《阅读与思考函数概念的发展历程》教学设计(部级优课)x-数学教案

课题函数概念发展史课型新授课教学目标知识与技能了解函数概念的产生与发展。过程与方法通过大量史料和示例的分析展示，巩固对高中函数概念的认知；培养学生数学建模、数学抽象的核心素养。情感态度与价值观体会静与动的辩证关系。教学重点用集合和对应的语言刻画函数的概念。教学难点对函数概念发展的理解教学内容设计和教学方法选择一、教师引入1、人类最初对动和变化的认识2、诡辩飞矢静止二、学生演绎和展示函数的产生与发展孙瑞琪（数学达人）：早在16、17世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量数学时期进入到变量数学时期，函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。十七世纪伽利略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，大部分函数是被当作曲线来研究的。同样在1673年，莱布尼茨首次使用“function”表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系，而他在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函数概念的雏形。函数的概念发展到这，仍然是在几何的框架的下，下面请杰出的数学家欧拉为大家带来代数观念下函数概念的发展。焦帅晔（欧拉）：大家好！这是我的老师瑞士著名数学家约翰。白努力先生，1718年他在莱布尼茨函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”强调函数要用公式来表示。在提到我所给出的函数定义之前，不得不先提到发生在1746年的一个小小的争论。1746年，达郎贝尔在研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数。后来我发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，于是，我提出一个新定义：函数是”xy平面上随手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”。即把函数定义为一条随意画出来的曲线，我称之为任意函数，即包括了由单个解析表达式给出的连续函数，也包括由若干个解析式表示的不连续函数（还要告诉大家一个小秘密，“不连续”函数的名称是我首次提出的）。可惜的是我的观点没有被达郎贝尔接受，于是我们就展开了激烈的争论。1748年，在我所著的《无穷小分析引论》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式。”这就把变量与常量以及由它们的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式子，均称为函数。随着研究的深入，1775年，我在《微分学》一书中，给出了函数的另一个定义“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数。”不过，这里的“依赖”“随之变化”等的含意不十分确切，因此限制了函数的外延。张晟男（傅立叶）：欧拉先生，让我来帮帮你吧！我是法国数学家傅立叶。1822年，在我的论文《热的分析理论》中，记录这样一个有趣的现象，如图所示的不连续曲线，表达式有无穷多个，即这有力的揭示了，用函数表达式的“单一”与否来区别函数的真伪是不行的，这个发现也结束了函数是否以唯一一个式子表示的争论。孙瑞琪：感谢两位大咖的精彩讲解，实际上1821年，十九世纪最杰出的法国数学家柯西也给出了如下的函数定义：“若当x的每个值，都有完全确定的y值与之对应，则称y是x的函数。其中x叫做自变量。”在这个定义中，不仅第一次出现了自变量一词，也避免了数学意义欠严格的“变化