Y(

Y=1时

32x212)12)

£x X当-1<x<1

21x2 x2

x2£y 2y

x2£y£Y

=1-

81 1£y0,X3时1

Y Y32

1£yX=时

fY

1 1 1（5）PY‡X=2= fYXy2dy=115ydy=441117 PY‡X=2= fYXy2dy=315ydy= 1）(X,Y)的密度函数；2）fX(x)fY(y)；3）fXY(xy)；4）P{X0,Y0}PX>Y0；5)PX>Y1 解：1）f(x,y)= 0£x£1.y< 1dy= 0£x-

dx=1+

f(y)=1dx=1- 0£y 3） (xy)X

-y<x<1,-1<y<y<x<1,0<y 1 f(x,y)dxdy= xdy1

x P{X>1,Y>0}1-PX>Y>0 8=

2P{X>1/2Y=1/4}=+¥ (XY=1/4)dx= )dx=

111/ -2-7、设X在(0,1)随机取一个数，当X取x(0<x<1)时，随机变量Y等可能在(x,1)取值.求1）(X,Y)的密度f(x,y) 2）fY(y) 3）fXY(xy) 4）P{X+Y>1}(01). 0<x (y

0<x<1，x<y 0<x<1，x<yf(x,y)=f(x) (YX) Y 11dx=-ln(1- 0<y

(xy)

0<x<Y 4）P{X+Y>1}=1dy =-ln1=ln2

]]28P{X0,Y0}3P{X‡0}P{Y0}4 XYX< X‡Y<Y‡ =1-P{X<0,Y<0}=1-2=5 =1-P{X‡0,Y‡0}=1-3=4 9、设随机变量XY,其概率密度分别为f(x1,0£x£1 e-y

y>

,fZ(z)=-¥fX(x)fY(z-0£x£ 0£x 而由fX(x),fY(y)的定义知,仅当满足z-x>0 x< 时, 于零,Z的取值范围进行讨论,Z分成以下三（1）0z<1,（2）z‡1,（3）zf(x)f(z-x)dx=ze-(z-x)dx,0<z< f(z)

f(x)

(z-x)dx=1e-(z-x)dx,z‡ 0 1-e-z 0<z -即 fZ(z)=(e-1)e z‡ 0<x<1,y> 分析:本题的重点内容是（2）,（1）是为（2）（3）是（2）的应用.解:（1）fX(x),fY(y).0当0x<1时,fX(x)¥eydy0所 0<x X～U y0时0 y=1e-y0时0e-y

y>所

Y服从指数分布y£e-y

X,Y相互独立方法1,

当z<0时 Z

020z当0£z£2时, F(z)=2020zZ0Z0

z2时,有

z< 2

0£z£

121

z>,当z<0时 当0£z£2时 f

当z>2时

2122

z<0£z£(1e2-1e-z(

z>2x2x+y=2x+y=0z xfZ(z).X,Y相互独立,用推广的卷积公式,这里a2,b

0£x 0£x 0£x由（见图3.2(b)）y>0.fiz-2x>0.fiz> （见图 yzyz2z0时

图 图z z当0£z£2时 dx=1-ez020当z>2时 1e-0 0 01

z<

1 0£z z>zzz0时

FZ(z)=0,当0£z£2时

21dz1z2时,

dz1- Z0 2 Z 1

z<

0£z£ 1

1-

z> ksin(x+ 0£x，y£11、(x,y)~f(x,y)= 1）kfX(x),fY(y)3)ZX+YfZ(z

+¥

f(x,y)dxdy=2dx2ksin(x,y)dy=k2cosx- +x)-¥- 0 =ksinx-sin(2+x)2=2k .2\k=.2

p

1sin(x+ 0£x，y£f(x,f(x,y)= sin(x+ 0£x£(cosx+sin 0£x2）fX(x)=0 2= 1cosy+sin 0£y£f(y)= Z=X z-x1 z

z<00£z£

0x p 1-2pdx sin(x+ £z£p z- z-x

z‡ z< sinz-zcos 1

0£z

1 z‡1②f

1zsin 0<z< 2 p<z< t<①F(t)=tdxt 0£t<

2②fx(t)=②fx(t)=

0£y£2 位:小时)X、Y相互独立。求两人到达时刻相差不超过10