《阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用》教学设计(浙江省县级优课)-数学教案

高中数学人教A版2003课标版选修1-1第二章圆锥曲线与方程→2.3抛物线→阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用《圆锥曲线的光学性质及其应用》的教学设计浙江省泰顺中学苏恩惠第一课时抛物线的光学性质及其应用教学目标理解抛物线的光学性质，并会应用数学推理得出抛物线的光学性质，并会应用它解决数学问题。会用数学建模的思想将实际生活问题数学化，也会用数学建模的思想将数学问题生活化。教学重点理解抛物线的光学性质并会推导。教学难点数学建模思想的应用。教学过程课题引入问题一：手电筒一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线。这是为什么呢?设计意图：从生活中的一个例子出发，提出问题，引发学生的求知欲，从而提出课题。课题提出抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴。抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．问题二：生活问题数学化要探究抛物线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证，那么我们如何用数学语言阐述并证明抛物线的光学性质?设计意图：提出抛物线的光学性质，并通过列举它在生活中的大量应用，让学生感知数学无处不在，并有将生活问题数学化的欲望。课题证明1.曲线的切线与法线的定义设直线与曲线交于，两点，当直线连续变动时，，两点沿着曲线渐渐靠近，一直到，重合为一点,此时直线称为曲线在点处的切线，过与直线垂直的直线称为曲线在点处的法线。此时，我们可以借助抛物线的切线和法线，对这一问题进行转化：2. 圆锥曲线光学性质的证明预备定理若点是抛物线上任一点，则抛物线过该点的切线方程是证明：由，对求导得：当时，切线方程为即而………………①而当时，切线方程为也满足①式故抛物线在该点的切线方程是.yxyx图2.3已知：如图，抛物线的方程为，直线是过抛物线上一点的切线，交轴于，，反射线与所成角记为，求证：证明：如图，抛物线的方程为，点在该抛物线上，则过点的切线为切线与轴交于焦点为， (同位角)∵∴∴问题三：数学问题生活化通过以上问题转化可知抛物线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢？设计意图：经过前面对抛物线光学性质的数学化推理证明，让学生明白学习数学是为了应用，将其拓展到解题和实际生活中的应用。进一步提升学生数学建模素养。课题应用例1.设抛物线，一光线从点A(5，2)射出，平行的对称轴，射在上的P点，经过反射后，又射到上的Q点，则P点的坐标为____，Q点的坐标为______。解：直线平行于对称轴且A(5，2)，∴则P点的坐标为（4，2）∴反射线过点设，则解得：图3.1.1∴图3.1.1设计意图：应用抛物线的光学性质解决入射光线和反射光线的问题。例2．已知抛物线C：，F是其焦点，点，M是C上的动点，求|MF|+|MQ|的取值范围。。分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值。根据抛物线光学性质（从焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行，反之也成立），结合光线的“最近传播”特点，我们猜想：过Q与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点，设为P点（见右图）。可由抛物线的定义证明猜想是正确的。且|PF|+|PQ|≥3设计意图：能用抛物线的光学性质解决“距离之和”的最值问题。张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和”取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。”F图1图2F图1图28540xy5O例3．某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图1，其中F为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm为单位的设计尺寸如 图2．为了达到最佳加热效果，F应距碟底多少？解：以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x轴，开口方向为x轴的正向，建立坐标系如图2，则内壁抛物线方程为y2=2px．据所示尺寸，抛物线过坐标为(40,85)的点，所以852=2p40=80p，p90.3．加热点F应置于抛物线的焦点．焦点坐标为(,0)(45.2,0)．所以F应距碟底约45.2cm设计意图：应用