高中数学数学立体几何多选题试题及答案

高中数学数学立体几何多选题试题及答案一、立体几何多选题1．在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（含边界）一点．（）A．若，则满足条件的P点有且只有一个B．若，则点P的轨迹是一段圆弧C．若平面，则长的最小值为D．若且平面，则平面截正方体外接球所得截面的面积为【答案】ABD【分析】选项A，B可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面平面，知满足平面的点P在BD上，长的最大值为；结合以上条件点P与B或D重合，利用，求出，进而求出面积.【详解】对A选项，如下图：由，知点P在以为球心，半径为的球上，又因为P在底面ABCD内（含边界），底面截球可得一个小圆，由底面ABCD，知点P的轨迹是在底面上以A为圆心的小圆圆弧，半径为，则只有唯一一点C满足，故A正确；对B选项，同理可得点P在以A为圆心，半径为的小圆圆弧上，在底面ABCD内（含边界）中，可得点P轨迹为四分之一圆弧.故B正确；对C选项，移动点P可得两相交的动直线与平面平行，则点P必在过且与平面平行的平面内，由平面平面，知满足平面的点P在BD上，则长的最大值为，则C不正确；对选项D，由以上推理可知，点P既在以A为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD上，即与B或D重合，不妨取点B，则平面截正方体外接球所得截面为的外接圆，利用.故D正确.故选：ABD【点睛】（1）平面截球所得截面为圆面，且满足（其中为球半径，为小圆半径，为球心到小圆距离）；（2）过定点A的动直线平行一平面，则这些动直线都在过A且与平行的平面内.2．在长方体中，，，点在线段上，为的中点，则（）A．平面B．当为的中点时，四棱锥外接球半径为C．三棱锥体积为定值D．过点作长方体的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为【答案】ACD【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A选项的正误；判断出四棱锥为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B选项的正误；利用等体积法可判断C选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，因为，所以，矩形为正方形，所以，，在长方体中，底面，平面，，，、平面，所以，平面，A选项正确；对于B选项，当点为的中点时，，同理可得，因为四边形为正方形，所以，四棱锥为正四棱锥，取的中点，则平面，且四棱锥的外接球球心在直线上，设该四棱锥的外接球半径为，由几何关系可得，即，解得，B选项错误；对于C选项，，三棱锥的高为，因此，，C选项正确；对于D选项，设长方体的外接球球心为，则为的中点，连接、，则，，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面，，.过点作长方体的外接球截面为平面，点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，则，当且仅当时，等号成立，长方体的外接球半径为，所以，截面圆的半径，因此，截面圆面积的最小值为，D选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.3．在长方体中，，，、、分别是、、上的动点，下列结论正确的是（）A．对于任意给定的点，存在点使得B．对于任意给定的点，存在点使得C．当时，D．当时，平面【答案】ABCD【分析】本题先建立空间直角坐标系，再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，设，得到，.，，，当时，，正确；，，取时，，正确；，则，解得：，此时，，正确；，则，，设平面的法向量为，则，解得，故，故平面，正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，是偏难题.4．如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（）A．平面B．与平面所成角的余弦值为C．三棱锥的体积为D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【分析】取的中点，的中点，连接，则由已知可得平面，而底面为矩形，所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.【详解】解：取的中点，的中点，连接，因为三角形为等边三角形，所以,因为平面平面，所以平面，因为，所以两两垂直，所以，如下图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，因为点是的中点，所以，平面的一个法向量为，，显然与不共线，所以与平面不垂直，所以A不正确；，设平面的法向量为，则，令，则，所以，设与平面所成角为，则，所以，所以B正确；三棱锥的体积为，所以C不正确；设四棱锥外接球的球心为，则，所以，解得，即为矩形对角线的交点，所以四棱锥外接球的半径为3，设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为，所以，得，所以正四面体的表面积为，所以D正确.故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.5．M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（）A．平面ABDB．