人教版数学八年级下册期末复习知识串讲+专题训练专题01二次根式（原卷版）

专题01二次根式一．二次根式的定义（共3小题）二．二次根式有意义的条件（共3小题）三．二次根式的性质与化简（共4小题）四．最简二次根式（共1小题）五．二次根式的乘除法（共14小题）六．分母有理化（共6小题）七．同类二次根式（共3小题）八．二次根式的加减法（共5小题）九．二次根式的混合运算（共3小题）十．二次根式的化简求值（共4小题）十一．二次根式的应用（共7小题）知识点一、二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；

（2）；

（3）.要点诠释：（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.知识点二、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.一．二次根式的定义（共3小题）1．（2022春•重庆期中）下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．2．（2022春•西华县期中）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决：（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝；（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值．3．（2022春•尧都区期中）已知是一个正整数，则正整数a的最小值为（）A．0 B．6 C．3 D．2二．二次根式有意义的条件（共3小题）4．（2022春•同安区期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜25．（2020春•河口区校级期中）如果y＝，则2x+y的值是．6．（2021春•安宁市校级期中）若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．三．二次根式的性质与化简（共4小题）7．（2022春•威海期中）化简二次根式的结果为（）A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a8．（2022春•西工区期中）若，则（）A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤39．（2022春•武昌区校级期中）已知≈1.414，则的近似值为（结果保留小数点后两位）．10．（2022春•黄梅县期中）小明做数学题时，发现＝；＝；＝；＝；…；按此规律，若＝（a，b为正整数），则a+b＝．四．最简二次根式（共1小题）11．（2022春•东莞市校级期中）下列各式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．五．二次根式的乘除法（共14小题）12．（2022春•藤县期中）计算所得的结果是（）A．2 B．3 C． D．13．（2022春•沂水县期中）计算的结果是（）A． B． C． D．14．（2022春•新市区校级期中）使有意义的x的取值范围是．15．（2021春•渑池县期中）计算×的结果是．16．（2022春•镜湖区校级期中）化简：．17．（2022春•环江县期中）计算：．18．（2022春•禹州市期中）已知实数x，y，a，b满足+＝×．求a+b的值及7x﹣y2023的值．19．（2022春•尧都区期中）若•＝，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≥﹣2 C．a≥24 D．2≥a≥﹣220．（2022春•牟平区期中）若成立，则m的值可以是（）A．﹣4 B．2 C．4 D．521．（2022春•昭平县期中）已知．（1）求a+b的值；（2）求2x+y2021的值．22．（2022春•五华县期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）；（2）．验证：（1）＝；（2）＝．①按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：＝；＝；②通过上述探究你能猜测出：＝（n＞0），并验证你的结论．23．（2022春•西城区校级期中）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．化简：（）2﹣|1﹣x|解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：x≤∴1﹣x＞0∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：﹣（）2；【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣|b﹣a|．24．（2022春•福清市期中）已知，，c＝2021×2020﹣2019×2021，则（a﹣b）（b﹣c）的值（）A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．无法确定25．（2022春•渝水区校级期中）已知：，．求下列各式的值．（1）xy；（2）x2﹣xy+y2．六．分母有理化（共6小题）26．（2022春•兴宁区校级期中）计算：（1﹣π）0+（）﹣1﹣÷×．27．（2022春•香河县期中）若M，N分别代表两个多项式，且M+N＝2a2，M﹣N＝2ab．（1）求多项式M和N．（2）当a＝+1，b＝﹣1时，求分式的值．28．（2022春•赞皇县期中）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化：＝；（一）＝＝；（二）＝＝＝；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：＝＝＝；（四）（1）化简＝＝（2）请用不同的方法化简．①参照（三）式得＝②步骤（四）式得＝（3）化简：+++…+．29．（2022春•海淀区校级期中）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝，n＝（其中a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“和谐数对”．例如：（4，1）的一对“和谐数对”为（，1）和（1，）．（1）数对（16，5）的一对“和谐数对”是；（2）若数对（3，m）的一对“和谐数对”相同，则m的值为；（3）若数对（x，y）的一个“和谐数对”是（，1），则xy的值为．30．（2022春•怀仁市期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子．其实我们还可以将其进一步化简：＝＝：（一）＝＝：（二）＝＝＝：（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝．（四）请解答下列问题：（1）请用不同的方法化简．①参照（三）式得＝；②参照（四）式得＝；（2）化简：++；（保留过程）（3）猜想：+++…+的值．（直接写出结论）31．（2022春•芜湖期中）【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法．如：，这是利用平方差公式进行化简运算的思路．除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质＝|a|．如：对于，设．由，可知x＞0．由，解得．即．【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简．七．同类二次根式（共3小题）32．（2019春•西陵区校级期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．33．（2022春•鼓楼区校级期中）下列二次根式能与合并的是（）A． B． C． D．34．（2022春•东莞市期中）若最简根式与是同类二次根式，则m＝．八．二次根式的加减法（共5小题）35．（2022春•沂源县期中）如果与的和等于3，那么a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．336．（2016春•临沧校级期中）＝．37．（2022春•吉林期中）计算：．38．（2022春•定南县期中）计算：．39．（2022春•贺州期中）计算：+2．九．二次根式的混合运算（共3小题）40．（2022春•福山区期中）计算（1）；（2）．41．（2022春•柘城县期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2＝（1+）2.善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．故a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：+＝（+）2；（3）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．42．（2022春•平舆县期中）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；﹣1．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1）化简：＝；＝．（2）填空：的倒数为．（3）化简：．一十．二次根式的化简求值（共4小题）43．（2022春•赞皇县期中）先化简，再求值：a+，其中a＝2020．如图是小亮和小芳的解答过程．（1）的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；（2）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2．44．（2022春•荔湾区校级期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求代数式x2﹣xy+y2的值．45．（2022春•尧都区期中）（1）；（2）下面是小明同学对于题目“化简并求值：2a+，其中a＝1“的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．解：原式＝2a+……………第一步＝2a+a﹣3…………第二步＝3a﹣3．……第三步把a＝1代入得，原式＝3a﹣3＝0．……………第四步任务一：填空：第步开始出现错误，错误原因是；任务二：请直接写出代数式正确的值．46．（2021春•梁子湖区期中）已知a＝，求﹣的值．一十一．二次根式的应用（共7小题）47．（2022春•丰都县期中）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；（2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积．48．（2022春•思明区校级期中）计算：（1）+×；（2）（﹣）2；（3）设长方形的面积为S，相邻两边长分别是a，b，已知S＝4，a＝，求b．49．（2022春•磁县期中）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；（2）求阴影部分的面积．50．（2022春•清丰县期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣秦九韶公式”．解答下列问题：如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．（1）△ABC的面积；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．51．（2022春•巴东县期中）秦九韶（1208年﹣1268年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县）人，祖籍鲁郡（今河南范县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的世界著名数学家．他所提出的大衍求一术（中国剩余定理）和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．他写的《数书九章》序堪称一篇奇文．秦九韶的数学成果丰硕，其中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果统称海伦﹣秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p＝，那么三角形的面积为：s＝．（1）在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，请用上面的公式计算△ABC的面积．（2）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E．求BE的长．52．（2022春•长葛市期中）在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，准确测量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（约1202～约1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角形三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积为．（公式里的p为半周长，即）请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题：（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为．（2）四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，求该四边形的面积．53．（2022春•阳东区期中）已知一个矩形相邻的两边长分别为a，b，且a＝，b＝．（1）求此矩形的周长；（2）求此矩形的面积；（3）求与此矩形面积相等的正方形的对角线的长．一、单选题1．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）下列各式中，运算正确的是()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）若式子SKIPIF1<0在实数范围内有意义，则x的取值范围是A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜34．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）下列计算正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）二次根式SKIPIF1<0中a的最小值为（

