北师大版数学七年级下册期末复习考点串讲+题型专训专题04 三角形（原卷版）

专题04三角形

一．三角形的有关概念及表示1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，三角形用符号“SKIPIF1<0”表示，读作“三角形”．2．三角形的基本要素：组成三角形的三条线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边的夹角叫做三角形的内角．二．三角形内角和三角形内角和：三角形三个内角的和等于SKIPIF1<0．注意：①三角形的三个角中至少有两个是锐角，三角形中最大的角不小于SKIPIF1<0．②直角三角形的两个锐角互余．③已知任意两角或它们的和，利用三角形的内角和，可以计算另一个角的度数．三．三角形的分类1．SKIPIF1<02．SKIPIF1<0四．直角三角形的有关概念及性质1．表示：通常我们用“SKIPIF1<0”表示“直角三角形SKIPIF1<0”．直角所对的边叫做直角三角形的斜边，夹直角的两条边叫做直角边．2．性质：直角三角形的两个锐角互余．用几何语音表示：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．注意：直角三角形的斜边大于任何一条直角边，依据是“垂线段最短”．五．三角形的三边关系1．三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．2．用几何语音表示：如果SKIPIF1<0的三边长分别为a，b，c，则①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．注意：①得出三角形两边之和大于第三边的依据是：两点之间，线段最短．②这里的“两边”泛指三角形的任意两边．③三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的依据，一般用“任意两边之和大于第三边”来验证，同时也可用于说明线段的不等关系和取值范围．六．三角形的中线1．定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．2．中线可以将一个三角形分成两个面积相等的三角形．注意：①三角形的中线是一条线段，并且有一个端点是三角形的一个顶点，另一个端点在对边上．②中线平分一条边．③三角形有三条中线，无论三角形的形状如何，三条中线的交点都在三角形的内部．七．三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线．三角形的三条角平分线交于一点．注意：①三角形的角平分线是一条线段，并且有一个端点是三角形的一个顶点，另一个端点在对边上．它不同于角的平分线，角的平分线是一条射线．②三角形有三条角平分线，无论三角形的形状如何，三条角平分线的交点都在三角形的内部．八．三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）三角形的三条高所在的直线交于一点．注意：①锐角三角形的三条高线交于三角形内部一点；直角三角形的三条高线交于直角顶点；钝角三角形的三条高线交于三角形外部一点．②三角形的高是垂线段，高垂直于一条边所在的直线．九．全等图形的概念及性质1．概念：能够完全重合的两个图形称为全等图形．注意：①全等图形与图形的位置无关，唯一标准就是可以完全重合．②图形经过旋转、翻折后与原图形重合．2．性质：全等图形的形状和大小都相同．推论：全等图形的周长相等，全等图形的面积相等．十．全等三角形的概念及表示方法1．概念：能够完全重合的两个三角形是全等三角形．2．表示方法：全等用符号“SKIPIF1<0”来表示．注意：在记两个三角形全等时，对应顶点的字母一定要写在对应位置上．十一．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等．推论：全等三角形的周长相等，全等三角形的面积相等．十二．探索三角形全等的条件1．边边边：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．2．角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．3．角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．4．边角边：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．注意：应用时，必须满足相等的角是分别对应相等两边的夹角，即“两边夹一角”，切不可出现“边边角”的错误．十三．三角形的稳定性只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．【专题过关】一．三角形的有关概念及分类（共3小题）1．观察下列图形，其中是三角形的是（）A．B．C．D．2．如图所示的图形中，三角形共有（）A．5个B．6个C．3个D．4个3．有下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个

二．三角形内角和的应用（共2题）4．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形5．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是三角形．三．三角形的三边关系（共3题）6．下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm7．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（）A．3B．5C．7D．88．若三角形两条边的长分别是10，15，第三条边的长是整数，则第三条边的长的最大值是．四．三角形三线相关概念及运用（共7题）9．下列各图中，作SKIPIF1<0边SKIPIF1<0边上的高，正确的是（）A．B．C．D．10．下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（）A．①B．①④C．②③D．②④11．如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<012．如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中线，已知SKIPIF1<0的周长为30cm，SKIPIF1<0比SKIPIF1<0长4cm，则SKIPIF1<0的周长为．13．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，G为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0的延长线交SKIPIF1<0于点E，F为SKIPIF1<0上的一点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，交SKIPIF1<0于点H，则下面结论：①SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线；②SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的SKIPIF1<0边上的中线；③SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的SKIPIF1<0边上的高；④SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线和高．其中正确的有．（填序号）14．已知：如图所示，在SKIPIF1<0中，点D，E，F分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，则阴影部分的面积为cm2．15．已知：如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的高和角平分线，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分线，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于O，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的度数．

五．全等图形的概念（共1题）16．下列选项中的图形与左图全等的是（）A．B．C．D．六．全等三角形的性质运用（共2小题）17．如图，SKIPIF1<0沿直角边SKIPIF1<0所在直线向右平移到SKIPIF1<0，则下列结论中，错误的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<018．如图，SKIPIF1<0，则此图中相等的线段有（）A．1对B．2对C．3对D．4对七．全等三角形的性质与判定的综合运用（共4小题）19．如图，点B、F、C，E在一条直线上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．20．如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为E，F，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．21．如图，点B，F，E，C在同一条直线上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．22．如图，已知SKIPIF1<0，点B，C分别在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）求证：SKIPIF1<0．八．三角形的稳定性的运用（共2小题）23．下列图形具有稳定性的是（填序号）．24．如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是．九．全等三角形的构造方法（共7小题）25．如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．26．如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0．27．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是边SKIPIF1<0上一点，点E在SKIPIF1<0的右侧，线段SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）如图1，若SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的度数为；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系是．（2）如图2，若SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．试判断SKIPIF1<0的形状，并说明理由．

28．（1）如图①，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．请直接写出线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线上的点，且SKIPIF1<0．请直接写出线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系：．

29．如图1，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分线，若SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有怎样的数量关系呢？（1）通过观察、实验提出猜想：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，用等式表示为：．（2）小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：如图2，延长SKIPIF1<0到F，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系．想法2：在SKIPIF1<0上取一点E，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系．请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系（一种方法即可）．

30．（1）如图1，SKIPIF1<0，射线SKIPIF1<0在这个角的内部，点B、C分别在SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点F，SKIPIF1<0于点D．求证：SKIPIF1<0；（2）如图2，点B、C分别在SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，点E、F都在SKIPIF1<0内部的射线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的外角．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0；（3）如图3，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点D在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，点E、F在线段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的面积为15，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之和．31．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线l经过点A，SKIPIF1<0直线l，SKIPIF1<0直线l，垂足分别为点D、E．证明：SKIPIF1<0．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D、A、E三点都在直线l上，并且有SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为任意锐角或钝角．请问结论SKIPIF1<0是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0向外作正方形SKIPIF1<0和正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的高，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点I，求证：I是SKIPIF1<0的中点．

十．三角形全等的实际应