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文档简介
1X,Y~ ~ 2
Y
1 P{XY}0,P{XY}14,P{XY0得出0 XY p01 51413 由联合分布律与边缘分布律的关系,很易得出a14
c=131,P{X11,P{X1-034443a+b+c=4 b b=--=--= t=1-b=1-1= u=1-b= 5-a-t= v -- p01 351413 X,Y显然不独立,因为有
·=„ P{X=0}·P{Y=0}„P{X=0,Y=X=1的条件下,Y Y~ Z~ 1/ 1/ 1/2、X与Y同分布 1/ 1/ 1/ 2)在X=1条件下分布律3)Y=0条件下条件分布律4)X与Y5)P{X+Y=1}.F{XY}.XX01Y 2)P{Y=0X X=-1Y=-1}=0„PX=-1Y=-1}=1·
X与Y 5)P{X+Y=1}=PX=0Y=1}+PX=1Y=0}=1·1= U
,Y=- U£ U U
求1)(X,Y)分布律;2)X、Y边际分布律;X1条件下YZX+YXY11014Z=X 1/41/21/Z=X 1/41/21/)
x>0,y>
(1) y解:(1)F(x,y)
xf(x,y)dxdy=
0
x>0,y> F(x,y)=
x>0,y>. x>
y> (3)将(X,Y看作是平面上随机点的坐标,即有{Y£X{(X,Y˛
P{Y£X}=P{(x,y)˛G=f(x,y)dxdy=+¥+¥2e-(2x+y)dxdy=+¥dy+¥2e-(2 e-y[-e-2x]+¥dy
e-3ydy=1
x2£y, ,,Y=1时X的条件概率密度(求条件概率密度 yx),特别,分别写出当X=1 Y
X=1 =
PY 11Cx2ydy (1)-¥-4
得,-1 C=1
\C=4 121x2ydy =x2
= x 0£y£1=2y2 0£y 当0<y1时,21 4xf(x,y)
£x x2y2 -£xfXY(xy)= =7y
Y(
Y=1时
32x212)12)
£x X当-1<x<1
21x2 x2
x2£y 2y
x2£y£Y
=1-
81 1£y0,X3时1
Y Y32
1£yX=时
fY
1 1 1(5)PY‡X=2= fYXy2dy=115ydy=441117 PY‡X=2= fYXy2dy=315ydy= 1)(X,Y)的密度函数;2)fX(x)fY(y);3)fXY(xy);4)P{X0,Y0}PX>Y0;5)PX>Y1 解:1)f(x,y)= 0£x£1.y< 1dy= 0£x-
dx=1+
f(y)=1dx=1- 0£y 3) (xy)X
-y<x<1,-1<y<y<x<1,0<y 1 f(x,y)dxdy= xdy1
x P{X>1,Y>0}1-PX>Y>0 8=
2P{X>1/2Y=1/4}=+¥ (XY=1/4)dx= )dx=
111/ -2-7、设X在(0,1)随机取一个数,当X取x(0<x<1)时,随机变量Y等可能在(x,1)取值.求1)(X,Y)的密度f(x,y) 2)fY(y) 3)fXY(xy) 4)P{X+Y>1}(01). 0<x (y
0<x<1,x<y 0<x<1,x<yf(x,y)=f(x) (YX) Y 11dx=-ln(1- 0<y
(xy)
0<x<Y 4)P{X+Y>1}=1dy =-ln1=ln2
]]28P{X0,Y0}3P{X‡0}P{Y0}4 XYX< X‡Y<Y‡ =1-P{X<0,Y<0}=1-2=5 =1-P{X‡0,Y‡0}=1-3=4 9、设随机变量XY,其概率密度分别为f(x1,0£x£1 e-y
y>
,fZ(z)=-¥fX(x)fY(z-0£x£ 0£x 而由fX(x),fY(y)的定义知,仅当满足z-x>0 x< 时, 于零,Z的取值范围进行讨论,Z分成以下三(1)0z<1,(2)z‡1,(3)zf(x)f(z-x)dx=ze-(z-x)dx,0<z< f(z)
f(x)
(z-x)dx=1e-(z-x)dx,z‡ 0 1-e-z 0<z -即 fZ(z)=(e-1)e z‡ 0<x<1,y> 分析:本题的重点内容是(2),(1)是为(2)(3)是(2)的应用.解:(1)fX(x),fY(y).0当0x<1时,fX(x)¥eydy0所 0<x X~U y0时0 y=1e-y0时0e-y
y>所
Y服从指数分布y£e-y
X,Y相互独立方法1,
当z<0时 Z
020z当0£z£2时, F(z)=2020zZ0Z0
z2时,有
z< 2
0£z£
121
z>,当z<0时 当0£z£2时 f
当z>2时
2122
z<0£z£(1e2-1e-z(
z>2x2x+y=2x+y=0z xfZ(z).X,Y相互独立,用推广的卷积公式,这里a2,b
0£x 0£x 0£x由(见图3.2(b))y>0.fiz-2x>0.fiz> (见图 yzyz2z0时
图 图z z当0£z£2时 dx=1-ez020当z>2时 1e-0 0 01
z<
1 0£z z>zzz0时
FZ(z)=0,当0£z£2时
21dz1z2时,
dz1- Z0 2 Z 1
z<
0£z£ 1
1-
z> ksin(x+ 0£x,y£11、(x,y)~f(x,y)= 1)kfX(x),fY(y)3)ZX+YfZ(z
+¥
f(x,y)dxdy=2dx2ksin(x,y)dy=k2cosx- +x)-¥- 0 =ksinx-sin(2+x)2=2k .2\k=.2
p
1sin(x+ 0£x,y£f(x,f(x,y)= sin(x+ 0£x£(cosx+sin 0£x2)fX(x)=0 2= 1cosy+sin 0£y£f(y)= Z=X z-x1 z
z<00£z£
0x p 1-2pdx sin(x+ £z£p z- z-x
z‡ z< sinz-zcos 1
0£z
1 z‡1②f
1zsin 0<z< 2 p<z< t<①F(t)=tdxt 0£t<
2②fx(t)=②fx(t)=
0£y£2 位:小时)X、Y相互独立。求两人到达时刻相差不超过10
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