）A．0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．26．（2022春·广东汕头·八年级统考期中）SKIPIF1<0的倒数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）下列运算中正确的是()A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）下列各代数式中，是二次根式的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．a2 D．SKIPIF1<0二、填空题9．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）若SKIPIF1<02﹣x，则x的取值范围是_____．10．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：SKIPIF1<0＝______．11．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是最简二次根式，请写出一个符合条件的正整数n：_______．12．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）将SKIPIF1<0化为最简根式是_____．13．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）已知SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的值等于_____．14．（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）设SKIPIF1<0，求不超过SKIPIF1<0的最大整数SKIPIF1<0______．三、解答题15．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）计算（1）SKIPIF1<0；

（2）SKIPIF1<0．16．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）计算：SKIPIF1<017．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）计算：(1)SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0．18．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）已知点SKIPIF1<0在第二象限，化简SKIPIF1<019．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请回答下列问题：(1)化简：SKIPIF1<0___________；(2)比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系；(3)计算：SKIPIF1<0．20．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．(1)SKIPIF1<0的有理化因式是________；化简：SKIPIF1<0________；(2)化简：SKIPIF1<0(3)拓展应用：已知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试比较a，b，c的大小，并说明理由．21．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料已知下面一列等式：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)请用含SKIPIF1<0的等式表示你发现的规律___________________；(2)证明一下你写的等式成立；(3)利用等式计算：SKIPIF1<0；(4)计算：SKIPIF1<0