异面直线AC与MN所成的角为定值C．在二面角逐渐变小的过程中，三棱锥外接球的半径先变小后变大D．若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则的取值范围是【答案】ABD【分析】利用线面平行的判定即可判断选项A；利用线面垂直的判定求出异面直线AC与MN所成的角即可判断选项B；借助极限状态，当平面与平面重合时，三棱锥外接球即是以外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;过作,垂足为,分为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D.【详解】对于选项A:因为M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以为的中位线，所以,因为平面ABD,平面ABD，所以平面ABD,故选项A正确；对于选项B：取的中点，连接,作图如下：则,,由线面垂直的判定知，平面,所以,因为,所以,即异面直线AC与MN所成的角为定值，故选项B正确；对于选项C:借助极限状态，当平面与平面重合时，三棱锥外接球即是以外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角逐渐变大时，球心离开平面，但是球心在底面的投影仍然是外接圆圆心，故二面角逐渐变小的过程中，三棱锥外接球的半径不可能先变小后变大，故选项C错误；对于选项D:过作,垂足为,若为锐角，在线段BC上；若为直角，与重合；若为钝角，在线段BC的延长线上；若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，因为，所以平面,由线面垂直的性质知,,若为直角，与重合，所以,在中，因为,所以不可能成立，即为直角不可能成立；若为钝角，在线段BC的延长线上，则在原平面图菱形ABCD中，为锐角，由于立体图中,所以立体图中一定比原平面图中更小，，所以为锐角，，故点在线段BC与在线段BC的延长线上矛盾，因此不可能为钝角；综上可知，的取值范围是.故选项D正确;故选：ABD【点睛】本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.6．如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）A．存在某个位置，使得B．翻折过程中，的长是定值C．若，则D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是【答案】BD【分析】对于选项A，取中点，取中点，连结，，通过假设，推出平面，得到，则，即可判断；对于选项B，在判断A的图基础上，连结交于点，连结，易得，由余弦定理，求得为定值即可；对于选项C，取中点，，，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断；对于选项D，易知当平面与平面垂直时，三棱锥的体积最大，说明此时中点为外接球球心即可.【详解】如图1，取中点，取中点，连结交于点，连结，，,则易知，，，，，由翻折可知，，，对于选项A，易得，则、、、四点共面，由题可知，若，可得平面，故，则，不可能，故A错误；对于选项B，易得，在中，由余弦定理得，整理得，故为定值，故B正确；如图2，取中点，取中点，连结，，，，，对于选项C，由得，若，易得平面，故有，从而，显然不可能，故C错误；对于选项D，由题易知当平面与平面垂直时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，此时平面，则，由，易求得，，故，因此，为三棱锥的外接球球心，此外接球半径为，表面积为，故D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.7．如图，正三棱柱中，、点为中点，点为四边形内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（）A．B．若平面，则动点的轨迹的长度等于C．异面直线与，所成角的余弦值为D．若点到平面的距离等于，则动点的轨迹为抛物线的一部分【答案】BCD【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案.【详解】解析：对于选项A，，选项A错误；对于选项B，过点作的平行线交于点．以为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系．设棱柱底面边长为，侧棱长为，则，，，，所以，．∵，∴，即，解得．因为平面，则动点的轨迹的长度等于．选项B正确．对于选项C，在选项A的基础上，，，，，所以，，因为，所以异面直线所成角的余弦值为，选项C正确．对于选项D，设点E在底面ABC的射影为，作垂直于，垂足为F，若点E到平面的距离等于，即有，又因为在中，，得，其中等于点E到直线的距离，故点E满足抛物线的定义，另外点E为四边形内（包含边界）的动点，所以动点E的轨迹为抛物线的一部分,故D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.8．如图所示，在棱长为的正方体中，过对角线的一个平面交棱于点，交棱于点，得四边形，在以下结论中，正确的是（）A．四边形有可能是梯形B．四边形在底面内的投影一定是正方形C．四边形有可能垂直于平面D．四边形面积的最小值为【答案】BCD【分析】四边形有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；在底面内的投影是四边形；当与两条棱上的交点是中点时，四边形垂直于面；当，分别是两条棱的中点时，四边形的面积最小为.【详解】过作平面与正